直线与直线垂直（教学课件）高一数学人教A版必修第二册

第八章

立体几何初步

8.6空间直线、平面的垂直第1课时直线与直线的垂直学

习

目

标123理解空间中两条直线垂直的定义，掌握异面直线所成角的概念会求两条异面直线所成的角，能判断两条直线是否垂直掌握等角定理及其推论，能运用其证明空间中的角相等通过将空间问题转化为平面问题的过程，体会转化与化归的数学思想通过平移法求异面直线所成角，培养空间想象能力和逻辑推理能力感受空间几何的美，培养严谨的逻辑思维习惯体会数学概念的严谨性和数学语言的精确性新课引入同学们，我们在初中已经学习过平面内两条直线的垂直关系，比如长方形的长和宽互相垂直，两条相交直线夹角为90°时就是垂直。但在现实生活中，还有很多“不相交却垂直”的情况：比如教室里的黑板边框，水平的上边和竖直的侧边是相交垂直；而天花板上的横梁和地面的立柱，它们既不平行也不相交，却依然互相垂直。同学们还可以举出更多不相交垂直的例子。。。新课引入直线与直线垂直再观察我们熟悉的正方体ABCD-A1B1C1D1棱AA1和棱AB相交且垂直那棱AA1和棱BC呢？它们没有公共点，属于异面直线，却直观上感觉是垂直的。那么，空间中两条异面直线如何定义垂直？我们又该如何判断两条异面直线是否垂直、计算它们的“倾斜程度”呢？今天，我们就一起来学习《8.6.1直线与直线垂直》，解开这些疑问。互动探究异面直线所成角的概念形成直线与直线垂直分组活动：每组发放一个正方体模型和若干竹签探究任务操作要求讨论问题任务1在正方体中找出三组异面直线异面直线有哪些特征？任务2用竹签表示两条异面直线如何度量它们的位置关系？任务3尝试”平移”其中一条直线平移后能否相交？所成角会变吗？共同归纳：异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线求角方法：平移法——过空间任一点作两条直线的平行线角的范围：(0°,90°]（取锐角或直角）互动探究垂直定义的辨析直线与直线垂直辩析：空间中两直线垂直，必须相交且成90°角空间中两直线垂直，不一定相交，异面也可以垂直同学们分两组辩论，最后咱们总结：类型定义核心位置关系包含关系记法相交垂直两条直线相交且夹角为90°相交属于垂直的一种异面垂直两条异面直线所成角为90°异面不相交属于垂直的一种空间垂直两条直线所成角为90°相交/异面包含相交垂直、异面垂直关键理解：相交垂直⊂垂直（包含关系）垂直≠相交垂直（不相等）互动探究等角定理的探究直线与直线垂直

定理内容：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。构建体系直线与直线垂直异面直线所成的角

异面直线所成角步骤步骤名称核心操作注意要点1作平移其中一条或两条直线，使其相交平移后形成的角为锐角或直角2证证明所作角即为异面直线所成角依据异面直线所成角的定义3算在三角形中计算角度利用解三角形（勾股、余弦定理等）4答给出结论最终角取锐角或直角构建体系直线与直线垂直空间中直线与直线垂直定义：如果两条直线所成的角是直角，那么称这两条直线互相垂直。类型特征图示特点相交垂直在同一平面内，交角为90°有公共点异面垂直不同在任一平面，所成角为90°无公共点

构建体系直线与直线垂直等角定理定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。判断相等还是互补的方法：观察两角开口方向-同向（都朝里或都朝外）→相等-反向（一朝里一朝外）→互补推论：用于证明空间角相等，是求异面直线所成角的理论基础。典例分析题型1求异面直线所成角

直接平移法典例分析题型1求异面直线所成角

中位线平移法典例分析题型1求异面直线所成角

在原正方体右侧补一个全等的正方体

补形平移法典例分析题型2证明两异面直线垂直

ABDA1B1C1D1O1辅助线

锁定目标角

典例分析题型2证明两异面直线垂直例4

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CD1与DC1相交于点O，求证：AO⊥A1B.辅助线连接CD1,AD1,CD1确定目标角如图，∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴A1D1平行且等于BC，∴四边形A1D1CB是平行四边形，∴A1B∥D1C，∴直线AO与A1B所成角即为直线AO与D1C所成角，成角为直角易证AC＝AD1，又O为CD1的中点，∴AO⊥D1C，∴AO⊥A1B.

要证明两异面直线垂直，应先构造两异面直线所成的角.若能证明这个角是直角，即得到两直线垂直.典例分析题型3异面直线所成角的应用

如图,取𝑩𝑪中点𝑶,连接𝑶𝑬,𝑶𝑭.辅助线异面角变内角

分类计算EF

当堂练习1.

如图在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB＝BB′＝2.求证：BE⊥AC′.证明取CC′的中点F，连EF，BF，∴EF∥AC′，∴BE和EF所成角∠BEF∵E为AC的中点，F为CC′的中点，在△BEF中BE2＋EF2＝BF2，当堂练习2.在四面体ABCD中,AB=CD,且AB与CD所成的角为30°,E,F分别是BC,AD的中点,求EF与AB所成角的大小.

解:如图所示,取AC的中点G,连接EG,FG,则EG∥AB,GF∥CD,且由AB=CD知EG=FG,所以∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角,∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角.因为AB与CD所成的角为30°,所以∠EGF=30°或150°.由EG=FG,知△EFG为等腰三角形,当∠EGF=30°时,∠GEF=75°;当∠EGF=150°时,∠GEF=15°.故EF与AB所成的角为15°或5°.当堂练习3.如图所示,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,AB的中点为M,DD'的中点为N,则异面直线B'M和CN所成角的大小是(

)A.90° B.60° C.45° D.30°当堂练习4.经过空间一点P作与直线a成60°角的直线,这样的直线有(

)A.0条 B.1条C.有限条 D.无数条解析:这些直线可以是以P为顶点,以过点P且平行于a的直线为轴的圆锥的母线所在的直线,有无数条直线.5.

2.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是(

)A.一定平行 B.一定相交C.一定异面 D.相交或异面如图①,分别与异面直线a,b平行的两条直线c和d是相交关系.如图②,分别与异面直线a,b平行的两条直线c和d是异面关系.综上可知,应选D.学海拾贝知识小结

要点内容注意异面直线不同在任何一个平面内既不平行也不相交所成角平移后相交直线的锐角或直角垂直包括相交垂直和异面垂直只需所成角为90°求角步骤作→证→算→答务必取锐角或直角学海拾贝方法小结平移法：将空间角转化为平面角，常用中位线、平行四边形平移模型法：利用正方体、正四面体等特殊几何体的性质计算技巧：常构造三角形，利用余弦定理或解直角三角形一个思想：将异面直线问题转化为相交直线问题，体现“转化与化归”的数学思想。学海拾贝易错提醒和后续展望误区1：认为“垂直必相交”——纠