代入消元法（第2课时稍复杂二元一次方程组的代入法）（课件）数学新教材人教版七年级下册

10.2.1代入消元法第2课时稍复杂二元一次方程组的代入法第十章二元一次方程组

人教版（新教材）·七年级下册学

习

目

标123会用代入消元法解未知数系数均不为1（或-1）的稍复杂的二元一次方程组；能根据方程组的特点灵活选择简便的变形策略；了解整体代入法，并能用于解决特定形式的方程组.经历探索不同形式方程组的解法的过程，体会优化策略的重要性；通过整体代入法的学习，培养观察能力和灵活思维能力.在解决较复杂问题的过程中，培养迎难而上的学习品质；通过古代数学问题的引入，感受中华数学文化的魅力，增强民族自豪感.解二元一次方程组基本思路:变形技巧：选择系数比较简单的方程进行变形。一元一次方程二元一次方程组转化消元变形代入求解作答用代入法解二元一次方程组的一般步骤知识回顾练一练用代入法解下列方程组

古代数学趣题：“马四匹、牛六头，共价四十八两；马三匹、牛五头，共价三十八两。问马、牛各价几何？”导入新课请同学们思考：如何用我们学过的二元一次方程组来解决这个问题？解：设马每匹x两，牛每头y两，列得方程组

思考：这个方程组与我们上节课学习的方程组有什么不同？发现：两个方程中未知数的系数都不是1或-1。小组讨论新知探究探究点1

系数复杂时的变形策略议一议

方程①中x的系数的绝对值较小，可以考虑在方程①中用含y的式子表示x，再代入方程②.（3）为什么选择系数绝对值较小的方程变形？（1）选择哪个方程进行变形？（2）用哪个未知数表示另一个未知数更简便？小组讨论当未知数系数均不为1或-1时，通常选择系数绝对值较小的未知数进行变形，这样变形后得到的表达式系数较简单，代入后计算量小.新知探究探究点1

系数复杂时的变形策略议一议

把

y=3代入③，得x=2.

解这个方程，得y

=3.

技巧：选择系数绝对值较小的未知数进行变形，简化计算消去x，得到关于y的一元一次方程将y=2代回变形后的方程(3)，求出x的值新知探究探究点1

系数复杂时的变形策略议一议

把

x=2代入③，得y=3.

解这个方程，得x=2.

（1）解这个方程组时，可以先消去y吗？（2）试一试，比较两种方法的繁简程度.小组讨论

方法总结当未知数的系数都不是1或-1时，应选择系数绝对值较小的方程进行变形，这样可以使后续的计算更简便。新知探究探究点1

系数复杂时的变形策略议一议1.直接代入

若方程组中含有用一个未知数表示另一个未知数的关系式，直接代入2.系数为1或-1优先

若方程组中有未知数的系数为1或-1时，选择含有系数为1或-1的方程进行变形3.系数绝对值较小优先

若未知数的系数都不是1或-1时，一般选择未知数系数的绝对值较小的方程进行变形4.选择简单系数未知数

变形时，选择系数较简单的未知数表示另一个未知数用代入法解二元一次方程组时变形的选择技巧新知探究探究点3

整体代入法解方程组做一做

（1）如果按常规方法，用含y的式子表示x，或用含x的式子表示y，计算起来会怎样？

例如常规解法：若直接变形，会出现分数，计算复杂繁琐。（2）观察两个方程，有什么共同特点?观察发现两个方程都含有“2x-3y”这个整体。

新知探究探究点3

整体代入法解方程组做一做

（3）能否整体代入来求?怎样解?

一元一次方程，实现消元

方法点睛：当方程组中某个代数式重复出现时，可将其视为一个整体，通过整体代入消去一个未知数，从而简化运算。归纳:

这种将一个整体式子代入另一个方程的方法，叫做“整体代入法”.总结：

当方程组中某些项含有相同（或成倍数关系）的整式时，可以将相同（或成倍数关系）的整式作为整体，直接代入另一个方程中求解，这样可以大大简化计算.新知探究探究点3

整体代入法解方程组做一做

古代数学趣题：“马四匹、牛六头，共价四十八两；马三匹、牛五头，共价三十八两。问马、牛各价几何？”解：设马每匹x两，牛每头y两，列得方程组

新知探究探究点3

整体代入法解方程组做一做解决古代数学问题——“马牛问题”

①两边同×3，得②两边同×4，得

解得

x=6方法提示：先将含未知数项的系数为构造为相等关系，再整体代入，消去一个未知数答：马要6两、牛要4两典例分析

典例分析例2.快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件。某快递员星期一的送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270元；他星期二的送件数和揽件数分别为90件和25件，报酬为185元。如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？等量关系

送120件的报酬

+揽45件的报酬=270元

送90件的报酬

+揽25件的报酬=185元方法一直接代入典例分析例2.快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件。某快递员星期一的送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270元；他星期二的送件数和揽件数分别为90件和25件，报酬为185元。如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？等量关系

送120件的报酬

+揽45件的报酬=270元

送90件的报酬

+揽25件的报酬=185元

整理方程组为

方法二整体代入新知巩固1.用代入法解下列方程组：4x-3y=-2，5x+4y=13.（1）3m+2n=17，2m-3n+6=0.（2）①②∴这个方程组的解是

x=1，

y=2.

把

x=1代入③，得y=2.

解这个方程，得x=4.

教材p95练习①②

所以这个方程组的解是

m=3，

n=4.

把

m=3代入③，得n=4.

解这个方程，得m=3.

新知巩固

2.一种商品分装在大、小两种包装盒内，3大盒，4小盒共装108瓶，2大盒，3小盒共装76瓶.大、小包装盒每盒各装多少瓶?解：设大包装盒每盒装x瓶，小包装盒每盒装y瓶.3x+4y=108，2x+3y=76.①②由②，得把③代入①，得

解这个方程，得y=12.把y=12代入③，得x=20.∴这个方程组得解是

x=20，

y=12.答:大包装盒每盒装20瓶，

小包装盒每盒装12瓶.教材p95练习拓展提升

真题感知

99方法一直接代入真题感知

99方法二整体代入

真题感知2．（2025•吉林）吉林省长白山盛产人参、为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数．

课堂小结知识总结解稍复杂方程组的方法选择系数绝对值较小的方程变形，再代入另一个方程.代入消元优化策略①系数为1或-1优先；②系数绝对值较小优先；③整体代入法.将相同（或成倍数关系）的整式作为整体代入求解.整体代入法方法总结课堂小结优化思想：面对不同形式的方程组，要善于观察、比较，选择最优解法.整体思想：将相同部分看作整体，化繁为简.建模思想：从实际问题中抽象出方程组模型并求解.易错提醒（1）变形选择不当：

没有选择系数绝对值较小的方程变形，导致计算复杂.（2）分数系数处理错误：

代入后去分母时，忘记每一项都要乘以分母的最小公倍数.（3）整体代入意识不强：

遇到含有相同整体的方程组，仍用常规方法，导致计算量大.（4）回代选择不当：求出第一个未知数后，回代时选错方程（应选变形后的方程，计算最简便）.（5）实际问题建模错误：未能准确找出两个等量关系.教材p99页课后练习2.用代入法解下列方程组:①②2x+3y=-5，3x-4y=18；(3)∴这个方程组的解是

x=2，y=-3.

把

y=-3代入③，得x=2.

解这个方程，得y=-3.(4)3(x+y)-2(x-y)

=28.

习题10.2课后练习2.用代入法解下列方程组:①②

把

t=4代入③，得s=12.

解这个方程，得t=4.(4)解：令s=x+y,t=x-y

则方程组可化为3s-2t=282s+3t=36教材p99页习题10.22x+3y=-5，3x-4y=18；(3)(4)3(x+y)-2(x-y)

=28