微专题2二次函数的综合问题

微专题2二次函数的综合问题类型一线段问题1．求线段长(1)与x轴垂直的线段的长：纵坐标相减(上减下)．(2)与y轴垂直的线段的长：横坐标相减(右减左)．2．线段数量关系问题(1)若两条线段的长均可计算或表示出来，直接根据线段数量关系列方程即可求解．(2)若两条线段的长无法直接计算或表示出来，可通过与x轴或y轴的平行线构造相似三角形，将线段进行转化，再根据线段数量关系列方程即可求解．3．利用二次函数性质求线段长最值(1)求竖直线段长的最值(如图，求MN的最值)

第一步：设M(t，at2＋bt＋c)，则N(t，mt＋n)；第二步：表示线段MN的长，MN＝at2＋bt＋c－mt－n；第三步：化简MN＝at2＋bt＋c－mt－n＝at2＋(b－m)t＋c－n，利用二次函数性质求最值．4．利用对称性质求线段和最值，即“将军饮马”问题(如图，求PA＋PB的最小值)

(1)求点B关于对称轴l对称的点C的坐标．(2)连接AC，交直线l于点P，此时点P满足要求，从而可求出PA＋PB的最小值．(1)点P的坐标为________，点D的坐标为________，点Q的坐标为________；(2)PD的长为_______，DQ的长为_______，PQ的长为_______；(3)点P到对称轴的距离为________，CQ的长为________；(6)如图2，过点P作PE⊥y轴，交线段BC于点E，求PE的最大值；图2(7)如图3，过点P作PN⊥BC于点N，求PN的最大值；(8)如图4，连接AC，在抛物线的对称轴上找一点M，使△AMC的周长最小，求出此时△AMC的周长及点M的坐标．[典例2]

(2025·西宁一模)已知，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，其中B(－3，0)，C(1，0)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图，连接AB，点P是直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PK∥y轴交AB于点K，过点K作KE⊥y轴，垂足为点E；求PK＋KE的最大值并求出此时点P的坐标．设P(t，－t2－2t＋3)，－3＜t＜0，则K(t，t＋3)，所以E(0，t＋3)，所以PK＝－t2－2t＋3－t－3＝－t2－3t，KE＝0－t＝－t，所以PK＋KE＝－t2－3t－t＝－t2－4t＝－(t＋2)2＋4，因为－1<0，－3<t<0，所以当t＝－2时，PK＋KE有最大值，最大值为4，所以PK＋KE的最大值为4，此时点P的坐标为(－2，3)．方法一：直接公式法一边在坐标轴上(或平行于坐标轴)．类型二面积问题[典例1]抛物线y＝－x2＋3x＋4与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，点D是第一象限抛物线上的动点，设点D的横坐标为t．(1)如图1，当点D位于抛物线的顶点处时，连接OD，CD，求△OCD的面积；(2)如图2，若t＝2，连接AC，CD，BD，求四边形ABDC的面积；(3)如图3，连接AD，BD，若△ABD的面积为15，求点D的坐标；[典例2]

(2024·西宁)如图，二次函数的图象与x轴交于点A(－3，0)，与y轴交于点B，顶点C的坐标为(－2，－1)．(1)求二次函数的解析式；(3)在直线AB上方的抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝2S△ABC？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．1．问题一(1)问题已知点A，B，直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形．类型三特殊三角形存在性问题

(3)求解方法方法一：设出点P的坐标，表示出三边的长，分三个角分别为直角讨论，在每种情况下利用勾股定理列方程求解．方法二：找相似，通过构造一线三垂直利用相似求解．方法三：特殊地，若有30°，45°或60°角，考虑用锐角三角函数求解．方法四：利用两直线垂直，其解析式中斜率k的关系求解．2．问题二(1)问题已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为等腰三角形．(3)求解方法对于等腰三角形的腰和底不确定问题，需按照三条边两两相等分三种情况进行讨论，通常先设点坐标，再利用两点间的距离公式，分别表示出三条边的长度，然后再分三种情况列方程求解；在分析定线段是底时，也可根据动点在定线段的垂直平分线上求解；若已知角相等也可通过全等或相似三角形求解．[典例1]已知抛物线经过点A(－1，0)，B(3，0)和点C(2，3)，与y轴交于点D．(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；(2)如图1，若抛物线的顶点为E，连接AE，CE，试判断△ACE的形状；所以EF＝4，AF＝2，根据勾股定理，得AE2＝22＋42＝20，EC2＝HC2＋EH2＝(2－1)2＋(4－3)2＝2，AC2＝(2＋1)2＋32＝18，所以AE2＝AC2＋EC2，所以△ACE是直角三角形．(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使△QAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由(请在图2中探索)；图3因为CJ＝AJ＝3，所以M1K＝AK，设点M1的坐标为(m，－m2＋2m＋3)，所以KA＝m＋1，M1K＝m2－2m－3，所以m＋1＝m2－2m－3，整理得m2－3m－4＝0，解得m1＝－1(舍去)，m2＝4，所以点M1的坐标为(4，－5)；由(2)可知，M2的坐标为(1，4)．综上所述，符合条件的点M的坐标为(4，－5)或(1，4)．图4[解]

存在．如图，以AB为直径作⊙I交抛物线于点N1，N2，连接AN1，BN1，过点N1作N1G⊥AB于点G，则∠N1GB＝90°，∠AN1B＝90°，所以∠GN1B＋∠N1BG＝90°，∠AN1G＋∠GN1B＝90°，所以∠N1BG＝∠AN1G，所以△N1BG∽△AN1G，(1)求此二次函数的解析式；(2)设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积(请在图1中探索)；(3)二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由(请在图2中探索)．1．求作平行四边形的方法(1)三定顶点，一动顶点：分别过三个定点作对边的平行线，三条所作直线的交点即为所求动点．类型四特殊四边形存在性问题(2)两定顶点，两动顶点：已知A，B为两定点，分两种情况讨论：①情况一：若AB为平行四边形的边，如图1，平移AB，确定另外两点位置；②情况二：若AB为平行四边形的对角线，如图2，取AB的中点，作过中点的直线确定另外两点位置．2．求作菱形的方法当已知线段为边时，以已知线段两端点分别为圆心，长为半径画圆，再根据求作平行四边形的方法确定点的位置；当已知线段为对角线时，可以作已知线段的垂直平分线，垂直平分线上的点即为所求．3．求作矩形的方法当已知线段为边时，分别过两端点作已知线段的垂线，再根据求作平行四边形的方法确定点的位置；当已知线段为对角线时，以已知线段为直径作圆，在圆上取与已知线段不重合的任意一点，连接此点与圆心并延长，与圆的另一个交点即为所求．(2)P是抛物线上一点，Q是x轴上一点，连接AC，若四边形ACPQ是平行四边形，求点Q的坐标(请在图1中探索)；图1因为四边形ACPQ是平行四边形，所以AQ＝CP，AQ∥CP．因为点A，Q都在x轴上，所以CP∥x轴，所以yP＝yC＝5，令y＝5，即－x2＋4x＋5＝5，解得x1＝0(舍去)，x2＝4，所以P(4，5)．设点Q的横坐标为q．因为AQ＝CP，所以q－(－1)＝4，解得q＝3，所以点Q的坐标为(3，0)．(3)P是抛物线上一点，连接BC，BC所在直线上是否存在点Q，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由(请在图2中探索)；图2(4)R是抛物线上一点，S为平面内一点，若四边形BRCS是菱形，求点R的坐标(请在图3中探索)；图3(5)N为平面内一点，抛物线对称轴上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由(请在图4中探索)．图4图3图4②当BC为对角线时，如图3，4，所以MC2＋MB2＝BC2，即4＋(a－5)2＋9＋a2＝50，解得a＝6或a＝－1，所以M(2，6)或M(2，－1)．综上所述，点M的坐标为(2，7)或(2，－3)或(2，6)或(2，－1)．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M是y轴上一点，点N是抛物线上一点，以AB为边，M，N为另外两个顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点N的坐标；(3)点P是抛物线上的一个动点，满足∠PBA＝∠CAB，求点P的坐标．图1图2如图2，当点C，P关于对称轴x＝－1对称时，可知AC＝BP，所以∠PBA＝∠CAB，

此时点P的坐标为(－2，2)．综上所述，点P的坐标为(－6，－4)或(－2，2)．1．对应关系已知若两个相似三角形对应关系已知，则根据对应边或对应角关系：(1