函数的单调性与最值课件-高三数学一轮复习-1

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陕师大附中高三备课组高考一轮复习知识梳理

1.函数的单调性(1)单调函数的定义

增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I当x1<x2时，都有

，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数当x1<x2时，都有

，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)知识梳理

增函数减函数图象描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的知识梳理

(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间I上

或

，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间.单调递增单调递减注意：有多个单调区间时应分开写,不能用符号“∪”连接,也不能用“或”连接,只能用“,”或“和”连接.知识梳理

2.函数的最值前提一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足条件(1)∀x∈D，都有

；(2)∃x0∈D，使得_________(1)∀x∈D，都有

；(2)∃x0∈D，使得_________结论M是函数y＝f(x)的最大值M是函数y＝f(x)的最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M注意：(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到;(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.常用结论

1.∀x1，x2∈I且x1≠x2，有

>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减).2.在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数.3.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝

的单调性相反.4.复合函数的单调性：同增异减.5.分段函数的单调性：每段单调+整体单调.典例剖析题型一确定函数的单调性命题点1函数单调性的判断例1

(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是√√√典例剖析命题点2利用定义或导数证明函数的单调性方法一导数法故当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增.典例剖析方法二定义法:设－1<x1<x2<1，由于－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递增.典例剖析跟踪训练1

(1)函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为√图像法典例剖析(2)(2024·唐山模拟)函数f(x)＝

的单调递增区间为____________.复合函数的单调性：注意定义域！典例剖析

典例剖析题型二函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小√典例剖析

B典例剖析命题点2求函数的最值求函数的值域(最值)的常用方法(1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题.(2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域.(3)数形结合法.(4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”.(5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式.典例剖析典例

(多选)下列函数中，值域正确的是A.当x∈[0,3)时，函数y＝x2－2x＋3的值域为[2,6)√√√配方法分离常数法换元法单调性法典例剖析√典例剖析【补充题】函数y=4x+2x-1+3的值域为

.

典例剖析

典例剖析

三角换元典例剖析【补充题】对于任意实数a,b,定义

，设函数f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是

.

答案:1典例剖析命题点3解函数不等式例5

函数y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f(a＋1)<f(2a)，则实数a的取值范围是________.[－1,1)注意函数自身定义域！典例剖析命题点4求参数的取值范围√典例剖析【补充题】设函数若函数

在区间(a,a+1)上单调递增,则实数a的取值范围是(

)A.(-∞,1]B.[1,4]C.[4,+∞)D.(-∞,1]∪[4,+∞)