2025-2026学年江西省九江市高二下学期数学3月月考试卷（含答案）

2025-2026学年度高二年级下学期3月月考一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.数列1,−22,1A.−22n−B.−2.等比数列an的公比为2,则aA.12B.13.已知正项等比数列anA.32B.92C.814.若数列an满足a1=2,anA.−12B.−15.已知等比数列an的前n项和为Sn,且S3=2A.8B.4C.2D.16.已知等差数列an的项数为奇数,其中所有奇数项之和为220,所有偶数项之和为200,则数列项数为()A.9B.19C.21D.117.已知数列an满足an=logan+2,n<89−aA.{2,C.1,98.已知数列an的前n项和为Sn,且满足a1=−10,an=Snn+A.(−∞,−12]B.(−∞,−14]二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知等比数列an,aA.数列1an是等比数列B.数列1an的前nC.数列log2an是等差数列D.数列log2an10.已知an为等差数列,前n项和为Sn,a1=−A.a8=0B.当且仅当n=7C.数列Snn为等差数列D.满足Sn<0的最大整数11.南宋数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的面积、体积的连续量问题转化为求离散量的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形类比，推导出了三角垛、方垛、刍甍垛、刍童垛等的公式,后人经常利用“三角垛”解决现实中的堆垛问题.现有一堆货物,从上向下数,第一层有1个货物,第二层比第一层多2个,第三层比第二层多3个,以此类推,记第n层货物的个数为an,前n层货物的总数为SnA.aB.集合a51,a52C.设bn=−1nan,则D.1三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.等差数列an的前n项和为Sn,若S20062006=13.已知数列bn是公比为qq≠1的正项等比数列,且2lnb1012=014.在正项数列an中,对任意m,n∈N∗,am+四、解答题:本题共5小题,共77分.其中第15题13分,第16题15分,第17题15分、第18题、第19题17分.15.已知等比数列an的前n项和为Sn,已知S3=42,a2−(1)求数列an(2)令bn=log2an,数列1bnbn+116.如图,四边形ABCD是正方形,AP⊥平面ABCD,AP//DQ,AD=AP=3,DQ=(1)求证:CD⊥(2)求直线BC与平面CPQ所成角的正弦值.17.已知数列an满足1(1)求an的通项公式与前n项和S(2)求数列an⋅3n+1的前18.记Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和,已知a3+3a4=S5,a(1)求an(2)证明:数列bn2(3)若数列cn满足cn=−1n−14na19.某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动,抽奖规则是:有放回地从装有大小相同的4个红球和2个黑球的袋中任意抽取一个,若第一次抽到红球则奖励40元的奖券,抽到黑球则奖励20元的奖券;第二次开始,每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍,抽到黑球则奖励20元的奖券.记顾客甲第n次抽奖所得的奖券数额Xn1≤n≤(1)求EX1及X(2)写出EXn与EXn−1(3)若顾客甲一共有6次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望(参考数据:42025-2026学年度高二年级下学期3月月考一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.数列1,−22,1A.−22n−1B.解选A.对数列的前几项变形,找出规律,从而写出数列的一个通项公式.数列1,−22,12,−所以数列的一个通项公式an2.等比数列an的公比为2,则aA.12B.1解选D.利用等比数列通项公式an=a1q3.已知正项等比数列anA.32B.92C.81解选C.设等比数列an的公比为q.由a4=9a2可得a4a2=q2=9,又an>0,所以q=34.若数列an满足a1=2,anA.−12B.−1解选D.由a1=2,得a2=1+21−2=−3,a3=1−315.已知等比数列an的前n项和为Sn,且S3=2A.8B.4C.2D.1解选A.由题意可知,S3,S6−S3,S9−S66.已知等差数列an的项数为奇数,其中所有奇数项之和为220,所有偶数项之和为200,则数列项数为A.9B.19C.21D.11解选C.设等差数列an共2n+1项,则其中奇数项有n+1项,偶数项有n项,且各成等差数列.奇数项和为a1+a3+⋯+a2n+1=n+1a1+a2n+12=7.已知数列an满足an=logan+2,n<89−aA.{2,C.1,9解选B.由题意数列an为递增数列,所以则1<a<9且loga9<72−9a,又a为正整数,由1<a<9知,a∈{2,3,4,5,6,7,8},当a=2时,8.已知数列an的前n项和为Sn,且满足a1=−10,an=SnA.(−∞,−12]B.(−∞,−14]解选B.已知数列an的前n项和为Sn,且满足a1=−10,an=Snn+3n−1,则当n≥2时,Sn−Sn−1=Snn+3n−1,整理得n−1Sn−nSn−1=3nn−1,所以Snn−Sn−1n−1= 3n≥2,又当n=1时,S1=a1=−二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知等比数列an,aA.数列1an是等比数列B.数列1an的前nC.数列log2an是等差数列D.数列log2an解选AC.由题可得an=2×3n−1,则1an=12×13n−1,所以数列1an是等比数列,故A正确;Sn= 121−1310.已知an为等差数列,前n项和为SnA.a8=0B.当且仅当n=7C.数列Snn为等差数列D.满足Sn<0的最大整数解选ACD.对于A,S10−S5=a6+a7+a8+a9+a10=0,由等差数列性质可得5a8=0,故a8=0, A正确;对于B,d=a8−a17=147=2,故Sn=na1+nn−12d=−14n+nn11.南宋数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的面积、体积的连续量问题转化为求离散量的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形类比，推导出了三角垛、方垛、刍甍垛、刍童垛等的公式,后人经常利用“三角垛”解决现实中的堆垛问题.现有一堆货物，从上向下数，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个,以此类推,记第n层货物的个数为an,前n层货物的总数为SnA.aB.集合a51,a52C.设bn=−1nan,则D.1解选ACD.对于A,依题意a1=1,a2=3,a3=6,且an+1−a对于B,当n=4k+1,k∈N时,an=a4k+1=4k+14k+22=4k+12k+1,此时an为奇数;同理当n=4k+2对于C,设bn的前n项和为Tn,因为bT=故C正确;对于D,由an=S故1Sn=6故D正确.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.等差数列an的前n项和为Sn,若S20062006解填n2设等差数列an的公差为d,因为S则2006+2006×20052d2006=200513.已知数列bn是公比为qq≠1的正项等比数列,且2lnb1012=解填4046.由数列bn是公比为qq≠1的正项等比数列,故bn>0,2lnb由fx=41+x2,则当x>0时,有故fb14.在正项数列an中,对任意m,n∈N∗,am+解填0,+∞令m=1,则an+1=a1+an+1因为ann为单调递增数列,所以an化简得n+1+2−2λn+1>n+2−2λn四、解答题:本题共5小题,共77分.其中第15题13分,第16题15分,第17题15分、第18题、第19题17分.15.已知等比数列an的前n项和为Sn,已知S3=42,a2−(1)求数列an(2)令bn=log2an，数列1bnbn+1解(1)设等比数列an的首项为a1,公比为qa解得q=2或q=4,因为q>2,所以q=4(2)bn=log2aT16.如图,四边形ABCD是正方形,AP⊥平面ABCD,AP//DQ,AD=AP=3,DQ=(1)求证:CD⊥(2)求直线BC与平面CPQ所成角的正弦值.解(1)因为四边形ABCD为正方形,且PA⊥平面ABCD,所以AP、AB、AD两两互相垂直.以点A为坐标原点,以AB、则P0所以EF=所以CD⋅EF=0×−3+0(2)设平面CPQ的法向量m=xm取x=1,可得m=1,2,3,所以平面CPQ的一个法向量为m=1,2,3,又BC=0,所以直线BC与平面CPQ所成角的正弦值为14717.已知数列an满足1(1)求an的通项公式与前n项和Sn(2)求数列an⋅3n+1的前解(1)因为13所以当n=1时,当n≥2时,由式(1)一式(2)整理得an=2n+13n≥2所以数列an是以1为首项,23所以Sn(2)因为an⋅3n+因为3T所以−2Tn=318.记Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和,已知a3+3a4=S5,a(1)求an(2)证明:数列bn2(3)若数列cn满足cn=−1n−14na解(1)设等差数列an的公差为由a3+3a解得a1=2d=2所以an(2)由(1)可知b1=a1由bn=3bn−1+所以数列bn2n+1是差32(3)由(1)可得c==设cn的前n项和为WnW==当n为奇数时,Wn=1+12n+1当n为偶数时,Wn=1−12n+1所以Wn的最大值为43,最小值为19.某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动,抽奖规则是:有放回地从装有大小相同的4个红球和2个黑球的袋中任意抽取一个,若第一次抽到红球则奖励40元的奖券,抽到黑球则奖励20元的奖券;第二次开始,每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍,抽到黑球则奖励20元的奖券.记顾客甲第n次抽奖所得的奖券数额Xn1≤n≤(1)求EX1及X(2)写出EXn