换元法简便计算总结题目及答案

换元法简便计算总结题目及答案姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

换元法简便计算总结题目及答案

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.将方程x^2+6x+5=0通过换元法简化，下列换元正确的是

A.x=y-3

B.x=y+3

C.x=y-6

D.x=y+6

2.若方程3x^2-12x+9=0通过换元法变为m^2=1，则m的值为

A.1

B.-1

C.2

D.-2

3.将方程2y^2-8y+6=0通过换元法简化，下列换元正确的是

A.y=z+2

B.y=z-2

C.y=z+4

D.y=z-4

4.若方程4z^2-20z+25=0通过换元法变为n^2=4，则n的值为

A.2

B.-2

C.4

D.-4

5.将方程5m^2-30m+24=0通过换元法简化，下列换元正确的是

A.m=n+3

B.m=n-3

C.m=n+6

D.m=n-6

6.若方程6a^2-24a+18=0通过换元法变为b^2=2，则b的值为

A.√2

B.-√2

C.2√2

D.-2√2

7.将方程7b^2-28b+21=0通过换元法简化，下列换元正确的是

A.b=c+2

B.b=c-2

C.b=c+4

D.b=c-4

8.若方程8c^2-32c+24=0通过换元法变为d^2=3，则d的值为

A.√3

B.-√3

C.2√3

D.-2√3

9.将方程9d^2-36d+27=0通过换元法简化，下列换元正确的是

A.d=e+3

B.d=e-3

C.d=e+6

D.d=e-6

10.若方程10e^2-40e+30=0通过换元法变为f^2=5，则f的值为

A.√5

B.-√5

C.2√5

D.-2√5

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.将方程x^2+8x+15=0通过换元法简化，令x=y-a，则a的值为__________。

2.若方程4y^2-16y+16=0通过换元法变为m^2=4，则y与m的关系为__________。

3.将方程3z^2-12z+9=0通过换元法简化，令z=w+b，则b的值为__________。

4.若方程5a^2-20a+20=0通过换元法变为n^2=4，则a与n的关系为__________。

5.将方程6b^2-24b+24=0通过换元法简化，令b=c+d，则d的值为__________。

6.若方程7c^2-28c+28=0通过换元法变为p^2=2，则c与p的关系为__________。

7.将方程8d^2-32d+32=0通过换元法简化，令d=e+f，则f的值为__________。

8.若方程9e^2-36e+36=0通过换元法变为q^2=3，则e与q的关系为__________。

9.将方程10f^2-40f+40=0通过换元法简化，令f=g+h，则h的值为__________。

10.若方程11g^2-44g+44=0通过换元法变为r^2=4，则g与r的关系为__________。

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.将方程x^2+10x+21=0通过换元法简化，下列换元正确的有

A.x=y-5

B.x=y+5

C.x=y-10

D.x=y+10

2.若方程2y^2-8y+6=0通过换元法变为m^2=1，下列说法正确的有

A.y=m+2

B.y=m-2

C.y=2m

D.y=-2m

3.将方程3z^2-12z+9=0通过换元法简化，下列换元正确的有

A.z=w+3

B.z=w-3

C.z=3w

D.z=-3w

4.若方程4a^2-16a+16=0通过换元法变为n^2=4，下列说法正确的有

A.a=n+2

B.a=n-2

C.a=2n

D.a=-2n

5.将方程5b^2-20b+20=0通过换元法简化，下列换元正确的有

A.b=c+2

B.b=c-2

C.b=2c

D.b=-2c

6.若方程6c^2-24c+24=0通过换元法变为p^2=2，下列说法正确的有

A.c=p+2

B.c=p-2

C.c=2p

D.c=-2p

7.将方程7d^2-28d+28=0通过换元法简化，下列换元正确的有

A.d=e+2

B.d=e-2

C.d=2e

D.d=-2e

8.若方程8e^2-32e+32=0通过换元法变为q^2=3，下列说法正确的有

A.e=q+2

B.e=q-2

C.e=2q

D.e=-2q

9.将方程9f^2-36f+36=0通过换元法简化，下列换元正确的有

A.f=g+2

B.f=g-2

C.f=2g

D.f=-2g

10.若方程10g^2-40g+40=0通过换元法变为r^2=4，下列说法正确的有

A.g=r+2

B.g=r-2

C.g=2r

D.g=-2r

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.将方程x^2+6x+5=0通过换元法简化，令x=y-3，则方程变为y^2+3y+5=0。

2.若方程3x^2-12x+9=0通过换元法变为m^2=1，则原方程的解为x=2±√2。

3.将方程2y^2-8y+6=0通过换元法简化，令y=z+2，则方程变为2z^2+4z+2=0。

4.若方程4z^2-20z+25=0通过换元法变为n^2=4，则原方程的解为z=3±2。

5.将方程5m^2-30m+24=0通过换元法简化，令m=n+6，则方程变为5n^2+30n+24=0。

6.若方程6a^2-24a+18=0通过换元法变为b^2=2，则原方程的解为a=2±√3。

7.将方程7b^2-28b+21=0通过换元法简化，令b=c-4，则方程变为7c^2+28c+21=0。

8.若方程8c^2-32c+24=0通过换元法变为d^2=3，则原方程的解为c=4±√3。

9.将方程9d^2-36d+27=0通过换元法简化，令d=e+3，则方程变为9e^2+54e+27=0。

10.若方程10e^2-40e+30=0通过换元法简化，令e=f-6，则方程变为10f^2-40f+30=0。

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.将方程4x^2+12x+9=0通过换元法简化，并写出简化后的方程。

2.若方程5y^2-20y+16=0通过换元法变为m^2=4，请写出原方程的解。

3.将方程6z^2-24z+36=0通过换元法简化，并写出简化后的方程。

4.若方程7a^2-28a+24=0通过换元法变为n^2=2，请写出原方程的解。

5.将方程8b^2-32b+48=0通过换元法简化，并写出简化后的方程。

6.若方程9c^2-36c+27=0通过换元法变为p^2=3，请写出原方程的解。

7.将方程10d^2-40d+36=0通过换元法简化，并写出简化后的方程。

8.若方程11e^2-44e+44=0通过换元法变为q^2=4，请写出原方程的解。

9.将方程12f^2-48f+48=0通过换元法简化，并写出简化后的方程。

10.若方程13g^2-52g+84=0通过换元法变为r^2=4，请写出原方程的解。

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.B

解析：将x^2+6x+5=0通过换元法简化，令x=y+3，则原方程变为(y+3)^2+6(y+3)+5=0，展开后得到y^2+6y+9+6y+18+5=0，即y^2+12y+32=0。选项B正确。

2.A

解析：将3x^2-12x+9=0通过换元法变为m^2=1，令x=m+2，则原方程变为3(m+2)^2-12(m+2)+9=0，展开后得到3m^2+12m+12-12m-24+9=0，即3m^2-3=0，即m^2=1。选项A正确。

3.B

解析：将2y^2-8y+6=0通过换元法简化，令y=z-2，则原方程变为2(z-2)^2-8(z-2)+6=0，展开后得到2z^2-8z+8-8z+16+6=0，即2z^2-16z+30=0。选项B正确。

4.A

解析：将4z^2-20z+25=0通过换元法变为n^2=4，令z=n+2.5，则原方程变为4(n+2.5)^2-20(n+2.5)+25=0，展开后得到4n^2+20n+25-20n-50+25=0，即4n^2=0，即n^2=4。选项A正确。

5.C

解析：将5m^2-30m+24=0通过换元法简化，令m=n+6，则原方程变为5(n+6)^2-30(n+6)+24=0，展开后得到5n^2+60n+180-30n-180+24=0，即5n^2+30n+24=0。选项C正确。

6.A

解析：将6a^2-24a+18=0通过换元法变为b^2=2，令a=b+2，则原方程变为6(b+2)^2-24(b+2)+18=0，展开后得到6b^2+24b+24-24b-48+18=0，即6b^2=6，即b^2=2。选项A正确。

7.D

解析：将7b^2-28b+21=0通过换元法简化，令b=c-4，则原方程变为7(c-4)^2-28(c-4)+21=0，展开后得到7c^2-56c+112-28c+112+21=0，即7c^2-84c+245=0。选项D正确。

8.B

解析：将8c^2-32c+24=0通过换元法变为d^2=3，令c=d+2，则原方程变为8(d+2)^2-32(d+2)+24=0，展开后得到8d^2+32d+32-32d-64+24=0，即8d^2=8，即d^2=1。选项B正确。

9.A

解析：将9d^2-36d+27=0通过换元法简化，令d=e+3，则原方程变为9(e+3)^2-36(e+3)+27=0，展开后得到9e^2+54e+81-36e-108+27=0，即9e^2+18e=0。选项A正确。

10.A

解析：将10e^2-40e+30=0通过换元法简化，令e=f-6，则原方程变为10(f-6)^2-40(f-6)+30=0，展开后得到10f^2-120f+360-40f+240+30=0，即10f^2-160f+630=0。选项A正确。

二、填空题答案及解析

1.-4

解析：将方程x^2+8x+15=0通过换元法简化，令x=y-a，则原方程变为(y-a)^2+8(y-a)+15=0，展开后得到y^2-2ay+a^2+8y-8a+15=0，即y^2+(8-2a)y+(a^2-8a+15)=0。要使简化后的方程为y^2+by+c=0，需满足8-2a=0，即a=4。选项-4正确。

2.y=±2m

解析：将方程4y^2-16y+16=0通过换元法变为m^2=4，令y=m+2，则原方程变为4(m+2)^2-16(m+2)+16=0，展开后得到4m^2+16m+16-16m-32+16=0，即4m^2=0，即m^2=4，解得m=±2。因此，y=±2m。选项y=±2m正确。

3.-2

解析：将方程3z^2-12z+9=0通过换元法简化，令z=w+b，则原方程变为3(w+b)^2-12(w+b)+9=0，展开后得到3w^2+6bw+3b^2-12w-12b+9=0，即3w^2+(6b-12)w+(3b^2-12b+9)=0。要使简化后的方程为w^2+bw+c=0，需满足6b-12=0，即b=2。选项-2正确。

4.a=±2n

解析：将方程5a^2-20a+20=0通过换元法变为n^2=4，令a=n+2，则原方程变为5(n+2)^2-20(n+2)+20=0，展开后得到5n^2+20n+20-20n-40+20=0，即5n^2=0，即n^2=4，解得n=±2。因此，a=±2n。选项a=±2n正确。

5.-4

解析：将方程6b^2-24b+24=0通过换元法简化，令b=c+d，则原方程变为6(c+d)^2-24(c+d)+24=0，展开后得到6c^2+12cd+6d^2-24c-24d+24=0，即6c^2+(12d-24)c+(6d^2-24d+24)=0。要使简化后的方程为c^2+dc+e=0，需满足12d-24=0，即d=2。选项-4正确。

6.c=±√2p

解析：将方程6c^2-24c+24=0通过换元法变为p^2=2，令c=p+2，则原方程变为6(p+2)^2-24(p+2)+24=0，展开后得到6p^2+24p+24-24p-48+24=0，即6p^2=0，即p^2=2，解得p=±√2。因此，c=±√2p。选项c=±√2p正确。

7.-2

解析：将方程7d^2-28d+28=0通过换元法简化，令d=e+f，则原方程变为7(e+f)^2-28(e+f)+28=0，展开后得到7e^2+14ef+7f^2-28e-28f+28=0，即7e^2+(14f-28)e+(7f^2-28f+28)=0。要使简化后的方程为e^2+fe+g=0，需满足14f-28=0，即f=2。选项-2正确。

8.e=±√3q

解析：将方程8e^2-32e+32=0通过换元法变为q^2=3，令e=q+2，则原方程变为8(q+2)^2-32(q+2)+32=0，展开后得到8q^2+32q+32-32q-64+32=0，即8q^2=0，即q^2=3，解得q=±√3。因此，e=±√3q。选项e=±√3q正确。

9.-4

解析：将方程9d^2-36d+27=0通过换元法简化，令d=e+f，则原方程变为9(e+f)^2-36(e+f)+27=0，展开后得到9e^2+18ef+9f^2-36e-36f+27=0，即9e^2+(18f-36)e+(9f^2-36f+27)=0。要使简化后的方程为e^2+fe+g=0，需满足18f-36=0，即f=2。选项-4正确。

10.g=±2r

解析：将方程10g^2-40g+40=0通过换元法简化，令g=f-6，则原方程变为10(f-6)^2-40(f-6)+40=0，展开后得到10f^2-120f+360-40f+240+40=0，即10f^2-160f+640=0，即f^2-16f+64=0，解得f=8。因此，g=±2r。选项g=±2r正确。

四、判断题答案及解析

1.错误

解析：将x^2+6x+5=0通过换元法简化，令x=y-3，则原方程变为(y-3)^2+6(y-3)+5=0，展开后得到y^2-6y+9+6y-18+5=0，即y^2-4=0，不等于y^2+3y+5=0。因此，选项错误。

2.错误

解析：将3x^2-12x+9=0通过换元法变为m^2=1，令x=m+2，则原方程变为3(m+2)^2-12(m+2)+9=0，展开后得到3m^2+12m+12-12m-24+9=0，即3m^2-3=0，即m^2=1，解得m=±1。因此，x=3±1，即x=2或x=4。选项错误。

3.错误

解析：将2y^2-8y+6=0通过换元法简化，令y=z+2，则原方程变为2(z+2)^2-8(z+2)+6=0，展开后得到2z^2+8z+8-8z-16+6=0，即2z^2-2=0，不等于2z^2+4z+2=0。因此，选项错误。

4.正确

解析：将4z^2-20z+25=0通过换元法变为n^2=4，令z=n+2.5，则原方程变为4(n+2.5)^2-20(n+2.5)+25=0，展开后得到4n^2+20n+25-20n-50+25=0，即4n^2=0，即n^2=4，解得n=±2。因此，z=2.5±2，即z=0.5或z=4.5。选项正确。

5.错误

解析：将5m^2-30m+24=0通过换元法简化，令m=n+6，则原方程变为5(n+6)^2-30(n+6)+24=0，展开后得到5n^2+60n+180-30n-180+24=0，即5n^2+30n+24=0，不等于5n^2+30n+24=0。因此，选项错误。

6.错误

解析：将6a^2-24a+18=0通过换元法变为b^2=2，令a=b+2，则原方程变为6(b+2)^2-24(b+2)+18=0，展开后得到6b^2+24b+24-24b-48+18=0，即6b^2=6，即b^2=1，解得b=±1。因此，a=2±1，即a=1或a=3。选项错误。

7.错误

解析：将7b^2-28b+21=0通过换元法简化，令b=c-4，则原方程变为7(c-4)^2-28(c-4)+21=0，展开后得到7c^2-56c+112-28c+112+21=0，即7c^2-84c+245=0，不等于7c^2+28c+21=0。因此，选项错误。

8.错误

解析：将8c^2-32c+24=0通过换元法变为d^2=3，令c=d+2，则原方程变为8(d+2)^2-32(d+2)+24=0，展开后得到8d^2+32d+32-32d-64+24=0，即8d^2=8，即d^2=1，解得d=±1。因此，c=2±1，即c=1或c=3。选项错误。

9.错误

解析：将9d^2-36d+27=0通过换元法简化，令d=e+3，则原方程变为9(e+3)^2-36(e+3)+27=0，展开后得到9e^2+54e+81-36e-108+27=0，即9e^2+18e=0，不等于9e^2+54e+27=0。因此，选项错误。

10.错误

解析：将10e^2-40e+30=0通过换元法简化，令e=f-6，则原方程变为10(f-6)^2-40(f-6)+30=0，展开后得到10f^2-120f+360-40f+240+30=0，即10f^2-160f+630=0，不等于10f^2-40f+30=0。因此，选项错误。

五、问答题答案及解析

1.将方程4x^2+12x+9=0通过换元法简化，令x=y-3，则原方程变为4(y-3)^2+12(y-3)+9=0，展开后得到4y^2-24y+36+12y-36+9=0，即4y^2-12y+9=0。

2.若方程5y^2-20y+16=0通过换元法变为m^2=4，令y=m+4，则原方程变为5(m+4)^2-20(m+4)+16=0，展开后得到5m^2+40m+80-20m-80+16=0，即5m^2+20m+16=0，解得m=-2±√2。因此，y=-2±√2+4，即y=2±√2。

3.将方程6z^2-24z+36=0通过换元法简化，令z=w+2，则原方程变为6(w+2)^2-24(w+2)+36=0，展开后得到6w^2+24w+24-24w-48+36=0，即6w^2=0，即w^2=0，解得w=0。因此，z=0+2，即z=2。

4.若方程7a^2-28a+24=0通过换元法变为n^2=2，令a=n+4，则原方程变为7(n+4)^2-28(n+4)+24=0，展开后得到7n^2+56n+112-28n-112+24=0，即7n^2+28n+24=0，解得n=-2±√2。因此，a=-2±√2+4，即a=2±√2。

5.将方程8b^2-32b+48=0通过换