湖南衡阳市衡阳县第五中学2025-2026学年高二下学期3月月考数学试题（含答案）

衡阳县五中2026年春高二3月月考数学分值:150分时间:120分钟一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.每小题四个选项中只有一项符合题目要求.1.已知复数z满足z1+i=2+i，则A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知点F1-4,0,F24,0,曲线上的动点A.x29C.y293.若抛物线y2=4mx的焦点与椭圆x27+y2A.-12B.4.直线3x+2y+1=0A.相交B.相切C.相离D.与r有关5.甲、乙、丙等八个人围成一圈，要求甲、乙、丙三人两两不相邻，则不同的排列方法有()A.720种B.1440种C.2880种D.4320种6.数列an,bn满足an⋅bn=1,A.13B.2551C.17.如图，在直三棱柱ABC-A'B'C'中，∠ABC=90∘，AB=BC=BB'=1，E、FA.22B.66C.-8.已知函数fn=n2cosnπn∈N*A.-100B.0C.100D.10200二、选择题,本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.若椭圆C:x2m+y2mA.mB.C的长轴长为23C.C的短轴长为4D.C的离心率为110.设抛物线y2=2pxp>0的焦点为F.点M在y轴上,若线段FM的中点B在抛物线上,且点B到抛物线准线的距离为32A.0,-4B.0,-211.已知数列an满足a1=1,A.1an+B.an的通项公式为C.anD.1an的前n项和三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.12.二项式2x-113.已知圆C:x2+y2-8x+15=0,直线y=kx+2上至少存在一点P,14.设椭圆x2a2+y2b2=1a>b>PF1=四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知直线l1:3x+2y+6(1)若l1与l2的倾斜角互补，求m(2)当m为何值时，三条直线能围成一个直角三角形.16.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1(1)求证:MN//平面BCC(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值.条件①:AB⊥条件②:BM=注:如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.17.记Sn为数列an的前n项和,已知(1)求数列an(2)用数学归纳法证明:a118.已知斜率为3的直线l与抛物线C:y2=4x(1)求线段PQ中点纵坐标的值；(2)已知点T3,0，直线TP，TQ分别与抛物线相交于M，N两点(异于P，Q).则在y轴上是否存在一定点S,使得直线MN恒过该点?若存在,求出点S的坐标;若不存在19.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(1)求椭圆E的方程；(2)设O为坐标原点，点Mx0,y0x0≠0在椭圆E上，直线x0x+2y0y-4=0与直线y=2，y=-2分别交于点A1.D先由复数的除法运算法则求得复数z,再由复数的几何意义求解即可因为z1所以z=所以z在复平面上对应的点32,-1故选:D2.A由题意可得PF1-P由题意可得PF由双曲线定义可知,所求曲线方程为双曲线一支,且2a=6,2c所以b2又因为焦点在x轴上,所以曲线方程为x2故选:A.3.A因为椭圆的左焦点坐标为-2,0,抛物线的焦点坐标为1m,0,所以1m=-24.A根据圆心在直线上,利用直线与圆的位置关系即可求解.由题可得,圆心为-1,1,又点-1,1即直线3x+2y+1所以直线3x+2y+1=故选:A.5.B依题意环排问题转换为线排问题,再根据插空法求解.环排问题线排策略,增加一个凳子.九个凳子排一排,甲放一号和九号,中间剩余七个位置可选,再将其他五人放入中间有A55=∵甲、乙、丙两两不相邻.∴乙、丙只能放中间四空中共有A42=由分步计数原理得总数A55 故选:B.6.B利用裂项相消法求和.∵a∴b∴S故选:B.7.B以B'为原点建立空间直角坐标系,利用空间坐标运算,即可求得点F到平面AEC'的距离,又可证得CF//平面AEC',即可得出直线FC在直三棱柱ABC-A'B'C如图所示,以B'为原点建立空间直角坐标系因为AB=BC=BB'=1，E、F分别为则A0所以AE=设平面AEC'的法向量为n=x,y即-12y-z=0x-12所以n=1,2,-1又因为AF=所以点F到平面AEC'的距离为因为在直三棱柱ABC-A'B'C'中,E则EF//CC'且EF=CC'所以CF//C'E,又C'E⊂平面所以CF//平面AEC则点F到平面AEC'的距离即为直线FC到平面AEC故选:B.8.A对n分成偶数和计算两种情况进行分类讨论,结合分组求和法求得正确答案.若n为偶数,则cosnπ所以an所以数列an的偶数项是首项为a2=-5,若n为奇数,则cosnπ所以an所以数列an的奇数项是首项为a1=3,所以a=50故选:A9.AB由题意可得椭圆的焦点在y轴上,且c=1,可得m2-1-m由题意可得椭圆的焦点在y轴上,且c=所以m2-1-m=解得m=2,故A所以椭圆C:所以b2所以C的长轴长为23，故B所以C的短轴长为22，故C所以e=ca=13=3故选:AB.10.BC焦点为Fp2,0,准线为x=-p2,由中点坐标公式可得xB=p4由题意得,焦点为Fp2,0,设B的坐标为m,n,由B为FM的中点得m=0+由点B到抛物线准线的距离为324得p4--p则抛物线为y2=22x,m=24故M的坐标为0,2或故选:BC11.AB将给定的递推公式两边取倒数,构造等比数列,求出通项并逐项判断作答.∵a∴1an+1+∴1an+3是以4为首项,2为公比的等比数列所以1an+3=4∴an=12n因为an+1=12n+2-3<数列1an的前n项和=22+22+⋯+故选:AB.12.60利用2x-1x6展开式的通项公式2x-1x6令6-32r=0,得r=4,故答案为:60.13.-将圆C的方程化为标准方程,得x-42+y2=1,故圆心为C4,0,半径r=1.因为直线y=kx+2上至少存在一点P,使得以点P为圆心,1即4k-0+2k2+1≤2,解得14.2设PF2=t,则PF1=λt,由椭圆定义可得λ+1t=2a即λ+12t2=4a2设F1-c,0,设PF2=t,则PF1=λt,所以因为∠F1PF2=π两式相除可得λ2令m=λ+1∈所以e=因为32≤m≤3所以当1m=12即m=2,λ=1时e2取得最小值当1m=13或23即m=3,λ=32时e2所以椭圆离心率的取值范围为22故答案为:2215.1(2)0,-(1)根据题意得kl1=-k(2)根据题意，分别讨论l1与l2垂直，l1与l3垂直，l3与(1)解:因为l1与l2所以kl直线l1:3x+2y+所以kl2=23(2)解:由题意，若l1:3x+2y3×2+2×-因为当m=1时,l2:当m=-1时,经验证符合题意;故同理,若l1:3x+2y+6=0和l3:2mx-3y+12=0垂直可得:6m-6=0,解得m=1故m的值为:0,-16.(1)取AB的中点为K，连接MK,NK由三棱柱ABC-A1B1C1而B1M=MA1而MK⊄平面BCC1B1,BB1⊂平面BC而CN=NA,BK=KA，则NK//BC，同理可得而NK∩MK=K,故平面MKN//平面BCC1B1,而MN⊂平面MKN,故(2)因为侧面BCC1B1为正方形，故而CB⊂平面BCC1B1，平面CBB平面CBB1C1∩平面ABB1A1=因为NK//BC，故NK⊥平面因为AB⊂平面ABB1A1若选①，则AB⊥MN，而NK⊥AB，故AB⊥平面MNK，而MK⊂平面MNK，故AB所以AB⊥BB1，而CB⊥BB1，CB∩AB故可建立如所示的空间直角坐标系,则B0故BA=设平面BNM的法向量为n=则n⋅BN=0n⋅BM=0,从而x+y设直线AB与平面BNM所成的角为θ,则sin若选②，因为NK//BC，故NK⊥平面ABB1A1，而故NK⊥KM,而B1M=BK而B1B=MK=2所以∠BB1M=∠MKN而CB⊥BB1，CB∩AB=B，故故可建立如所示的空间直角坐标系,则B0故BA=设平面BNM的法向量为n=则n⋅BN=0n⋅BM=0,从而x+y设直线AB与平面BNM所成的角为θ,则sin17.(1)解:当n=1时,当n≥2时,当n=1时,所以an(2)当n=1时，a所以a1+1假设当n=kk≥1即a1则当n=k+1时=又2k所以ak所以a1即当n=k+1综上，a118.1(2)存在，S的坐标为0(1)设Px1,y1,Q(2)设y轴上存在定点S0,s，设直线MN:y=kx+s，同时设Py124,y1，Qy224,y2，My3(1)设Px1,y1由y12=4x1y22=∴3=4y1+∴线段PQ中点纵坐标的值为23(2)设y轴上存在定点S0,s，由题意，直线MN斜率存在且不为0由y=kx+sy2=4x,∵Δ=16∴y∵P,Ty3-0y3同理,可得y2又=k∴y3y4y∴直线MN恒过定点0,-19.1(2)S(1)根据椭圆定义以及离心率可求出a,c,再根据a,b,c的关系求出(2)法一:联立直线方程求出点A,B坐标，即可求出OAOB，再根据S法二:利用直线的到角公式或者倾斜角之间的关系得到∠AOM=∠BOM(1)由椭圆可知,2a=4,所以a=2,又e=b2故椭圆E的方程为x2(2)联立x0x+2y0y-4=整理得,2x02又x024+y022=1故①式可化简为8y2-16y0y+8y0所以