河南信阳市淮滨县第二高级中学2025-2026学年高二下学期数学单元测试题（二）（含答案）

淮滨二高2024级高二年级数学学科单元测试题(二)分值:150分时间:120分钟一、单选题(每小题5分，共40分)1.设fx在x0可导,则limΔxA.-4f'x0B.2.已知函数fx=1x2A.-2B.-4C.-123.已知函数fx的导函数y=f'xA.fx在区间x1,x3上单调递减B.fxC.f'x在区间x3,x4上单调递减D.f4.已知当x∈12,2时，a≤1A.0B.1C.2D.35.设p:fx=x3+2x2+mx+1在-∞,+∞内单调递增,A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要6.已知函数fx=x3-3x+A.函数fxB.函数fxC.点0,1是曲线yD.直线x+y=0与曲线7.已知a=1e,b=ln5A.a>b>cB.b8.已知函数fx=x2-12lnx+32在其定义域内的一个子区间A.-12,32B.二、多选题(每小题6分,共18分)9.下列不等式恒成立的是()A.ex≥C.sinx≤10.下列求导数运算正确的是()A.x3B.2C.xD.ln11.函数y=xexA.-1B.-eC.-1e三、填空题(每小题5分，共15分)12.函数fx=ex+1ln13.已知fx=13ax3+12a-114.已知曲线fx=a3x-2-e3x在点0四、解答题(共77分)15.已知曲线fx=x3+ax2+bx+1在点1,f1处的切线斜率为3,且16.已知函数fx(1)当a=1时，求fx在(2)讨论fx的单调性，并求最值17.已知某精密仪器生产总成本C(单位:万元)与月产量x(单位:台)的函数关系为C=100+4x,月最高产量为150台,出厂单价p(单位:万元)与月产量(1)求月利润L与产量x的函数关系式Lx(2)求月产量x为何值时,月利润Lx18.已知函数fx(1)当a=3时，求函数f(2)函数fx在2,4上是减函数，求实数a19.已知函数fx(1)求fx在点1,e(2)当a>0,对任意的x∈0,+∞,gx≤(3)证明:fx1.D根据极限的定义求解.limΔx→02.D根据导数的定义求解即可.由导数的定义可得:f故选:D.3.D根据导函数图象与函数极值、单调性关系一一分析即可.对A,当x∈x1,x2时,f'x当x∈x2,x3时,f'x<0,此时对B,在x=x5附近,导函数符号不变,则fx在x=x5处取不到极大值对C,当x∈x3,x4时,此时f'x对D,由图知x6,f'x6为附近的最低点,则f'x在x=故选:D.4.A构造函数fx=1-令fx=1-xx+lnx,则由f'x=0,当x∈12,1时,f'x<0,所以fx在区间12,1内单调递减,在∴在x∈12,2上所以a≤0,即a故选:A.5.B利用导数研究函数的单调性,求得p的等价命题,由充分条件、必要条件的定义,根据集合的包含关系可得结果.fx=x3+2x∴f'∴Δ=解得m≥所以p不能推出q,q能推出即p是q的必要不充分条件,故选B.6.D利用导数研究函数的单调性和极值,作图,根据图象变换,结合奇偶性,利用导数的几何意义,求切点验证,可得答案.对于函数fx=x3-3x+1,求导可得:f'x=3x-∞-1(-1,1)1(1,+∞)f+0-0+f↗极大值↘极小值↗则fx极大=f故A、B正确;由y=x3-3x为奇函数,且fx是由y=x3-3x向上平移1个单位得到的,故C正确;令f'x=-1,解得x=±63故选:D.7.A先构造函数,再根据函数的导函数得出函数单调性即可判断大小.设fx所以x∈0,e,f'x>a所以a>故选:A.8.D求导后讨论单调性,再根据题意可得a-1≥0由题知函数的定义域为0,+∞所以,当x∈0,12时,当x∈12,+∞时,因为函数fx=x2-12所以,a-1≥0a-所以，实数a的取值范围是1,故选:D.9.AB首先构造函数利用导数求出最值,即可判断A,B正确,利用特殊值即可判断C,D错误.对选项A,设fx当x∈-∞,0时,当x∈0,+∞时,f所以fxmin=f0=0,即ex对选项B,设gx当x∈0,1时，g'x当x∈1,+∞时,g所以gxmax=g1=0,即lnx对选项C,当x=-π2时,sin-π2=-1,此时对选项D,当x=1时,e<2+1故选:AB10.BCD根据导数的运算法则依次判断即可.对于A,x3+sin2'=3x对于B,由指数函数求导公式可得2x'=2xln2对于C,xsinx'=sinx+x对于D,lnxx'=1-ln故选:BCD.11.ABD利用导数工具研究函数单调性即可求出函数y=xe函数定义域为R,y'=ex+x⋅ex=所以x<-1时,y'<0;所以函数y=xex在-∞,-1上单调递减,∴当x=-1时,函数y=xe12.e求出切点坐标,利用导数求出切线的斜率即得解.解:f0=0,所以切点为∵f'x=ex故该切线方程为y=-ex,即故答案为:e13.-求导得f'x=x+1ax-由题意f'已知fx=13ax3所以x=-1是f'显然f'若a=0,则f所以此时fx在-∞,-1单调递增,在-即此时fx=13ax3+12a-1当a>0时,f'x=f所以此时fx在-∞,-1,1a,+∞上单调递增即此时fx=13ax3+12a-1当a<0(i)当-1<a<0f'x=x+此时fx在-∞,1a,-1,+∞即此时fx=13ax3+12a-1(ii)当a=-1时,f'x=x+1ax-1=-x+12即此时fx=13ax3+12a-1(iii)当a<-1时,f'x=此时fx在-∞,-1,1a,+∞上单调递减即此时fx=13ax3+12a-1综上所述，实数a的取值范围是-1故答案为:-114.5【解析】对fx求导,求出f'0,利用切线与直线2x-y+3由题意得,f'x=3a-则3a解得a=故答案为:5615.-2因为fx=x3+a又因为在点1,f1所以f'1=3+2由于x=23是y所以f'解得a=2,b=-416.(1)当a=1时,fx=ex+则f0则fx在0,f0处的切线方程:y-2(2)由fx=ex+ax①当a≥0时，f'x>0在R上恒成立，故f②当a<0时,由f'x=0当x<ln-a时,f'x<0,则f当x>ln-a时,f'x>0所以fx在x=ln-a有最小值,为f17.(1)Lx=-11800(2)月产量为120台时，月利润Lx(1)月利润函数Lx=出厂单价p×月产量x-成本C(2)由(1)知，利润函数Lx是x的三次函数，对Lx求导，令L'x=0，解得x的值，得出Lx解:(1)由题意,Lx则Lx=-11800x(2)L令L'x=0当x∈0,120时,L'x>0;因此,当x=120时,Lx所以，月产量为120台时，月利润Lx18.(1)减区间为0,12,1,+∞分析:(1)求导得f'x=-2x2-3x+1(2)f'x=-2x+a-1x≤0，在x∈2,4详解:(1)fa=3时,2x2-3x+1>0函数fx的定义域为0,+∞,在区间0,12,1,+∞上f'x<0.函数fx为减函数;在区间(2)函数fx在(2，4)上是减函数，则f'x=-2x+-2x+a-1x令gx=2x+1函数gx=2x+1x∴g∴实数a的取值范围(-∞,9点睛:本题考查导数的综合应用.导数的基本应用就是判断函数的单调性,f'x>0,单调递增,f'x<0,单调递减.当函数含参时19.(1)f'x=x+1ex,令(2)因为gx≤ax2-令Hx=lnx-ax2+12,当x∈0,12a当x∈12a,+∞时,故Hx的最大值为H因为Hx≤0恒成立,所以所以a≥12,即实数a的取值范围为(3)法一:由(2)得当a=12时，即lnx≤12x2所以Fx令Gx=x-1e故Gx在0,+∞上单调递增,所以Gx>G0=0