安徽马鞍山市第二中学2025-2026学年第二学期3月教学质量监测高二数学试题（含答案）

马鞍山市第二中学2025~2026学年第二学期3月教学质量监测高二数学试题注意事项:1.答卷前，务必将自己的姓名、考号和班级填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量a=3,2,2,b=A.2B.-1C.0D.-22.在等差数列an中,Sn是其前n项和,且S2007=S2026,SA.2018B.2019C.2020D.20213.若从1,2,3,…,nnA.6B.7C.20D.214.已知M,A,B,C为空间中四点,任意三点不共线,且OM=xOA+yOBA.2B.3C.4D.55.已知圆x2+y2-2ax+4=0A.-6或2B.6或-2C.-6D.26.若函数fx=-x2+ax+4lnx在A.-2,+∞B.-2,7.在平面直角坐标系中,已知点F1,F2分别为椭圆C:x24+y2=1的左,右焦点,P为椭圆C上的点，过F2作角A.4πB.3πC.28.若∃m∈R使得不等式lnxx-mln2-ln24x-A.1B.eC.4D.2e二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知等比数列an的前n项和为Sn,公比为q,若a1≠A.q=12B.a510.点P在圆C1:x2+y2=1上,点QA.圆C1,圆C2B.PQ的最大值为7C.两个圆心所在的直线斜率为-D.两个圆的公共弦所在直线的方程为611.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是AB,AD的中点，点PA.若P为线段C1D1的中点,则直线PM//B.三棱锥A-PMN的体积为C.在线段C1D1上存在点P,D.若MN⊥PN,则点P的轨迹长为三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知数列an满足an+1=11-an13.一个火车站有10股道,如果每股道只能停放1列火车,现要停放5列不同的火车,每两列火车不能停在相邻股道,则不同的停放方法共有_____种.14.设函数fx=lnx-12ax2-bx，若x=2是fx的极大值点，则a取值范围为_____.四、解答题:题共515.在平面直角坐标系xOy中,点A3,0,动点Px,(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)若直线l过点Q1,4且与轨迹C相切,求直线l16.设Sn为数列an的前n项和,已知(1)求数列an(2)求数列an2n的前n项和Tn，并证明17.如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD//BC,PA(1)求证:CM//平面PAB(2)若AB⊥AD，在线段BD上是否存在点Q，使得直线PD与平面PAQ所成角的正弦值为155?若存在,求出BQBD的值;18.已知双曲线C:x2a2-y(1)求C的方程；(2)过C的右焦点且斜率不为0的直线l与C交于A,B两点，设M,N分别为C的左、右顶点，且直线AM,BN的斜率分别为k1,k2,判断:k1k219.已知函数fx(1)讨论fx单调性(2)若fx≥0恒成立,求a(3)当a≥12时,证明:当x>1时,1.D由题意得a⋅b=3×22.D因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数所以由二次函数的对称性及S2007可得2007+20262=2012+3.B根据组合知识求解即可.由题意,得Cn2=21,解得n=-6(舍去)或故选:B4.C因为M,A,B,C四点共面,且OM=xOA+y5.C首先将圆的方程化成标准方程,再利用直线与圆相切的条件即可求解.将圆的方程化成标准方程为x-因为圆x2+y2-2ax则有a2-4>0a6.B求得f'x=-2x+a+4x,令gx=f'x,得到g'x<0,得出f'x在由函数fx=-x2+ax+4lnx令gx=f'x=-所以f'x在1,要使得函数fx在1,2上有最大值,则函数fx在则存在x0∈1,2,使得fx在1,x0即f'x有零点,所以f'2=a所以实数a的取值范围为-27.A延长F2H交F1P延长线于点Q,根据椭圆的定义以及外角平分线的性质可得F1Q=PF1+PQ=PF1+PF2=根据题意可得F延长F2H交F1P延长线于点Q,因PH是∠F故△PF2Q为等腰三角形,即PQ=PF由椭圆定义:PF则F1在△F1QF2中,O为F1F2中点,根据三角形中位线定理:OH=所以点H的轨迹是以原点O0,0为圆心、半径r则轨迹长度(圆周长):L=8.C令fx=lnxx,gx=ln2-ln24x,将问题转化为∃m∈R使得不等式令fx=lnxx,则f'x=1-lnxx2,当x∈e,+∞时,所以函数fx在0,e上单调递增,在e,+∞上单调递减,函数gx在0,+∞上单调递减.所以∃m∈R使得不等式lnxx-mln2-ln24x-m令fx=gx得x=2因此实数a的最大值为4.9.AD根据题意,求出a1,q,根据等比数列的通项公式及前n因为a1≠a2,a2=a1q因为a3-a2=2a4-a3,所以a又a3⋅a4=2a1,所以所以a5=a1q4所以S6=a11-10.BC先把两个圆的方程都转化成标准形式,得出圆心坐标和半径大小,再算圆心距,并判断位置关系,求PQ的最值,及圆心连线斜率,最后逐一判断选项即可.圆C1:x2+y2=1,圆C2:x2+y所以圆心O23,-4,则O1所以两圆相离，有四条公切线,A错误.PQ的最大值:O1O2+rC.选项:两圆心连线斜率k=-4D.选项:两圆外离,无相交弦,故方程不存在,D错误.11.ABD根据题目条件,以D为原点,DA,DC,DD1方向为x以D为原点,DA,DC,DD1方向为D0M,N分别是AB,AD的中点点P在正方形A1B1C1D1上,设对于A选项，P为线段C1D1的中点，则又ABCD-A1B1C1D1是正方体,则AB⋅PM=0×2又PM⊄平面BCC1B1,所以直线PM平行平面对于B,三棱锥A-PMN体积与P-△AMN的顶点A2AM=点Px,y,2到于是VP-AMN=1对于C,在线段C1D1上:C10,MN垂直条件MN⊥PM即MN⋅但t∈0,2,所以不存在这样的点对于D,MN⊥PN即MN=-1,-1,点P限制在0≤x≤2,0≤y≤2,且z=2平面上,因此x+y=1在这个范围内对应一条线段:当x=0时y=线段长度:P1P2=1-02故选:ABD12.-1根据数列的递推公式可得数列an是周期为3的周期数列,根据数列的周期性即可得解∵∴a则an是周期为3的周期数列又∵2026∴a13.720利用插空法进行计算即可.总共有10股道,要停放5列火车,那么剩下的空股道有10-5=这5股空股道排好后,会形成5+1=6个可以插入火车的“空隙”首先,从6个空隙中选5个,有C65=然后,将5列不同的火车在这5个位置上进行全排列,有A55=总的方法数是选位置的方法数乘以排列的方法数即C65×14.-求出函数fx的导数,结合极大值点化简f'x,再按a函数fx的定义域为0,+∞,求导得由f'2=0,得b=1当a≥0时,由f'x>0,得0<x<2函数fx在0,2上单调递增,在2,+∞上单调递减,x=2是fx的极大值点,因此a≥0;若-12a=2,则f'x≥0,函数fx在0,+∞上单调递增,函数fx无极值,不符合题意;若-12a<2,由函数fx在-12a,2上单调递减,在2,+∞上单调递增,x=2若-12a>2,由0<x<2,得f'x函数fx在0,2上单调递增,在2,-12a上单调递减,x符合题意,此时-12a>2所以a取值范围为-115.1(2)x=1或(1)因为PA=2PO,Px,y(2)由点斜式设出直线l的方程，因为l与C相切，且C的轨迹是圆，则有圆心到直线的距离等于半径,结合点到直线距离公式即可求得当斜率存在时直线l的方程,再考虑直线l的斜率不存在即可.(1)因为Px,y,由PA=2PO化简得x2+y2+2所以P点的轨迹C的方程为x+(2)由(1)知，轨迹C:x+12+y2当直线l的斜率不存在时,方程为x=此时圆心C-1,0到直线x=1的距离故直线x=1与C相切,当直线l的斜率存在时,设l:y-4=k于是圆心C-1,0到即k-1-0-k因此直线l的方程为y-4=34x所以直线l的方程为x=1或16.(1)因Snn+n=a则当n≥2时,两式作差得,an即n-1an-a又因为a1=1,则an是首项为1,则an(2)由(1)知，an2∴T∴1相减得1=∴T∵T∴T∴Tn∴T17.(1)取PA中点N,∵M为PD中点，∴MN//AD又∵BC=1,BC//∴四边形BCMN为平行四边形,所以CM//∵BN⊂平面PAB,CM∴CM//平面(2)∵PA⊥平面ABCD，且AB⊥AD，所以以点A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,得A0∴ABAD假设存在点Q满足题意,设BQAQ设平面PAQ的法向量为n则AP⋅n=c=0AQ⋅n=设直线PD与平面PAQ所成的角为θ,则sin化简得3λ2+2λ-1=0因为0≤λ≤1,所以λ=118.1(2)是定值,-(1)根据题设列出关于a,b,c(2)设l的方程为x=my+2，与双曲线方程联立，写出韦达定理，分别求出直线AM,BN的斜率k1,k(1)由题意，可得4a解得a2所以C的方程为x2(2)由(1)知，C的右焦点为F22,0，设l的方程为与方程x2-y23=1因为l与C有两个交点,所以3m2-1≠0且设Ax1,y1,Bx2,y2,则y1+y所以k1k2=y1代入可得,k1k2=-34y19.(1)解:由函数fx=x-1-alnx①当a≤0时，f'x>0，故f②当a>0时,令f'x=0当x∈0,a时,f'x<0;当所以fx在0,a上单调递减,在a(2)解:由函数fx的定义域为0①若a≤0，由(