江西省2026年高三一模高考数学模拟试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2026年全市高三模拟考试数学试题本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（

）A．2 B． C． D．3．某市连续8天的AQI（空气质量指数）分别为，则这组数据的上四分位数为（

）A．32 B．33 C．48 D．494．已知圆台的上下底面半径分别为1和2，母线与底面夹角的余弦值为，则该圆台的体积为（

）A． B． C． D．5．已知过原点的直线与圆相交于，两点，则的最小值为（

）A．3 B．6 C．8 D．106．已知函数在定义域上是增函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．7．已知数列的各项均不为0，其前项积为，且，记数列的前项和为，则（

）A． B． C． D．8．已知椭圆的左焦点为，为坐标原点，为椭圆上任意一点，以为直径作圆，若圆上有一动点（不在轴上），则面积的最大值为（

）A．1 B． C．2 D．4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知函数，函数和它的导函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．B．C．是函数的一条对称轴D．若，则10．如图，在菱形网格图（最小的菱形边长为1，且有一个内角为60°）中有两个格点，，若图中有且只有2个不同的格点（不与，重合）使得成立，则的可能取值为（

）A．0 B．1 C．4 D．911．已知函数的定义域为，且对均有成立，当时，，则（

）A． B．为偶函数C．当时， D．在上单调递增三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若，则___________.13．设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为___________.14．春节期间，家家户户都会挂起寓意吉祥的装饰挂件，现有“福字挂饰”、“中国结挂饰”、“红灯笼挂饰”三种类型的挂件各2个（其中福字挂饰分别为刺绣款、剪纸款；中国结挂饰分别为桃木款、红绳款；红灯笼挂饰分别为宫灯款、纱灯款），将这6个挂件随机挂成一排，则仅有一种类型的挂件相邻的概率为___________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在中，角，，所对的边分别为，，，且.(1)求；(2)若，的面积为，求的值.16．如图，平行六面体中，底面是边长为的正方形，.(1)证明：平面平面；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.17．某校社团举行“网络安全”知识竞赛，规则如下：每位选手需要独立完成3道题目，答对一题得2分，答错一题得分，3道题目累加得分多者获胜，甲、乙两位同学报名参加比赛，两人分别独立答题，互不影响，若甲、乙正确回答每道题的概率分别为、.(1)求比赛结束后甲得3分的概率；(2)已知在甲获胜的前提下，乙恰好得3分的概率为，求的值.18．已知双曲线的离心率为，其焦点到渐近线的距离为1，点为圆上一动点.(1)求双曲线的标准方程；(2)若过点可以作双曲线的两条切线，，且切点分别为，.（ⅰ）设直线，的斜率分别为，，求的值；（ⅱ）设，分别交圆于点，，试探究是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.19．已知函数.(1)若，求函数在处的切线方程；(2)若，，讨论的单调性；(3)若对任意的，恒成立，求的取值范围.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．C【分析】根据一元二次不等式的解法，可得集合A，根据指数函数的单调性，可得集合B，根据交集运算的概念，即可得答案.【详解】由，得，则，由，得，因为在R上单调递增，所以，则，所以.2．A【详解】因为，所以，所以，所以的虚部为2.3．D【分析】上四分位数即第75百分位数，将已知数据按从小到大的顺序排列后，根据百分位数的计算步骤先计算，再计算上四分位数即可.【详解】将按从小到大的顺序排列为，因为，6为整数，所以上四分位数即从小到大排列中的第6与第7个数据的平均数，即.4．B【详解】已知圆台上底半径，下底半径，半径之差，已知母线与底面夹角的余弦值为，设母线长为，则，解得，设圆台的高为，由勾股定理可得，圆台的体积为．5．B【分析】判断原点与圆的位置关系，再由最小需有直线，最后应用几何法求弦长即可.【详解】由，即原点在已知圆内部，且圆心，，若原点为，要使最小，则圆心到直线的距离最大，此时直线，而，所以最小.6．C【分析】利用分段函数的单调性法则可得答案.【详解】要使函数在上为增函数，需满足以下条件：（1）在上单调递增，当时，为开口向下的二次函数，需对称轴；（2）由在上单调递增，当时，，，得：对任意恒成立，即对任意恒成立，令，对任意恒成立，所以在上单调递增，，故；（3）在处的左极限小于等于在处的右极限，所以，即，即：.综上：，即.7．A【分析】首先根据已知条件推导出数列的通项公式，进而可知的表达式，然后求出的通项公式，利用裂项相消法求得结果.【详解】将代入得，即，解得，当时，将代入得，去分母得，所以，所以，所以，所以数列是首项为，公差为1的等差数列，所以，所以，所以，所以.8．A【分析】设，根据条件，可得圆C的圆心坐标和半径r，进而可得面积S的表达式，分析可得只需求的最大值即可，求出的表达式，利用导数求出其单调性与最大值，分析求解，即可得答案.【详解】由题意得，所以，设，则圆心，半径，又点P在椭圆E上，所以，即，则，又面积，要使面积最大，只需最大，因为点M在圆C上，且圆心C的纵坐标为，所以的最大值为，令，则，令，解得，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以最大值为，即的最大值为2，所以面积的最大值为.9．BCD【分析】由图分析，点在导函数上且2为极大值，且的最大值为1，结合正余弦函数的性质及导数运算求出对应参数，进而依次判断各项的正误.【详解】由图及导数符号与函数单调性关系可知，点在导函数图象上且2为极大值，所以的最大值为1，则，故，A错，由题设，则，令，则，所以，，可得，，由，则有，B对，综上，，所以，即是函数的一条对称轴，C对，由，则，即，所以，D对.10．ABC【分析】如图建系，求得A、B点坐标，根据数量积公式，可得的表达式，进而可得点P的轨迹方程，根据菱形的性质及余弦定理，可得各个长度，分析选项，即可得答案.【详解】将格点标上字母，以AC方向为x轴正方向，过A作y轴垂直x轴，如图所示由题意得，设，则，所以，则，即点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆，由菱形的性质可得，，菱形的短对角线长度为1，长对角线长度为，由余弦定理得，即，同理，当时，半径为，此时，又不与，重合，所以点M、E两点符合题意，故A正确；当时，半径为2，此时点I、N两点符合题意，故B正确；由余弦定理得，即，同理，当时，半径为，此时O、L两点符合题意，故C正确；由菱形的性质得，当时，半径为，此时只有一个P点满足条件，不符合题意.11．ACD【分析】利用赋值，判断A，令，判断函数的奇偶性；设，结合条件判断函数的奇偶性和单调性，从而判断C，根据，利用作差法，结合函数的性质，判断D.【详解】A.令，，再令，得，得，故A正确；B.令，得，，得，所以函数是奇函数，故B错误；C.设，为偶函数，原式两边同时除以，得，即，当时，，则，在中，令，，得，其中，，则，所以当时，，即当时，，当时，，，故C正确；D.由得，且为奇函数，所以为偶函数，由，可知，当时，，即，所以在上单调递增，则在上单调递减，结合C可知此时均有,设，，因为，且，所以，，所以，所以在上单调递增，故D正确.12．2【详解】因为，所以，，代入得.13．65【分析】利用等差数列性质将条件转化为关于的方程组，求解后得到通项，再判断的最大值.【详解】根据题意有，解得，则，当时，，当时，，所以的最大值为.14．##【分析】先计算6个挂件的总排列数，再计算“仅有一种类型相邻”的排列数，最后通过两者的比值即得.【详解】总排列数：因为6个挂件互不相同，故总排列数为：；再计算仅有一种类型的挂件相邻：若“福字挂饰”相邻：将两个福字挂饰“捆绑”为一个整体，共有种，但里面包含“福字挂饰”相邻与“中国结挂饰”相邻同时发生的情况、和“福字挂饰”相邻与“红灯笼挂饰”相邻同时发生的情况，分别有种，同时多扣除了“福字挂饰”相邻与“中国结挂饰”相邻且“红灯笼挂饰”相邻同时发生的情况，有种，所以仅“福字挂饰”相邻共有种；同理，“仅中国结挂饰”相邻和“仅红灯笼挂饰”相邻的情况也各为96，所以仅有一种类型的挂件相邻共有种，概率.15．(1)(2)【分析】（1）将边的关系转化为角的三角函数关系，化简得，进而求.（2）利用正弦定理建立边的关系，再结合面积公式求解即可.【详解】（1）在中，由正弦定理（为外接圆半径），得，所以，因为，所以，又因为，所以，所以，所以.（2）由题意得，所以，由正弦定理，而，所以，解得或（舍去）.故.16．(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接交于点，连接，因为底面是正方形，所以，又因为是中点，所以，进而可证平面，再结合面面垂直判定定理证明；（2）建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，再利用向量的夹角公式计算.【详解】（1）如图1，设与的交点为，连接，在正方形中，，，由可得，，且平面，所以平面，平面，故平面平面.（2）由（1）可知平面，所以平面平面，过点作的垂线交于点，则平面，在中，，在中，由余弦定理得，故得，所以，，建立如图2所示的空间直角坐标系，则，，，，故，，，，，设平面的法向量为，则由得，令得，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.17．(1)(2)【分析】（1）首先确定甲得3分的事件为答对2题，答错1题，根据二项分布概率公式求解；（2）首先分别求甲和乙得分的分布列，再求甲获胜的概率，最后代入条件概率公式，求解概率.【详解】（1）设“比赛结束后甲得3分”为事件，则；（2）记“比赛结束后甲获胜”为事件，记“比赛结束时乙恰好得3分”为事件，设甲的得分为，则，，，设乙的得分为，的可能取值为，，，，则，，，，

又，所以，解得18．(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）是，1【分析】（1）根据题意建立方程求得，代入即可求解；（2）（ⅰ）设出切线方程，切线与双曲线联立方程组，根据结合根与系数的关系计算可解；（ⅱ）分斜率为0或者斜率不存在、，都存在时两种情况分类讨论即可求解，当，都存在时由点差法可得，由几何关系可得，进而求解.【详解】（1）双曲线的右焦点，渐近线方程为，由题意可得，又因为，所以，，故双曲线的标准方程为；（2）（ⅰ）设，由题意知切线的斜率一定存在，设过点与双曲线相切的切线方程为，代入双曲线中消去得：，则由得：，化简得：，则，为上述方程的两个根，故，而，所以（ⅱ）为定值1.证明：当斜率为0或者斜率不存在时，根据对称性可知，此时，即；当，都存在时，设，，的中点为，由，即，由于切点弦所在的直线方程为，所以，因此，即，，三点共线，又由（ⅰ）可知与均为直角三角形，故，，则，，而，所以，故，，所以，即19．(1)(2)当时，在上单调递增；当时，增区间为和，减区间为；(3)【分析】（1）对求导，代入得到切线斜率，同时求出得到切点坐标，最后利用直线的点斜式方程得到切线方程；（2）因为，先化简函数，确定定义域，再对求导，将导数整理为便于分析符号的形式，根据的条件，通过讨论导数分子的正负情况，来确定函数的单调区间，会用到导数与函数单调性的关系；（3）因为对任意恒成立，先分析这个特殊点，再对求导，结合恒成立的条件，通过分类讨论、的取值，分析导数的符号与函数单调性的关系，进而确定的取值范围.【详解】（1）因为，所以，所以定义域为，，当时，，而，所以切线方程为；（2）当，时，，因为，所以，若，即时，，此时在上单调递增，若，即时，令，