甘肃陇南市宕昌第一中学、第二中学、两当第一中学2025-2026年高三下学期二诊摸底考试数学试卷（含答案）

2025-2026年宕昌第一中学、第二中学、两当第一中学高三二诊摸底考试数学试卷注意事项:1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合.1.已知集合U={1,2,A.⌀B.{1}C.{5}D.{2.如图,设AB=xAD,AC=yAE,线段DE与BC交于点FA.4B.3C.523.已知Sn为等差数列an的前n项和,d为其公差,且S①d>0；②S12=0；③使得Sn取得最小值时的n为6；④满足Sn>0A.1B.2C.3D.44.已知p:a=−4,q:直线ax+4y−4=0与直线A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.函数fx=log0.5x2−ax+3A.(−∞,2]B.[2,+∞)6.已知一道解答题共有两小问,某班50个人中有30个人能够解答出第一问.在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7,则解答出第二问的概率为()A.0.46B.0.22C.0.18D.0.047.点A6,1到直线lA.4B.5C.6D.348.已知函数fx=2x−1,x<2,x−3,x≥A.−1<a<0B.二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.若z1,zA.z1+C.z1⋅10.如图,弹簧挂着的小球做上下运动,它在t秒时相对于平衡位置的高度h(单位:cm)由关系式h=2sin2t+π4确定,以tA.小球在开始振动t=0时的位置离平衡位置的距离为B.当t=3πC.小球往复运动一次经过的时间为π秒D.当t∈π11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1,点PA.三棱锥A−PDB.存在点P,使得A1P⊥C.若正方体棱长为2,P为侧面BB1C1CD.若正方体棱长为2,O为线段AlD的中点,OP与平面BB1C1C所成角为π3三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.一批电阻的阻值X(单位:Ω)服从正态分布N1000,52,现从甲、乙两箱成品中各随机抽取一只电阻,测得阻值分别为1011Ω和982Ω,可以认为_____.①甲、乙两箱电阻均可出厂;②甲、乙两箱电阻均不可出厂;③甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂；④甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂.13.过直线l:x+y−4=0上一点P作圆C:x14.已知数列an=3n−1,bn=3n−2,将bn中的项按从小到大的顺序插入an中,且在任意的ak,ak+1之间插入2k四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在平面四边形ABCD中,∠ABC(1)若△ABC的面积为33，求AC(2)若AD=33，∠16.在四棱锥E−ABCD中，底面ABCD是矩形且AB=2BC=2，侧面△ADE是正三角形且垂直于底面ABCD,F是AB(1)异面直线AE与CF所成角的余弦值；(2)点O到平面EFC的距离；(3)二面角E−FC17.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a(1)求C的方程.(2)已知M,N是C上异于A(i)若M,N关于y轴对称,证明:直线AM与BN(ii)若直线MN经过点0,−1,证明:直线AN与BM18.已知函数fx(1)讨论函数fx(2)若曲线fx在x=2处的切线垂直于直线y=2x,对任意x∈0,+∞，(3)若x0为函数gx=xf19.现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期T内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为p，分裂成两个新细胞的概率为1−p;新细胞在下一个周期T内可以继续分裂,每个细胞的分裂相互独立.设有一个初始的细胞,在第一个周期T内开始分裂,记nn∈N∗个周期结束后,细胞的数量为(1)若p=23，求(2)求PXn(3)求证:PX1.C∁UA={3,故选:C.2.DBF=又BF=15BC,故AF−因为AB=xAD,AC因为D,E,F故4x+故选:D3.D对于①:因为S5=S7>所以d=a对于②:因为S5=S7，所以所以S12=对于③:因为a6<0,a7所以等差数列an中前6项均小于0,则使得Sn取得最小值时的n为对于④:因为S12=0,且an所以S13>0,且满足Sn>0成立的最小故选:D4.A因为直线ax+4y−4=0所以aa+2−4×2=0,即a当a=−4时,−当a=2时,2所以,两直线平行时a=−4或因此p是q的充分不必要条件.5.D由函数y=log0.5x在则函数y=x2−ax+且y=x2−ax+则有a2≥11−故实数a的取值范围为2,故选:D.6.B设“解出第一问”为事件A，“解出第二问”为事件B，由题意可得:PA则PA所以PB故选:B.7.B把直线l的方程重新整理得:λ5x因为该等式对任意λ都成立,所以5x−27y+22=即直线l恒过定点P1当直线l绕点P旋转时,点A到直线的距离会发生变化,而当AP⊥l时，距离达到最大值，即点A6,1到直线l的最大距离，就是点A6此时dmax8.A:f当x<0时,fx在−∞,0当0≤x<2时,fx在0当x≥2时,fx在[2,+∞)作出函数fx设t=当t≥3时,方程t=f当1≤t<3时,方程t当0<t<1时,方程t当t=0时,方程t=f当−1≤t<0时,方程当t<−1时,方程t=f方程fx2−afx−a−1要使关于x的方程fx2−afx−a−1=所以t1=a+1时,方程t=fx有3故选:A.9.AC对于A,设z1则z1∵z1对于B,若z1=i,则z12=i对于C,设z1=a+b∵z1对于D,若z1=1+i,z∵z1故选:AC.10.ACD对A:因为h0=2sinπ4=2,所以小球在开始振动t对B:因为h3π8=2sin3π4+对C:因为T=2π2=π,所以小球往复运动一次经过的时间为π对D:因为t∈π8,π2,所以2t+π4∈π2,5π4,因为正弦函数y=sin故选:ACD11.AC对于选项A:因为平面BB1C1C//平面AA1D1D,可知点所以三棱锥A−PDD1的体积为V对于选项B:因为A1B1C1D又因为AA1⊥平面A1B1C1D且A1C1∩AA1=A1,A1由A1C⊂平面AA1同理可得:AB且B1D1∩AB1=B1,B1但点P是侧面BB1C1C内,即点P所以不存在点P,使得A1P⊥平面AB1D对于选项C:因为P为侧面BB1C1C又因为AB⊥平面BB1C1C,PC⊂且PB∩AB=B,PB,AB⊂平面PAB由AP⊂平面PAB,可得PC取AC的中点M,可得MA=又因为AB⊥BC,可得MA=MC=可知三棱锥P−ABC的外接球的球心为M,半径所以三棱锥P−ABC的外接球体积为43π对于选项D:取B1C的中点N,连接可知ON∥CD,且因为CD⊥平面BB1C1C,则可知OP与平面BB1C1C所成角为∠可知点P在平面BB1C1点P在侧面BB1C1取C1C的中点F,则即∠ENF=π6结合对称性可知:点P的轨迹长度为8×π12×23故选:AC.12.③依题意N1000μμ1011所以甲箱电阻可出厂,乙箱电阻不可出厂.故答案为:③13.2由题意知,x2则圆心C1,1,半径如图,过点P作圆C的两条切线PA,PB,切点分别为连接AB,CA,CB,CP,则所以AB⊥CP,有所以12rCP2−当CP最小时,AD取得最大值,即点C到直线x+yCP=d=1+1−42=又A,B,C三点不共线，AB为圆C的一条弦，所以所以2≤AB<2,即线段AB故答案为:[14.2803由题意可得a1,a2中间插入2项b1,ba3,a4中间插入6项b7,ba5,a6中间插入10项b21,b所以cn的前40项中an有6项,bn所以T===2803故答案为:2803.15.1(2)2(1)在△ABC中,BC∴S△ABC=1在△ABC中,由余弦定理得A∴AC(2)设∠DAC=α，则在Rt△ACD中，AD=33在△ABC中,由正弦定理得BCsin∠BAC=AC∴2cosα=3sinα,可得16.1(2)3(3)15(1)以O为原点，如图建立空间直角坐标系，因为AB=2BC则A1所以AE=所以异面直线AE与CF所成角的余弦值为cos⟨AE(2)因为EC=−12,2,−32则−12x1+令x1=1,则y1=因为OE=0,0,32,所以点OE(3)因为OE⊥平面FCD，所以OE=0,0,32是平面FCD的一个法向量，所以二面角E−FC−D17.(1)∵AB=4,∴2b离心率e=ca=1∴C(2)(i)证明:设Mx0,y0,x0≠0即y02=8−∴k故直线AM与BN的斜率之积为定值;(ii)证明:由题可知直线MN斜率存在,设直线方程为y=BΔ=直线AN的方程为y=则直线BM的方程为y=由①②两式解得y=所以直线AN与BM的交点在定直线y=−418.(1)fx=lnx−ax所以f′当a≤0时,f′x>0,故f当a>0时,由f′x>0,得0<x<故fx在0,1a上单调递增,在综上:当a≤0时,fx在当a>0时,fx在0,1a(2)因为f′x=1x−a，曲线fx在则fx在x=2处的切线的斜率为−12,即f则fx对任意x∈0,+∞,fx+bx−2≤0恒成立,即对任意令φx∴φ′x=lnx−2x当x∈0,e2时，φ′当x∈e2,+∞时,φ∴b≤1−1e2,则实数(3)函数gx=xfx+lnx−2=2xlnx−ax2−xa∈R，g′x=2lnx−2ax+当0<x<1时，m′x>0,m所以mx≤m1=0,即当0<x0<1时,因为e当x0≥1时,因为lnx≤x−1要证ex0>x0即证2x02−x0令hx=2x2