2026年江苏南京九年级上学期期末数学练习试卷（含答案解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025～2026学年度第一学期期末练习卷九年级数学一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．下列函数中，是二次函数的是（

）A． B． C． D．2．在比例尺为的地图上，两处景点的距离为，则这两处景点的实际距离为（

）A． B． C． D．3．某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯、绿灯、黄灯．小明爸爸随机地由南往北开车到达该路口，下面说法正确的是（

）A．小明爸爸遇到红灯是必然事件B．小明爸爸遇到黄灯是不可能事件C．小明爸爸遇到黄灯的概率最小D．小明爸爸遇到红灯的概率大于他遇到绿灯的概率4．如图，已知直线，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，若，，，则（）A．7 B．7.5 C．8 D．4.55．有一个边长为50cm的正方形洞口，要用一个圆盖去盖住这个洞口，那么圆盖的直径至少应为（）A．50cm B．25cm C．50cm D．50cm6．如图，对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，），则下列结论：①，②，③，④把原函数向右平移一个单位得到的函数表达式是，⑤（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而增大，正确的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）7．若，则的值为．8．方程的解是．9．已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为．10．如果点是线段的黄金分割点，且，，则___________．11．用半径为15cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为cm.12．学校开展了纪念“一二·九”运动的合唱比赛，其中评分项目为歌曲内容、精神面貌和艺术效果，并依次按照计算综合成绩．某班这三项分别得了80分、90分和88分，则该班的综合成绩是分．13．如图，为测量小河两岸A、B两点之间的距离，在小河一侧选出一点C，使点C在点B正南方，在点A正东方，过点C作，垂足为D，测得，，根据所测得的数据可算出A，B两点之间的距离是．14．如图，将沿着弦折叠，点，分别在优弧和劣弧上，若，则．15．已知抛物线与轴的交点坐标分别为，．若，则的取值范围是．16．如图，矩形中，，，以为圆心，2为半径作，为上一动点，连接．以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解方程：(1)；(2)．18．将如图所示的牌面数字分别是2，3，4，5的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．

(1)从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是________；(2)先随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽出一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是2的倍数的概率．19．某校甲、乙两名运动员的6次射击训练成绩的折线统计图如下，根据折线图信息列出统计表格．平均数中位数众数方差甲的射击环数a8b1.67乙的射击环数8c9(1)________，________，________；(2)结合两人射击环数的平均数和中位数进行分析，谁的射击成绩更好？(3)计算乙射击环数的方差，并判断哪位运动员的射击成绩更稳定．20．如图，是直径，D是弦延长线上一点，且，的延长线交于点E，求证：．21．关于x的一元二次方程x2＋2（k﹣1）x＋k2＋1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若方程的两根x1，x2满足（x1﹣2）（x2﹣2）＝11，求k的值．22．如图，在锐角三角形中，，上的高，相交于点D．(1)求证：；(2)连接，求证：．23．已知，，是的三条边．求证：．24．某商店经销的某种商品，每件成本为30元．经市场调研，售价为40元时，可销售600件；售价每提高1元，销售量将减少10件．销售价格是多少时，才能获得最大利润？最大利润是多少？25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．

(1)若∠BAC＝40°，则∠ADC＝°；∠DAC＝°(2)求证：∠BAC＝2∠DAC；(3)若AB＝10，CD＝5，求BC的值．26．如图，已知点在二次函数的图像上，且．(1)若二次函数的图像经过点．①求这个二次函数的表达式；②若，求顶点到的距离；(2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．27．在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”．(1)如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”．(2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角（保留作图痕迹，不写作法）．(3)若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．B【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义解题即可．根据二次函数定义中，最高次项为的二次方且二次项系数不为零可得正确选项．【详解】解：二次函数的一般形式为．选项A：，最高次项为一次，不是二次函数；选项B：，最高次项为二次，且系数为，是二次函数；选项C：，是分式函数，不是整式函数；选项D：，最高次项为三次，不是二次函数．故选：B．2．B【分析】本题考查了比例尺，要求能够根据比例尺由图上距离正确计算实际距离，注意单位的换算．根据比例尺=图上距离：实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离．【详解】解：设这两处景点的实际距离为x厘米，则：，解得，3200000厘米千米．故选：B．3．C【分析】本题考查了随机事件和概率公式，分别根据随机事件的定义和概率公式逐一判断即可．正确运用概率公式计算是解题的关键．【详解】解：A、小明爸爸遇到红灯是随机事件，故不符合题意；B、小明爸爸遇到黄灯是随机事件，故不符合题意；C、小明爸爸遇到黄灯的概率最小，故符合题意；D、小明爸爸遇到红灯的概率小于他遇到绿灯的概率，故不符合题意；故选：C．4．D【分析】利用平行线分线段成比例定理计算即可．【详解】∵，，∴，∵，，，∴，即，解得，故选：D【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，正确地识图，找出对应线段是解题的关键．5．C【详解】解：要用一个圆盖去盖住一个正方形的洞口，则圆盖的直径至少应为正方形的对角线的长，∵正方形边长为50cm，由勾股定理可得正方形的对角线的长为：50cm．故答案选C．6．C【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数和x轴的交点问题，二次函数的平移等知识，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点确定．由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①∵抛物线开口向上，∴，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴，∵对称轴为直线，∴，，，故①正确；②抛物线与轴有两个交点，，，故②正确；③∵对称轴为直线∴当时和时函数值相等，∴当时，，故③正确；④把原函数向右平移一个单位得到的函数表达式是，故④错误；⑤当时，取到最小值，此时，，而当时，，所以，故，即，故⑤正确，⑥当时，先随的增大而减小，后y随x的增大而增大，故⑥错误．综上所述，正确的个数为4．故选：C．7．【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是熟练掌握比例的性质．根据比例的性质即可求解．【详解】解：由∴．故答案为：．8．，【分析】本题考查解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法是解题关键．通过移项将方程化为标准形式，然后因式分解，再求解即可．【详解】解：，移项，提公因式得，或，方程的解是，．故答案为：，．9．【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则．根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：根据题意得，，．故答案为：．10．##【分析】本题考查黄金分割点的定义，正确理解黄金分割点是解题的关键．根据黄金分割的定义，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，比值为可得到，，将代入计算即可．【详解】解：根据已知条件，画图分析：点是线段的黄金分割点，且，即．故答案为：．11．5【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式计算即可．【详解】解：设圆锥底面圆的半径为，则，解得：，故圆锥的底面半径为5．故答案为：5．【点睛】本题考查了圆锥的计算及扇形的弧长的计算的知识，解题的关键是牢固掌握弧长公式．12．87【分析】本题考查加权平均数的计算．根据各项目的权重和得分，代入加权平均数公式求解．【详解】解：该班的综合成绩是（分）．故答案为：87．13．40【分析】本题主要考查相似三角形的应用：证明，得到即可求解．【详解】解：∵在点正南方，在点正东方，，，，，，，即，解得，故答案为：40．14．115【分析】作出弧所对的圆周角，结合根据内接四边形对角互补求出即可．本题考查了折叠的对称性、圆的内接四边形互补，圆周角定理等知识点．作出弧所对的圆周角是解题关键．【详解】解：作出弧所对的圆周角，∵，∴，∵⊙O沿弦折叠，∴故答案为：11515．【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数根与系数的关系、不等式的解集求字母取值范围．掌握二次函数的图象与性质及根与系数的关系是解题关键．由根与系数的关系可得，再根据代入求范围即可．【详解】∵抛物线与轴的交点坐标分别为，，∴方程的两个根分别为，，根据根与系数的关系，有，即，∵，∴，解得，，故答案为：．16．##【分析】如图，取的中点，连接，，，由，推出，可得，推出点的运动轨迹是以为圆心为半径的圆，勾股定理求出，再利用两点之间线段最短即可解决问题．【详解】解：如图，取的中点，连接，，，∴，∵四边形是矩形∴，，四边形是矩形，，，，，，，点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，，，，的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．17．(1)解：，；(2)解：，．【分析】本题考查了一元二次方程的解法，掌握并选择合适的一元二次方程的解法是解题关键．（1）运用配方法解一元二次方程即可；（2）运用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：，移项，得，配方，得，即．开平方，得，∴，；（2）解：，移项，得，即．因式分解，得，∴，．18．(1)(2)【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．（1）直接利用概率公式求解即可；（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．【详解】（1）解：从中随机抽出一张牌，牌面数字所有可能出现的结果有4种，且它们出现的可能性相等，其中出现偶数的情况有2种，∴P（牌面是偶数）；故答案为：；（2）解：根据题意，画树状图：

可知，共有种等可能的结果，其中恰好是的倍数的为：22，24，32，34，42，44，52，54，共有种，19．(1)8，8，8.5；(2)乙射击成绩好(3)，乙运动员射击成绩更稳定【分析】（1）先根据折线统计图得出两运动员的涉及环数，再依据平均数、中位数、众数的定义求解即可；（2）根据平均数和中位数的意义求解即可；（3）先根据方差的定义计算，再依据方差的意义求解即可．【详解】（1）解：由折线统计图知，甲射击环数为6、7、8、8、9、10，乙射击环数为6、7、8、9、9、9，∴甲射击环数的平均数a8，众数b＝8，乙射击环数的中位数c8.5，故答案为：8，8，8.5；（2）乙射击成绩好，由题意知，甲、乙射击成绩的平均数相等，而乙射击环数的中位数均大于甲，所以乙射击成绩好；（3）乙射击环数的方差s乙2[（6－8）2+（7－8）2+（8－8）2+3×（9－8）2]，∵1.67，∴乙运动员射击成绩更稳定．【点睛】本题考查了折线统计图，求平均数，中位数，方差，掌握以上知识是解题的关键．20．证明见解析【分析】连接，首先证明，推出即可解决问题．【详解】解：如图所示，连接，∵是的直径，∴，即，∵，∴是线段的垂直平分线，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，线段垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．21．（1）k≤0；（2）﹣2﹣【分析】（1）利用判别式的意义得到：，然后解不等式即可；（2）利用根与系数的关系得到，，再由得到k2＋1＋4（k﹣1）＋4＝11，解方程可得到满足条件的k值．【详解】解：（1）根据题意得，解得：；（2）根据题意得：，，∵，∴，∴，解得：，∵，∴．【点睛】题目主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是熟练运用根与系数的关系列出方程或者不等式．22．(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．（1）由垂直的定义求得，利用公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似，即可证明；（2）由，得到，结合夹角相等，即可证明．【详解】（1）证明：∵，是，上的高，∴，∵，∴；（2）证明：∵，∴，即，∵，∴．23．见解析【分析】本题考查了三角形三边关系及因式分解的应用．利用三角形三边关系得出三边不等式关系是解题关键．将不等式移项变形后，通过因式分解，再利用三角形三边关系判断符号即可．【详解】证明：∵，，是的三条边，∴，．∴，．∵，∴，即．∴．24．销售单价为65元时，月销售利润最大，最大利润为12250元【分析】本题考查的是二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，求得二次函数解析式，并利用二次函数的性质得出最值．根据等量关系“利润售价进价销量”列出函数关系式，配方后依据二次函数的性质求得利润最大值．【详解】解：设销售单价元，月销售利润元．根据题意，得．．．∵，∴当时，有最大值12250．答：销售单价为65元时，月销售利润最大，最大利润为12250元．25．(1)；；(2)见解析；(3)【分析】（1）根据等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质即可求∠ADC，根据圆周角定理和三角形内角和定理即可求∠DAC；（2）根据等腰三角形的性质和圆周角定理及三角形内角和定理即可求解；（3）过A作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得到，CH＝BH，过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，根据全等三角形的性质得到CG＝CH，根据相似三角形的性质得到，设BH＝k，AH＝2k，由勾股定理即可求解．【详解】（1）∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝110°，∵BD⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠ADB＝∠ACB＝70°，∴∠DAC＝180°﹣∠ADB﹣∠AED＝20°，故答案为：110；20（2）证明：∵BD⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠CBD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣∠CBD，∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝2∠CBD，∵∠DAC＝∠CBD，∴∠BAC＝2∠DAC；（3）过A作AH⊥BC于H，过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，∵AB＝AC，∴，CH＝BH，∵∠BAC＝2∠DAC，∴∠CAG＝∠CAH，∴∠G＝∠AHC＝90°，AC＝AC，∴△AGC≌△AHC（AAS），∴CG＝CH，∵∠CDG＝∠ABC，∴△CDG∽△ABH，∴，∴，设BH＝k，AH＝2k，∴∴k＝，∴BC＝2k＝．

【点睛】本题考查圆内接四边形、全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定及其性质，勾股定理，正确作辅助线构造全等三角形是解题的关键．26．(1)①；②(2)【分析】（1）①将点代入中即可求出二次函数表达式；②当时，此时为平行x轴的直线，将代入二次函数解析式中求出，再由求出直线为，最后根据二次函数顶点坐标即可求解；（2）分两种情形：若M，N在对称轴的异侧，；若M、N在对称轴的异侧，，x1<2，分别求解即可．【详解】（1）解：①将点代入中，∴，解得，∴二次函数的表达式为：；②当时，此时为平行x轴的直线，将代入二次函数中得到：，将代入二次