浙江省宁波市2024－2025学年高三下学期高考模拟考试数学试卷

浙江省宁波市2024－2025学年高三下学期高考模拟考试数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.(共8题；共0分)

1．（0分）（2025·宁波模拟）已知集合，则（）

A．B．C．D．

2．（0分）（2025·宁波模拟）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（）

A．B．C．D．

3．（0分）（2025·宁波模拟）已知向量，满足，，则（）

A．3B．4C．6D．7

4．（0分）（2025·宁波模拟）设，则（）

A．0B．C．1D．

5．（0分）（2025·宁波模拟）已知数列中，，记为的前项和，，则

的值为（）

A．2023B．2024C．2025D．2026

6．（0分）（2025·宁波模拟）已知点，到同一直线的距离分别为2，3，若这样的直线

恰有2条，则的取值范围为（）

A．B．C．D．

7．（0分）（2025·宁波模拟）一个长方体墨水瓶的长、宽、高分别为10cm、8cm、15cm，内部装有400

毫升墨水.将墨水瓶倾斜，使其一条长边（10cm）置于水平地面，高边（15cm）所在直线与水平地面

成45度角，则此时墨水与墨水瓶接触部分的面积为（）

A．180B．220C．260D．300

8．（0分）（2025·宁波模拟）已知函数，其中，5为的极小值点.若

在内有最大值，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

1/25

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.(共3题；共0分)

9．（0分）（2025·宁波模拟）下面说法正确的是（）

A．若数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差为4

B．若是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等

C．已知是随机变量，则

D．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1

10．（0分）（2025·宁波模拟）国家知识产权局信息显示，华为技术有限公司申请一项名为“三进制逻辑

门电路、计算电路、芯片及其电子设备”的专利，该项专利可以实现大幅度减少二进制逻辑电路的晶

体管数量，降低电路的功耗，提高计算效率.该专利蕴含的数学背景是一种以3为基数，以，，

为基本数码的计数体系（对称三进制）：三进制数对应的十进制数为

，其中

，，为了记号的方便，我们用表示数码，比如

，，

.下面选项正确的是（）

A．

B．

C．若，，，则

D．存在唯一的，使得成立

11．（0分）（2025·宁波模拟）如图，在平行六面体中，，，

，，，为中点，在线段上（包含端点），则下列

说法正确的是（）

A．存在点，使得平面

2/25

B．存在点，使得平面平面

C．不存在点，使得

D．不存在点，使得四棱锥有内切球

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.(共3题；共0分)

12．（0分）（2020·日照模拟）展开式中的常数项为．

13．（0分）（2025·宁波模拟）在中，，，则

.

14．（0分）（2025·宁波模拟）关于的方程（且）有唯一实数解，其中为自然

对数的底数，则实数的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(共5题；

共0分)

15．（0分）（2025·宁波模拟）如图，在直三棱柱中，，，

.是的中点，是与的交点.

（1）（0分）若是的中点，证明：平面；

（2）（0分）求与平面所成角的正弦值.

16．（0分）（2025·宁波模拟）在1，2，3，…，7这7个自然数中，任取3个数.

（1）（0分）求这3个数中恰有1个是偶数的概率；

（2）（0分）设为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的

数1，2和2，3，此时的值是2）.求随机变量的分布列及其数学期望.

17．（0分）（2025·宁波模拟）已知函数.

（1）（0分）当时，讨论的单调性；

3/25

（2）（0分）当时，恒成立，求的取值范围；

（3）（0分）求证：当时，.

18．（0分）（2025·宁波模拟）已知椭圆，点到椭圆上点的距离的

最大值为.

（1）（0分）求椭圆的方程；

（2）（0分）若过定点的直线交椭圆于点，，设点，直线与直线交

于直线上一点，求直线的方程.

19．（0分）（2025·宁波模拟）设维向量，，定义运算：

.

（1）（0分）当时，若且，，试比较与的大小；

（2）（0分）已知，记且和

均为的某一排列}.

（ⅰ）求，；

（ⅱ）若，求.（提示：.）

4/25

答案解析部分

1．【答案】A

【知识点】补集及其运算；一元二次不等式及其解法

【解析】【解答】解：不等式，解得或，

即集合或，则.

故答案为：A.

【分析】解一元二次不等式求得集合A，再利用集合的补集运算求解即可.

2．【答案】B

【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的单调性

【解析】【解答】解：A、函数的最小正周期为，故A不符合；

B、函数的最小正周期为，且在区间上单调递减，故B符合；

C、函数的最小正周期为，且在上单调递增，故C不符合；

D、函数的最小正周期为，故D不符合.

故答案为：B.

【分析】根据三角函数的性质逐项判断函数的最小正周期、区间单调性判断即可.

3．【答案】D

【知识点】平面向量的数量积运算

【解析】【解答】解：，，则，

则.

故答案为：D.

【分析】由题意，利用向量数量积的运算求得，再求即可.

4．【答案】C

【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模

【解析】【解答】解：，则.

故答案为：C.

5/25

【分析】根据复数代数形式的除法、减法运算法则，化简复数为，再求即可.

5．【答案】B

【知识点】数列的前n项和

【解析】【解答】解：数列中，为的前项和，满足①，

当时，②，

①-②可得，即，即，

因为，所以.

故答案为：B.

【分析】利用与的关系，推得，结合累乘法求的值即可.

6．【答案】B

【知识点】圆与圆的位置关系及其判定

【解析】【解答】解：易知以为圆心，2为半径的圆为；

以为圆心，3为半径的圆为，

由题意可知：两圆相交，因为，所以，

则，整理可得，即，解得，

则的取值范围为.

故答案为：B.

【分析】由题意可知：以，为圆心的圆分别为、，

问题转化为两圆相交求参数范围即可.

7．【答案】C

【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；柱体的体积公式及应用

【解析】【解答】解：若截面为等腰直角三角形，腰长为，如图所示：

6/25

则，可得，不符题意；

若截面为直角梯形，上底长为，如图所示：

则，得，符合题意，

此时墨水与墨水瓶接触部分的面积.

故答案为：C.

【分析】分情况讨论截面的形状，由题意结合棱柱的体积公式求截面相关边长，再求墨水与墨水瓶接

触部分的面积即可.

8．【答案】D

【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值

【解析】【解答】解：函数定义域为，

，

因为，所以，

令，解得，函数单调递增，

令，解得，函数单调递减，

则极小值点为，极大值点为，

，

7/25

且，

所以只需，即，

则，即的取值范围为.

故答案为：D.

【分析】求函数的定义域，再求导得，结合研究的区间

单调性，确定极值点，再由区间存在最大值得，求范围即可.

9．【答案】B,C

【知识点】等差数列的性质；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；样本相关系数r及其数字特

征

【解析】【解答】解：A、数据，，…，的方差为8，根据方差的性质可知：数据，，…，

的方差为，故A错误；

B、数列为等差数列，若正整数，则，

若正整数，则，等差数列的平均数为，

结合中位数定义及等差数列的性质，易知中位数为，故B正确；

C、随机变量的方差，且，则，

故C正确；

D、若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的绝对值越接近于1，故D错

误.

故答案为：BC.

【分析】利用方差的性质即可判断A；根据等差数列的性质及中位数定义即可判断B；根据

即可判断C；由相关系数的实际意义即可判断D.

10．【答案】A,C,D

【知识点】进位制

【解析】【解答】解：A、，故A正确；

B、，

8/25

，

，故B错误；

C、，

因为，

若全取1时，，

若全取时，，

由，则，故的绝对值小于，故C正确；

D、，

，

，

由，则，，

要使，即，

所以，则，且，则，

此时，即有唯一解，故D正确.

故答案为：ACD.

【分析】根据新定义即可判断A、B；

由，结合确定的最值

即可判断C；由，确定

的对应值即可判断D.

11．【答案】A,B,D

【知识点】球内接多面体；直线与平面平行的判定；用空间向量研究平面与平面的位置关系

【解析】【解答】A、连接交于点，

9/25

则分别为中点，

当与重合时，有，即，

因平面，平面，故平面，即平面，A正确；

B、因，则，而，，则，

由且都在平面内，故平面，

如下图所示，

在平面内过作，建立空间直角坐标系，

则，，，，，

，，

设平面一个法向量为，

则，取，有，

设且，，

设平面的一个法向量为，

10/25

则，取，有，

若平面平面，则，可得，

所以存在点，使得平面平面，B正确；

C、同B分析，可得，若，

所以，可得，

所以，则，

所以，可得，C错误；

D、假设存在球与平面、平面、平面都相切，设且，

如下左视图，

则，，，则，

俯视图角度，球心在下底面投影为的内心，则，

要使四棱锥有内切球，则在内有解，

所以，整理得，

11/25

所以，显然无解，D正确.

故答案为：ABD.

【分析】当与重合时，应用线面平行的判定定理判断A；构建空间直角坐标系，求出平面、

平面的法向量，根据垂直关系求参数值判断B；同B分析，应用空间向量模长的坐标表示列方

程求参数判断C；根据棱锥内切球在侧面上投影圆的半径相等列方程求参数判断D.

12．【答案】15

【知识点】二项式定理

26﹣rr12﹣3r

【解析】【解答】通项公式Tr+1（x）（﹣1）x，

令12﹣3r＝0，解得r＝4．

∴展开式中的常数项15．

【分析】由已知利用通项公式解得r＝4，即可得出展开式中的常数项.

13．【答案】9

【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六

【解析】【解答】解：在中，①，②，

①-②可得：

，则，即.

故答案为：9.

【分析】由题意，逆用两角和的余弦公式、三角形内角的性质整理得，即可求的

值.

14．【答案】或

【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值

【解析】【解答】解：令，显然，易知是方程的唯一解，

，令，则，

当，即，则，即函数在R上单调递增，满足题设；

当时且，此时使得，

时，，函数在上单调递减，

12/25

时，，函数在上单调递增，

且，时，，

当时，，满足题设；

当时，，则使，故方程有两个解，不满足；

当时，，则使，故方程有两个解，不满足；

综上，或.

故答案为：或.

【分析】由题意，构造函数，易知是方程的唯一解，应用分类讨论，

利用导数研究的单调性、最值，结合研究方程根的个数求实数的范围即可.

15．【答案】（1）证明：以坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：

则

，，

设平面的法向量，则，令，则，

因为，且平面，所以平面；

（2）解：由（1）得，设直线与平面所成角为，

则，

13/25

即与平面所成角的正弦值为.

【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角

【解析】【分析】（1）以坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得，

即可证明平面；

（2）由（1）中的坐标系，利用空间向量法求线面角的正弦值即可.

（1）由题意，以原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

所以

，

所以，

设平面的法向量，则，

令，则，

故，且平面，则平面；

（2）由（1）得，若直线与平面所成角为，

所以.

16．【答案】（1）解：记事件为选取的3个数中恰有1个是偶数，

从7个自然数中任选三个数，有种取法；恰有一个偶数的情况有种，

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则这3个数中恰有1个是偶数的概率；

（2）解：由题意可知：随机变量的可能值为，

时，、、、、共有5种，

时，、、、、、、、、、

共有10种，

时，有种，

则，，，

的分布列如下，

012

.

【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；排

列、组合的实际应用

【解析】【分析】（1）利用组合数求任选三个、恰有一个偶数的选法数，再根据古典概型的概率公式

求解即可；

（2）由题意可得：随机变量的可能值为，求出对应概率写出分布列，再求期望即可.

（1）从7个自然数中任选三个有种，恰有一个偶数的情况有种，

所以这3个数中恰有1个是偶数的概率；

（2）由题设，的可能值为，

有、、、、共有5种，

有、、、、、、、、、

共有10种，

有种，

所以，，，

的分布列如下，

15/25

012

.

17．【答案】（1）解：当时，函数定义域为，

，令，解得或，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增；

（2）解：函数定义域为，，

令，则，

当时，恒成立，且，只需，即，

当时，，

所以在上单调递增，则，

所以在上单调递增，则，满足题设，综上，；

（3）证明：由（2）取，在上，

令，，则，即，

则，则，得证.

【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性

【解析】【分析】（1）将代入，求定义域，再求导，利用导数研究函数的区间单调性即可；

（2）应用导数探讨时，恒成立有，再判断所得范围的充分性，即可得；

（3）根据（2）的结论，令，得，即可证.

16/25

（1）由题设，则且，

当，，即在上单调递增，

当，，即在上单调递减，

当，，即在上单调递增；

（2）由题设，令，则，

对时，恒成立，且，只需，即，

另一方面，时，，

所以在上单调递增，则，

所以在上单调递增，则，满足题设，

综上，；

（3）由（2）取，在上，

令，，则，即，

所以，则，得证.

18．【答案】（1）解：设点为椭圆上一点，满足，

点，则，

设，，

因为，所以对应的抛物线开口向下，对称轴为，

所以，解得，

则椭圆的方程为；

17/25

（2）解：由题意，设直线，，

由对称性，不妨设，此时，直线和的斜率分别为，

联立方程组，整理得，

则，解得，

由韦达定理可得：，

又由直线和，

联立方程组，整理得，

因为直线与直线交于直线上一点，

所以，化简得，即，

化简得，即，

由求根公式可得：，

代入得，

整理可得，即，解得，即，

18/25

当时，直线方程为，

由对称性知，当时，也满足题意，此时直线方程为，

综上可得，直线方程为或.

【知识点】平面内两点间的距离公式；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】（1）设点为椭圆上一点，根据两点间距离公式可得：

，设，

利用二次函数的性质，求得，求得，即可得到椭圆的方程；

（2）由题意，设直线，直线和的斜率分别为，联立方程组，得到

且，再由和，联立方程得到

，根据直线与直线的交点在上，得到，化简得到

，利用求根公式，求得，代入化简，求得，进而得到直线方

程.​​​​​​​

（1）解：设椭圆上的点满足椭圆的方程，则，

可得，

设，其中，

由，可得对应的抛物线开口向下，对称轴为，

所以，解得或（舍去），

所以椭圆的方程为.

（2）解：设直线，且，

19/25

由对称性，不妨设，此时，直线和的斜率分别为，

联立方程组，整理得，

则，解得，

且，

又由直线和，

联立方程组，整理得，

因为直线与直线交于直线上一点，

所以，化简得，即，

化简得，所以，

又由求根公式可得，

代入得，

整理得，平方得，

解得，所以或（舍去），

20/25

当时，直线方程为，

由对称性知，当时，也满足题意，此时直线方程为，

综上可得，直线方程为或.

19．【答案】（1）解：当时，向量，，，

则，

即；

（2）解：（i）设，，其中为的排列，

则，

因为可能取值有，所以；

设，，其中为的排列，

当，，可能取值有，

则可能值为；

当，，可能取值有，

则可能值为；

当，，可能取值有，

则可能值为；

当，，可能取值有，

则可能值为；

综上，；

21/25

（ⅱ）由（1），若存在，，则不妨交换，则的值会变大，

设，，则最小；

，则最大；

所以的元素均属于集合，

设表示集合且的元素个数，即（注意表示集合的

元素个数），下证：当时，由上知，

考虑及：由中最小元素为，最大元素为

，即中的元素均在中，

设，，其中为的任一排列，

所以可能取值为，即恰好没有覆盖到集合

中的个元素，

当，，其中为的任一排列，

所以可能取值为，即恰好没有覆盖到集合

中的个元素，

当时，，

即，

故不覆盖集合的元素至多有个，故，

又因为，所以，

22/25

所以