数学 实数及其简单运算第一课时实数的概念课件 2025-2026学年人教版数学七年级下册

R·七年级下册第1课时

实数的概念及分类第八章

实数8.3实数及其简单运算教材分析本节课是实数章节的起始课，承接七年级有理数知识，是数系的又一次重要扩充。通过对无理数概念的引入，将数的范围从有理数扩充到实数，完成初中阶段数系的最后一次整合，为后续二次根式、一元二次方程、函数等知识奠定基础，具有承上启下的关键作用。学情分析学生已掌握有理数的概念、分类及运算，对有限小数和无限循环小数有一定认识。但对无限不循环小数缺乏直观体验，对无理数的本质理解容易模糊，易将“带根号”“无限小数”与无理数混淆。七年级学生抽象思维较弱，需要通过实例、对比、辨析等方式突破难点。1.了解实数的概念，并能将实数按要求进行准确的分类；2.熟练掌握实数大小的比较方法；3.了解实数和数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示无理数.素养目标我们已经学习了有理数，有理说包括整数和分数，下列数中哪些是有理数？课前检测（5分钟）复习导入________和________统称为有理数.整数分数思考：

这样的无限不循环小数，它们是有理数吗？问题1把下列有理数写成小数的形式，你发现了什么？探究新知

探究点1实数的概念及分类整数可以写成小数点后为0的小数.它们都可以化成有限小数或无限循环小数的形式.有理数整数分数有限小数或无限循环小数任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.历史重现毕达哥拉斯“数”是万物的本源，支撑整个自然界和人类社会，因此一切事物都归结为整数与整数的比，这是世界所以美好和谐的源泉.当时毕达哥拉斯学派所说的数都是指有理数.历史重现希伯索斯11在研究中发现x不能写成两个整数的比.它是多少？又该怎样表示它？他百思不得其解想一想：所有的数都可以写成有限小数和无线循环小数的形式吗？它们都是无限不循环小数无理数无理数正无理数负无理数无理数是不能写成两个整数之比(分数)的数，它和有理数一样，都是现实世界中客观存在的量的反映.有理数与无理数的区别：有理数无理数是有限小数或无限循环小数是无限不循环小数都能写成分数的形式（正数可以看成分母是1的分数）不能写成分数的形式(1)开方开不尽的数，如

，

等；(2)π及化简后含有π的式子，如π，2-π等；(3)有规律但不循环的小数，如1.212212221…（相邻的两个1之间依次多一个2）等；(4)有理数和无理数的和、差，如

，

等；常见的无理数有哪些：溯源我国古人对无理数已经有了很多认识.《九章算术》中用“面”来表示开平方开不尽的数.刘徽在其著作《九章算术注》中，不仅记录了包含无理数运算的问题，而且给了用有限小数无线逼近无理数的算法“求微数法”.有理数整数自然数负数分数无理数实数有理数和无理数统称实数思考：仿照有理数的分类，你能对实数进行分类吗？按概念分类按大小分类实数的分类实数的分类实数分类的原则：分类可以有不同的方法，但要按同一标准，不重复不遗漏.跟踪练习将下列各数拖入对应的集合内：跟踪练习将下列各数拖入对应的集合内：我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示.无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢?你能在数轴上画出

吗？0213-1-2正无理数aa个单位长度负无理数-b(b>0)b个单位长度

探究点2实数与数轴上的点的对应关系探究新知以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于π.如图，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的点由原点O到达点O'.点O'对应的数是多少？从图中我们可以看出OO'的长就是这个圆的周长π，所以对应点O'对应的数就是π，数轴上的点O'就表示无理数π.以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点就表示，与负半轴的交点就表示.(为什么？)-1-20213每一个实数都可以用数轴上的_________来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个_______．实数实数数轴上的点一一对应-1-202134一个点探究点3实数的大小比较(1)回想一下，在数轴上如何比较两个有理数的大小？(2)猜想一下，

和

谁比较大？为什么?数轴上右边的数比左边的数大.

大，

在数轴上对应的点在原点的右边，而

在数轴上对应的点在原点的左侧.你还有其他方法比较这几个实数的大小吗？

对数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.负实数＜

零＜

正实数探究新知比较下面几个实数的大小，并用“<”连接：解：取近似值进行比较所以-3<-1.732<2<2.236<3.142即比较实数大小的常用方法：（1）利用法则比较大小；（2）利用估算（取近似值，估算范围）比较大小；（3）利用平方法比较大小；（4）利用数轴比较大小；（5）利用作差法比较大小.归纳总结比较大小：＞＜跟踪训练如图-2-3-1102-4(1)在数轴上标出-π，

，

所对应点的大致位置.(2)根据数轴比较-π，

，

的大小.右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.典例精析2.在0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的平方根与立方根中，哪些是有理数？哪些是无理数？【教材P54练习第2题】012345678910平方根立方根0±101有理数无理数0±1±2±33.把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小(用“<”连接)：-2-3-1102-4【教材P54练习第3题】课堂小结实数概念分类实数的大小比较