广西2026年高三一模高考数学模拟试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2026届高中毕业班3月适应性测试数学试题注意事项：1.答卷前，务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合，，则（

）A． B． C． D．2．若复数（i为虚数单位），则（

）A．2 B．3 C．10 D．3．已知，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知随机变量，且，则（

）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.65．已知长方形中，，，点是的中点，则（

）A．12 B．14 C．20 D．246．已知一个圆柱与一个圆台的高和体积都相等，圆柱的底面半径是，圆台的上底面半径是1，则圆台的下底面半径是（

）A．5 B．4 C．3 D．27．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的最小正周期是 B．在区间上是增函数C．是偶函数 D．是图象的一个对称中心8．已知双曲线（，）的上下焦点分别是，，过点作渐近线的垂线，交双曲线下支于点M，且，则双曲线的渐近线方程是（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知一组数据依次为：12，16，16，4，0，2，2，10，12，16，关于这一组数据，下列说法正确的是（

）A．极差是16 B．平均数是9C．第70百分位数是12 D．方差是27010．已知抛物线，直线l过其焦点F交抛物线于，两点，过点A作抛物线C的切线，交x轴于点，则（

）A．若，则 B．C． D．（是直线l的倾斜角）11．已知函数，（）都是奇函数，且为单调函数，若对任意，都有（m为常数），.则（

）A． B．在上是增函数C． D．是周期函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．在的展开式中，x的系数是______．13．已知函数在区间上存在极值点，且该极值点处导数存在，则a的取值范围是______．14．若一个半径为1的实心球O放置于一个正方体形盒子内，且与该正方体内切，若在该盒子内再放入一个球，则球的表面积的最大值是______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．(1)求角B及的值；(2)若，求的面积．16．已知等差数列的前n项和为，且，，数列的前n项和为，满足，．(1)求数列和的通项公式；(2)记，求数列的前n项和．17．如图，四边形和都是正方形，四边形为平行四边形，为锐角，M，N分别为的中点，直线AE与平面所成的角为．(1)证明：平面；(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．18．近几年，我国旅游兴起.某个知名景区为提高服务质量，随机抽取了300名到该景区旅游的游客做问卷调查，其中甲、乙、丙三个省的游客人数恰好分别为：30，90，60，其他省的有120人．假设景区中的每名游客都对应一个随机的不同的景区票号．(1)按省份进行分层随机抽样，从调查的这些游客景区票号中随机抽取10个号，再从这10个中随机选4个，该景区奖励这4个号对应的游客每人一份大礼包，记抽取到乙、丙两个省的人数分别为，，设，求X的分布列与期望；(2)若景区邀请这些被抽到的甲、乙、丙三省的游客按照票号从小到大的顺序参加一项游戏，且每一个游客都参加，做完游戏后每人可领取一份纪念品，求甲省游客先于乙、丙两省游客完成游戏（甲省被抽到的所有游客完成游戏后，乙、丙两个省都还有被抽到的游客未完成游戏）的概率；(3)若这次问卷调查抽取的各省游客作为样本，把样本中丙省游客的频率作为景区所有游客中丙省游客的概率，从该景区所有游客票号中随机抽取30个，给予这30人全年免票游玩，丙省游客最有可能被抽取到多少人？19．已知椭圆（）的离心率为，曲线（是正实数）与椭圆交于M，N两个不同的点，点是线段MN的中点，曲线与y轴交于点P，直线l为曲线在点P处的切线．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l过的定点是椭圆的一个焦点，直线l与交于两点A，B，当时，求面积的最小值；(3)记直线MN的斜率为k，证明：，且．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．B【详解】由，，则.2．D【详解】因，则.3．A【详解】由，而推不出，“”是“充分不必要条件4．B【详解】因为，由正态分布的对称性可知，关于对称，又因为，所以，则所以5．A【分析】以作为一组基底表示，根据数量积的定义求解.【详解】以作为一组基底，根据已知条件，，，所以，.6．B【详解】设圆柱的高为，圆台的下底面半径为，则圆台的高为，圆柱的体积为，所以圆台的体积为，解得（舍去）.7．C【详解】选项A，最小正周期是，故选项A错误；选项B，当时，，因为在上是减函数，所以在区间上是减函数，故选项B错误；选项C，由，得，是偶函数，故选项C正确；选项D，因为，所以不是图象的一个对称中心，故选项D错误.8．A【分析】结合双曲线的定义，在中由余弦定理得到，再通过渐近线，得到，联立即可求解.【详解】设上下焦点，其中，渐近线为.由题意得，由题设在双曲线下支，，因此，​中，，，由余弦定理得：，又渐近线，与轴（​所在直线）夹角为​，又到渐近线的距离可得联立得：，化简得，代入，因此渐近线方程为，整理得​.9．AB【详解】由题意，极差是，故A正确；平均数是，故B正确；方差是，故D错误；将这组数据从小到大排序为：0，2，2，4，10，12，12，16，16，16，因为，所以这组数据的第70百分位数是第7个数和第8个数的平均值，即为，故C错误.10．BCD【分析】根据抛物线的定义可判断A；设出直线l的方程，联立抛物线的方程后根据韦达定理可判断B；根据导数的几何意义求出切线方程，进而可得到的坐标，可判断C；根据l的斜率是否存在分情况讨论是否成立可判断D.【详解】因为抛物线，所以抛物线的焦点为，准线方程为，过作准线的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，如图：因为在抛物线上，所以，若，则由抛物线的定义知到准线的距离，即，解得，代入可得，所以或，故A错误.因为直线l过，设直线l的方程为，由消去得，由韦达定理知，故B正确.因为，又抛物线与直线l交于两点，所以，对两边同时求导得，所以，所以抛物线在处切线的斜率为，切线方程为，令，解得，即，则，由抛物线的定义知，故C正确.当时，直线的方程为，即，由抛物线的定义知，满足；当时，当为锐角时，，当为钝角时，，所以，综上，当时，均有，解得，所以，故D正确.11．ABD【分析】利用函数为单调函数，可得为定值，再利用为奇函数可求出，则可得，利用，结合解析式可得或；再利用函数为奇函数计算可得A；利用三次函数性质可得B；分类讨论可得C；利用常数函数是周期函数可得D.【详解】由为单调函数，且对任意，都有，则为定值，设，即，由函数为奇函数，则，即，即，即有，由，则，化简得，则，故或；对A：由函数为奇函数，则，又，故，故A正确；对B：由，则在R上是增函数，故B正确；对C：由在上单调递增，则当时，在上单调递增，此时；当，在上单调递减，此时，故C错误；对D：，常数函数是周期函数，故D正确.12．7【分析】根据二项式展开式的通项公式，即可求得答案.【详解】由题意知的通项为，令，则，即x的系数是.13．【分析】将问题转化为导函数方程在给定区间上有解即可求得.【详解】由求导得，因函数在区间上存在极值点，则需使方程在上有解，且需确保该解为极值点（即，使得在两侧变号）由方程在上有解，可得，故a的取值范围是.14．【详解】设正方体为，又一个半径为1的实心球O与该正方体内切，所以正方体的棱长为，当球与正方体的三个面相切且与球O相切时，球的半径能取得最大值，设球的半径为，连接球心与球心，以及球心到与它相切的正方体的三个面的垂足，可构成一个以球心，球心和正方体顶点为顶点的直角三角形，此时球心与球心的距离为，球心到正方体顶点的距离为，正方体棱长的一半为，根据上述关系可列出方程：，解得，所以球的表面积最大值为.15．(1)，(2)【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，利用余弦定理即可得角，再利用同角三角函数基本关系与两角和的正弦公式计算即可得；（2）借助正弦定理可求出，再利用面积公式计算即可得.【详解】（1），即有，由正弦定理可得，则，又，故；由，则，故，则；（2）由正弦定理，可得，则.16．(1)，；(2)【分析】（1）由等差数列通项公式和求和公式列出关于首项和公差的等式，求出首项、公差即可求解；由的关系，通过作差可求通项公式；（2）通过分组求和，分别利用裂项相消法和等比数列求和公式即可求解.【详解】（1）设等差数列的首项为​，公差为，由得：，化简得；由得：，化简得，联立方程解得：，，因此等差数列通项为：，对于数列，已知，当时，，得；当时，，两式相减得：​，即，因此是首项为、公比为的等比数列，通项为：；（2）由，可得：，又，得：，又，这是首项为、公比为的等比数列，则所以.17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）作辅助线，要证明线面平行，则需要证明线线平行，即证明.（2）以为原点，建立空间直角坐标系，然后列出各个点的坐标，然后求出平面与平面的法向量坐标，最后根据向量夹角的余弦公式计算即可.【详解】（1）连接，交于点，连接.根据中位线定理可得，因为.所以，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，而不在平面内，所以平面.（2）四边形和都是正方形，所以，又平面，所以平面.平面，所以平面平面.过点作，垂足为，由平面平面可知平面.所以是与平面所成的角，.设，则.如图，以为原点，所在直线分别为轴，在平面内过作的平行线为轴，建立空间直角坐标系，则，设.由，所以，可得.同理可得，为的中点，所以.可知平面的一个法向量为.设平面的法向量坐标为，.则，那么有，令，则，所以.所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.18．(1)分布列为：0123期望为(2)(3)6人【分析】（1）根据分层抽样先确定每个省的抽取人数，然后确定的可能取值，求出对应的概率，进而得到分布列和期望.（2）根据全概率公式求解即可.（3）根据二项分布计算概率，然后作差求得最值即可.【详解】（1）分层抽样比例为，因此，甲省抽取人，乙省抽取人，丙省抽取人，其他省抽取人，从10人中选4人，设乙省人数为，丙省人数为，，可取，可取，且.时，；时，；时，；时，；所以分布列为：0123所以数学期望为.（2）记事件：表示甲省游客先于乙、丙两省游客完成游戏；事件：表示最后完成游戏的游客是乙省游客；事件：表示最后完成游戏的游客是丙省游客；所以..（3）设丙省游客被抽到的人数为，丙省游客的概率是，则，当，即时，，当，即时，，所以所以当时，最大.故丙省游客最有可能被抽取到6人.19．(1)证明见解析(2)(3)证明见解析【分析】（1）利用导数求切点处的切线方程，进而证明；（2）求出椭圆方程，联立椭圆与直线方程，利用韦达定理和三角形面积公式列出表达式，再利用函数的性质求出最值；（3）表示出直线的斜率，根据指数函数的性质证明；利用点差法得到，再根据点在椭圆内部，通过放缩进行证明.【详解】（1）设，则，因为曲线与y轴交于点P，所以，又，所以直线l的方程为：，即，所以直线l过定点；（2）由（1）及题意可得：，又，