导数中函数的构造问题课件-高三数学二轮复习

第6讲导数中函数的构造问题专题六

不等式、函数与导数1.(2015·全国卷Ⅱ，理T12)设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(-1)=0，当x>0时，xf'(x)-f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是A.(-∞，-1)∪(0，1)

B.(-1，0)∪(1，+∞)C.(-∞，-1)∪(-1，0)

D.(0，1)∪(1，+∞)√探究真题明确方向

解析

√

解析

解析

解析

√

解析

解析设h(x)=(1-x2)ex-1(0<x≤0.1)，则h'(x)=(1-2x-x2)ex>0在(0，0.1]上恒成立，所以h(x)在(0，0.1]上单调递增，所以h(x)>h(0)=(1-02)·e0-1=0，即g'(x)>0在(0，0.1]上恒成立，所以g(x)在(0，0.1]上单调递增，所以g(0.1)>g(0)=0·e0+ln(1-0)=0，即g(0.1)=u(0.1)-w(0.1)>0，所以0.1e0.1>-ln

0.9，即a>c.综上，c<a<b，故选C.解析4.(2020·新高考全国卷Ⅰ，T21)已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna.(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

解(2)若f(x)≥1，求a的取值范围.

解命题热度：本讲是历年高考命题热考的内容，属于中高档题目，具有一定的难度，三种题型都有所考查.分值约为5~11分.考查方向：一是利用导数与x的关系式构造新函数，利用新函数的单调性比较大小或解不等式；二是根据条件给出的数字的特征，构造具体函数比较大小；三是同构和异构，同构和异构是近几年的热点，特别是指对同构，利用同构和异构可以解决恒成立、零点、证明不等式等问题.考点二构造具体函数比较大小考点一导数型构造函数内容索引专题突破练考点三同构和异构考点一导数型构造函数

(1)(2025·长沙模拟)已知y=f(x)是定义在(1，+∞)上的连续可导函数，其导函数为y=f'(x)，若xf'(x)<f(x)，且f(3)=6，则不等式f(lnx)>2lnx的解集为A.(1，3) B.(3，e2)C.(1，e3) D.(e，e3)例1√

解析

(2)(2025·自贡模拟)若函数f(x)在R上可导，且f(x)>f'(x)，则当a>b时，下列不等式成立的是A.eaf(a)>ebf(b)

B.ebf(a)>eaf(b)C.ebf(b)>eaf(a)

D.eaf(b)>ebf(a)√

解析

规律方法

规律方法

√

解析返回考点二构造具体函数比较大小

例2√

解析(2)已知a=tan0.02，b=0.02，c=ln1.02，则A.c<b<a

B.b<c<aC.c<a<b

D.b<a<c√

解析构造函数比较大小的常见类型(1)构造相同的函数，利用单调性比较函数值的大小.(2)构造不同的函数，通过比较两个函数的函数值进行比较大小.规律方法跟踪演练2

设a=1.1，b=sina，c=e0.1，则A.a>b>c

B.a>c>bC.b>c>a

D.c>a>b√

解析返回考点三同构和异构

例3√因为对任意x∈(1，+∞)，不等式eλx-(λ+1)x+ln

x≥0恒成立，即对任意x∈(1，+∞)，不等式eλx-λx≥x-ln

x恒成立，即对任意x∈(1，+∞)，不等式eλx-λx≥eln

x-ln

x恒成立，因为x∈(1，+∞)，所以ln

x>0，又λ>0，所以λx>0，令f(x)=ex-x，x∈(0，+∞)，则f'(x)=ex-1>0，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，解析

解析

√

解析

解析

解析

规律方法

规律方法2.异构是指在不等式或方程中构造多个不同的函数，常与不等式ex≥x+1，lnx≤x-1，x-sinx>0(x>0)等相结合，考查不等式恒成立、证明不等式、求函数零点等.规律方法

证明(2)当x∈(0，2)时，求证ex-1f(x)≤x-1.

证明返回专题突破练对一对答案12345678910题号12345678答案BABBBCBDAC题号910答案(-∞，0)

一、单项选择题1.(2025·银川模拟)若∀a，b∈R，都有a-cosb>b-cosa，则a，b的大小关系为A.a<b B.a>b

C.a≤b

D.a≥b√12345678910答案因为∀a，b∈R，都有a-cos

b>b-cos

a，即a+cos

a>b+cos

b，令f(x)=x+cos

x，x∈R，则f'(x)=1-sin

x≥0，所以函数f(x)=x+cos

x为增函数.又因为a+cos

a>b+cos

b，即f(a)>f(b)，所以a>b.解析12345678

√910答案

解析3.(2025·天津模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足：当x∈(-∞，0)时，f(x)+xf'(x)<0成立，若a=20.2f(20.2)，b=ln2·f(ln2)，c=log0.30.09·f(log0.30.09)，则a，b，c的大小关系是A.a>b>c

B.c>a>bC.b>a>c

D.c>b>a√12345678910答案12345678910答案令g(x)=xf(x)，则当x<0时，g'(x)=f(x)+xf'(x)<0，所以g(x)在(-∞，0)上单调递减，又f(x)是奇函数，则g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x)，所以g(x)为R上的偶函数，则g(x)在(0，+∞)上单调递增，又log0.30.09=2>20.2>20=1=ln

e>ln

2>ln

1=0，所以g(log0.30.09)>g(20.2)>g(ln

2)，即c>a>b.解析123456784.设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea<blnb，则A.ab>e B.b>ea

C.ab<e

D.b<ea√910答案由已知aea<bln

b，则ealn

ea<bln

b.设f(x)=xln

x，则f(ea)<f(b).∵a>0，∴ea>1，∵b>0，bln

b>aea>0，∴b>1.当x>1时，f'(x)=ln

x+1>0，则f(x)在(1，+∞)上单调递增，∴ea<b.解析

√12345678910答案12345678910答案

解析12345678910答案

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√12345678910答案

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√√12345678910答案

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√√12345678910答案

解析12345678910答案

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