专题函数基本性质及其应用（单调性、奇偶性、周期性、对称性）（期末复习讲义11大重难题型+3阶分层过关）

专题06函数基本性质及其应用（单调性、奇偶性、周期性、对称性）（期末复习讲义）核心考点复习目标考情规律5.1函数单调性的定义与证明能用定义法（取值→作差→变形→判号→结论）证明函数的单调性。解答题核心考法，变形判号是关键步骤和难点。5.2复合函数“同增异减”法则的判断能判断简单复合函数的单调性。小题中快速解题的工具。5.3函数奇偶性的判断能先判断定义域是否对称，再通过计算f(-x)判断奇偶性。易错点就是忽略定义域，必考点。5.4奇偶函数图象的对称性及其应用能利用奇偶性简化求值、作图和分析问题。常与单调性结合考查。5.5函数周期性的判断与应用能根据f(x+T)=f(x)判断周期性，并利用周期性求函数值。常作为小题的压轴点，需要灵活运用。5.6函数对称性的判断（关于点、关于轴对称）能识别并证明函数图象关于点或轴的对称性。与奇偶性关系密切，是能力的提升点。5.7函数性质的综合应用（解不等式、比较大小）能综合利用单调性、奇偶性将抽象不等式转化为具体不等式求解。期末压轴题标准模式，综合性最强知识点01函数的单调性与单调区间设函数y=fx的定义域是D，区间I⊆D，如果对于任意的x1，x2∈I，当x1<x2时，都有，则称y=f当x1<x2时，都有，则称y=fx在区间I上是两种情况下，都称函数在区间I上具有（区间I称为函数的，也可分别称为和）知识点02函数的最值最值最大值最小值条件函数y=fx的定义域为I，存在实数M（1）对于任意的x∈I，都有（2）存在x0∈I（1）对任意x∈I，都有（2）存在x0∈I结论M是函数y=fxM是函数y=fx知识点03单调性的常见运算单调性的运算①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘③为↗，则为↘，为↘④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数）（跨章节）复合函数的单调性知识点04函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内任意一个x，都有，且，则称函数y=f(x)是偶函数关于对称奇函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内任意一个x，都有，且，则称函数y=f(x)是奇函数关于对称知识点05与指数函数相关的奇函数和偶函数（跨章节），（，且）为偶函数，，（，且）为奇函数和，（，且）为其定义域上的奇函数和，（，且）为其定义域上的奇函数为偶函数知识点06与对数函数相关的奇函数和偶函数（跨章节），（且）为奇函数，，（且）为奇函数知识点07奇函数+常函数在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，有即倍常数知识点08函数的周期性①周期函数：一般地，设函数fx的定义域为D，如果存在一个，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且，那么函数fx就叫做周期函数．②最小正周期：如果在周期函数fx的所有周期末存在一个最小的，那么这个最小就叫做fx的若，则的周期为：若，则的周期为：若，则的周期为：（周期扩倍问题）若，则的周期为：（周期扩倍问题）知识点09函数的对称性轴对称①若，则的对称轴为②若，则的对称轴为点对称①若，则的对称中心为②若，则的对称中心为知识点10周期性对称性综合问题①若，，其中，则的周期为：②若，，其中，则的周期为：③若，，其中，则的周期为：知识点11奇偶性对称性综合问题①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为：②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为：题型一用定义法判断或证明函数单调性及求解最值【典例1】（24-25高一上·河南信阳·月考）已知函数(1)证明：函数在区间上是增函数；(2)当，求函数的值域.【典例2】（25-26高一上·广东·期末）已知函数.(1)根据定义法证明在区间上单调递增；(2)设，求解关于的不等式.【典例3】（24-25高一上·广东惠州·期末）已知函数是上的偶函数.(1)求实数的值；(2)判断函数在上单调性，并用定义法证明；(3)求不等式的解集.【典例4】（24-25高一上·云南曲靖·月考）已知定义在上的函数满足：①值域为，且当时，；②对于定义域内任意的实数，均满足；试回答下列问题：(1)试求的值；(2)判断并证明函数的单调性；(3)若对任意的恒成立，求实数的取值范围.【变式1】（24-25高一上·山东泰安·期末）已知奇函数的定义域为R，当时，.(1)求的解析式；(2)证明:在上单调递减；(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围.【变式2】（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知函数.(1)求函数的定义域；(2)判断函数的单调性，并用定义证明；(3)解不等式.【变式3】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知函数（，）为偶函数．(1)证明：；(2)当时，证明的单调性；(3)解关于的不等式．【变式4】（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知，.(1)证明：；(2)判断并用定义证明的单调性；(3)若函数的图象在区间上与x轴有2个交点，求实数m的取值范围.题型二求单调区间解｜题｜技｜巧拆分复合函数为内外层函数，根据“同增异减”原则判断单调性（内外层单调性相同则复合函数增，相反则减）【典例1】（25-26高一上·河南驻马店·期中）函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·甘肃白银·期末）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【变式1】（25-26高一上·陕西延安·期中）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【变式2】（25-26高一上·吉林长春·期中）函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【变式3】（24-25高一上·湖南·月考）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．题型三据函数的单调性（含分段函数）求参数值解｜题｜技｜巧（1）分段函数各段单调：分别保证每一段函数在对应区间内单调（如一次函数看斜率符号，二次函数看对称轴与区间的位置关系）。（2）衔接处满足单调：相邻分段区间的衔接点处，左段函数的最大值不超过右段函数的最小值（递增时）或左段最小值不小于右段最大值（递减时）。【典例1】（25-26高一上·江苏·期末）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·湖北·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例3】（24-25高一上·上海长宁·期末）若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是．【变式1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高一上·湖北荆州·期末）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式3】（25-26高一上·陕西汉中·月考）若函数在上为减函数，则实数取值范围为（

）A． B． C． D．题型四根据函数单调性、奇偶性解不等式解｜题｜技｜巧（1）确定单调区间：先分析函数的单调区间（可通过导数、基本函数性质等方法）。（2）转化不等式：利用单调性将函数值的不等关系转化为自变量的大小关系（3）解不等式组：结合定义域与转化后的自变量不等式，求解最终解集。【典例1】（24-25高一上·广东梅州·期末）函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【典例2】（25-26高一上·江苏泰州·月考）已知函数则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【典例3】（24-25高一上·江西·期末）已知定义域为的函数满足，，且当时，．(1)求的值；(2)用单调性定义证明：在定义域上是增函数；(3)若，求不等式的解集．【变式1】（24-25高一上·广西·期末）已知函数，则不等式的解集是（）A． B．C． D．【变式2】（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知，若，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【变式3】（24-25高一上·湖北·期末）已知，函数为奇函数.(1)求的值；(2)判断的单调性，并用定义证明；(3)解不等式：.题型五根据函数单调性、奇偶性比较函数值大小关系解｜题｜技｜巧同一单调区间：若自变量在同一单调区间内，直接根据单调性比较函数值大小（如递增函数自变量大则函数值大）。不同单调区间：利用奇偶性、对称性将自变量转化到同一单调区间。（3）特殊点结合：若有特殊点（如零点、最值点），结合这些点的函数值辅助比较。【典例1】（25-26高一上·广东·期末）设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（

）A．B．C．D．【典例2】（25-26高一上·全国·期末）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递增，则下列不等关系恒成立的是（

）A． B．C． D．【典例3】（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数.若，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【典例4】（25-26高一上·吉林·期末）已知定义在R上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（

）A． B．C． D．【变式1】（25-26高一上·新疆·期末）若偶函数在上单调递增，则（）．A． B．C． D．【变式2】（24-25高一上·山东淄博·期末）已知是定义域为的偶函数，且在上单调递减，，则（

）A． B．C． D．【变式3】（25-26高一上·全国·期末）已知定义在R上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（

）A． B．C． D．【变式4】（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）（多选）已知函数是偶函数，且在上单调递增，则下列结论一定正确的有（

）A．的图象关于直线对称 B．C． D．在上单调递减【变式5】（25-26高一上·江苏·期末）已知函数，若，，，则（）A． B．C． D．题型六用定义法判断或证明函数奇偶性【典例1】（24-25高一上·新疆和田·期末）已知函数.(1)若，求的值；(2)设，求的定义域；(3)设，判断的奇偶性，并证明.【典例2】（24-25高一上·云南保山·期末）已知函数，(1)求，；(2)判断函数的奇偶性并证明．【典例3】（24-25高一上·湖南娄底·期末）已知函数，对于任意的，都有，当时，．(1)求的值；(2)判断的奇偶性和单调性；(3)设函数，若方程有2个不同的解，求m的取值范围．【变式1】（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数．(1)求的定义域；(2)判断的奇偶性并给予证明；(3)求关于的不等式的解集．【变式2】（25-26高一上·全国·期末）已知函数对于任意实数，都有，且.(1)求的值；(2)令，求证:函数为奇函数；(3)求的值.题型七根据函数的奇偶性求参数值解｜题｜技｜巧特殊值法：若函数定义域含0，奇函数满足(f(0)=0)；代入(x=1)、(x=-1)等特殊值，结合奇偶性列方程（如偶函数(f(-1)=f(1))）。系数比较法：对于多项式函数，奇函数偶次项系数为0，偶函数奇次项系数为0。（3）定义法：根据奇偶性定义，整理等式后对比系数或化简求解参数。【典例1】（24-25高一上·河南漯河·期末）已知是定义在上的偶函数，那么的值是（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·江西赣州·期末）若函数为奇函数，则（

）A． B． C． D．【典例3】（24-25高一上·上海·期末）已知函数是奇函数，则．【变式1】（24-25高一上·贵州黔南·期末）设是定义在区间上的奇函数，则（

）A． B．38 C．26 D．【变式2】（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期末）若函数为奇函数，则.【变式3】（24-25高一上·重庆九龙坡·期末）已知为偶函数，则实数的值为（

）A． B． C． D．1题型八抽象函数奇偶性的综合应用解｜题｜技｜巧赋值法推导关系：令(x=0)、(x=-y)等特殊值，结合已知条件推导(f(-x))与(f(x))的关系（如令(x=0)得(f(0))的值，令(y=x)得(f(-x))表达式）。结合单调性解不等式：利用奇偶性将不等式转化为(f(|x|))的形式（偶函数），或结合奇函数在对称区间的单调性一致，转化自变量范围。（3）综合应用求最值：根据奇偶性与单调性，确定函数在对称区间的最值（如奇函数在([-a,a])的最值互为相反数）。【典例1】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则（）A．是偶函数 B．是奇函数C．是奇函数 D．是偶函数【典例2】（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（

）A． B．C．为偶函数 D．为增函数【典例3】（25-26高一上·江苏淮安·期中）（多选）已知函数的定义域为，且，，则下列说法正确的是（

）A． B．C．是偶函数 D．是奇函数【变式1】（25-26高一上·辽宁沈阳·月考）定义在上的函数，并且满足，则下列一定正确的是（

）A．是奇函数 B．是偶函数C．是奇函数 D．是偶函数【变式2】（24-25高一上·浙江温州·期末）已知定义域为的函数满足：，，且，则（

）A． B．C．是奇函数 D．，【变式3】（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数的定义域为，且，，则（）A． B．有最小值C． D．是奇函数题型九函数周期性的综合应用解｜题｜技｜巧找周期：根据周期定义（如(f(x+T)=f(x))）或递推关系（如(f(x+a)=-f(x))则周期为2a）确定周期T。简化计算：利用周期性将大自变量值转化为小范围值，结合已知区间的函数值求解。（3）结合其他性质：与单调性、奇偶性结合，分析周期区间内的函数特征（如周期函数在每个周期内单调性相同）。【典例1】（25-26高一上·贵州·期中）已知函数，则（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·天津西青·期末）已知函数是定义在上的奇函数，，且，则（

）A． B．0 C．1 D．2【典例3】（24-25高一上·贵州毕节·期末）若偶函数对任意都有，且当时，，则（

）A．8 B． C．12 D．【典例4】（24-25高一上·安徽亳州·期末）（多选）已知函数的定义域为，且，则下列结论正确的是（

）A． B．函数是偶函数C．函数是周期为4的周期函数 D．【变式1】（25-26高一上·陕西西安·期中）已知函数，则（

）A．2 B．3 C．4 D．8【变式2】（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数是定义在R上的偶函数，且，若时，，则（

）A．3 B． C． D．1【变式3】（24-25高三上·福建三明·月考）已知是定义在上的奇函数，，且，则（）A．1 B．0 C．-2025 D．【变式4】（24-25高三下·安徽·月考）已知函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数，则.【变式5】（25-26高一上·江苏·期末）（多选）已知定义域为的函数满足：，则（

）A．是周期为2的函数B．是偶函数C．D．题型十函数对称性的综合应用解｜题｜技｜巧轴对称：利用对称性转化函数值。结合对称中心推导函数值关系。（3）综合应用：与单调性、周期性结合，分析函数在对称区间的取值规律（如轴对称函数在对称点的函数值相等）。【典例1】（2025高三·全国·专题练习）若函数的图象关于点对称，则．【典例2】（25-26高一上·河南·期末）已知函数的图象关于点成中心对称图形，当时，，则时，（）A． B．C． D．【典例3】（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知函数，则（

）A．的定义域为 B．在区间上单调递减C．的图象关于点对称 D．【典例4】（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数，定义域为的函数满足，若函数与的图象有四个交点，分别为，，则所有交点的横､纵坐标之和为（

）A．0 B．5 C．10 D．20【典例5】（24-25高一上·江苏苏州·期末）（多选）已知定义在上的函数满足不是常数函数，则（

）A．B．是增函数C．的图象关于直线对称D．的图象关于点对称【变式1】若函数的图像关于直线对称，则【变式2】（24-25高一下·云南昆明·期末）定义在上的函数图象关于直线对称，在单调递减，若且，则（）A． B．C． D．【变式3】（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）若函数是奇函数，则下列各点一定是函数图象对称中心的是（

）A． B． C． D．【变式4】（2025·江苏苏州·三模）已知函数，定义域为R的函数满足，若函数与的图象有四个交点，分别为，，，，则（

）A．0 B．4 C．8 D．12【变式5】（25-26高一上·云南·期末）（多选）已知函数，的定义域均为，为偶函数，，，，则（）A． B．C．的图象关于点对称 D．的图象关于点对称题型十一函数性质的综合应用解｜题｜技｜巧梳理性质：先分析函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性（确定周期、对称轴、对称中心）。转化自变量：利用周期性将大自变量变小，对称性将自变量转化到已知区间。（3）综合应用：结合单调性比较函数值、解不等式，或利用奇偶性简化表达式，最终解决复杂综合问题。【均为多选题】【典例1】（25-26高一上·江苏苏州·期中）对于函数（），下面几个结论中正确的是（

）A．函数是偶函数 B．函数是奇函数C．函数的值域为 D．函数在上是增函数【典例2】（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知函数的定义域为，对于任意实数满足:，当时，，则（

）A． B．为上的增函数C．为奇函数 D．若则的取值范围为【典例3】（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知函数的定义域为，，，且，则（

）A．B．C．D．【典例4】（24-25高一上·江苏·期末）已知为非常值函数，若对任意实数x，y均有，且当时，，则下列说法正确的有（

）A． B．为奇函数C． D．在上单调递增【典例5】（24-25高一上·浙江温州·期末）已知定义域为的函数满足：，，，则（

）A． B．函数是偶函数C．， D．，【变式1】（25-26高三上·广东·开学考试）已知函数，则（）A．的定义域为 B．为奇函数C．为上的减函数 D．无最值【变式2】（24-25高一上·湖南岳阳·期末）函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【变式3】（24-25高一上·广东茂名·期末）已知是定义在上且不恒为0的图象连续的函数，若，，则（

）A． B．为偶函数C．4是的一个周期 D．【变式4】（24-25高一上·贵州安顺·期末）若函数的定义域为，且函数为偶函数，函数的图象关于点成中心对称，则下列说法正确的是（

）A． B．C．的一条对称轴为 D．【变式5】（24-25高一上·重庆·期末）已知函数的定义域为，且，，若，则（

）A．是周期为4的周期函数B．是奇函数C．的图像关于点对称D．期末基础通关练（测试时间：20分钟）一、单选题1．（24-25高一上·贵州铜仁·期末）下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增的是（

）A． B．C． D．2．（24-25高一上·陕西·期末）下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的是（

）A． B． C． D．3．（24-25高一上·贵州黔南·期末）设是定义在区间上的奇函数，则（

）A． B．38 C．26 D．4．（24-25高一上·重庆长寿·期末）已知为奇函数，当时，，则（

）A． B． C． D．5．（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．6．（24-25高一上·天津·期末）已知函数，设，则的大小关系是（

）A． B． C． D．二、多选题7．（24-25高一上·甘肃武威·期末）已知函数在区间上是偶函数，在区间上是单调递减函数，则（）A． B．C． D．8．（24-25高一上·广西南宁·期末）已知函数，则（

）A．的定义域是 B．的值域是RC．是奇函数 D．在，上单调递减三、解答题9．（24-25高一上·江苏泰州·期末）设为实数，已知函数是奇函数．(1)求的值；(2)求证：是增函数．10．（24-25高一上·吉林通化·期末）已知函数.(1)求的解析式；(2)判断的奇偶性；(3)求函数的值域.11．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知函数是定义域为的偶函数，且时，．(1)求的解析式；(2)求不等式的解集．12．（24-25高一上·上海普陀·期末）已知函数是定义在区间上的函数(1)判断并证明函数的奇偶性；(2)用定义证明函数在区间上是增函数；(3)解不等式．期末重难突破练（测试时间：40分钟）一、单选题1．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）幂函数过点，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．2．（24-25高一上·重庆·期末）若函数是奇函数，则满足的实数的取值范围为（

）A． B．C． D．3．（24-25高一上·江西宜春·期末）已知函数的定义域为，且，则（

）A．1 B． C．2024 D．4．（24-25高一下·安徽阜阳·期末）定义在上的函数满足，是偶函数，且，则使成立的最小正整数等于（

）A．2025 B．506 C．507 D．2026二、多选题5．（25-26高一上·重庆·期中）已知的定义域为，且为奇函数，则（

）A．关于对称 B．为偶函数 C． D．6．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知函数的定义域为，且，则（

）A． B．C．为奇函数 D．在上具有单调性7．（25-26高一上·云南曲靖·期中）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．为偶函数 B．的解集为C．在单调递增 D．的解集为8．（25-26高一上·福建福州·期中）已知定义在上的函数满足，且，有，则（

）A．为奇函数B．为偶函数C．在上单调递增D．关于的不等式解集为9．（25-26高一上·山东青岛·期中）已知