确定二次函数的表达式（1）课件北师大版(2012)数学九年级下册

2.3确定二次函数的表达式（2）二次函数表达式有哪几种表达方式？

一般式：y=ax2+bx+c

顶点式：y=a(x-h)2+k

交点式：y=a(x-x1)(x-x2)复习导入已知二次函数y=ax2+bx+c的图象所经过的三个点，可以确定这个二次函数的表达式吗？

根据二次函数图象上的三个点的坐标,可代入二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,列出方程确定二次函数的表达式.新知讲解例2已知一个二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标.解：设所求的二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，由已知，将三点（-1，10），（1，4），（2，7）分别代入表达式，得新知讲解10=a-b+c，4=a+b+c，7=4a+2b+c解这个方程组，得a=2，b=-3，c=5．∴所求函数表达式为y=2x2-3x+5．新知讲解∴二次函数对称轴为直线，顶点坐标为新知讲解一个二次函数的图象经过点A（0，1），B（1，2），C（2，1），你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？与同伴进行交流.议一议新知讲解新知讲解1=c，2=a+b+c，1=4a+2b+c法一解：设所求的二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，A（0，1），B（1，2），C（2，1）代入a=-1，b=2，c=1二次函数解析式为y=-x2+2x+1解得议一议新知讲解法二解：因为A（0，1）和C（2，1）关于x=1对称，抛物线的对称轴为x=1,而B（1，2）在抛物线上，所以设所求的二次函数的表达式为y=m(x-1)2+2，代入A（0，1），得到m=-1.二次函数的表达式为y=-(x-1)2+2.变式1某抛物线和抛物线y=-2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（-1，3），则该抛物线的解析式为（）A．y=-2（x-1）2+3B．y=-2（x+1）2+3C．y=-（2x+1）2+3D．y=-（2x-1）2+3解:形状、开口方向完全相同，a=-2.抛物线解析式为y=-2（x+1）2+3．故选B.B新知讲解变式2若所求的二次函数图象与抛物线y=2x2-4x-1有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的解析式为（）A．y=-x2+2x-5B．y=ax2-2ax+a-3（a＞0）C．y=-2x2-4x-5D．y=ax2-2ax+a-3（a＜0）D新知讲解解：抛物线y=2x2-4x-1的顶点坐标为（1，-3），根据题意得所求的二次函数的解析式的顶点坐标是（1，-3），且抛物线开口向下．新知讲解A、抛物线开口向下，顶点坐标是（1，-4），故选项错误；B、抛物线开口向上，顶点坐标是（1，-3），故选项错误；C、抛物线开口向下，顶点坐标是（-1，-3），故选项错误；D、抛物线开口向下，顶点坐标是（1，-3），故选项正确．新知讲解在确定二次函数的表达式时，（1）若已知图象上三个非特殊点，常设一般式；（2）若已知二次函数顶点坐标或对称轴，常设顶点式较为简便；（3）若已知二次函数与x轴的两个交点，常设交点式较为简单.新知讲解1、一个二次函数图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，-4），则这个二次函数的解析式为（）A．y=-2（x+2）2+4B．y=-2（x-2）2+4C．y=2（x+2）2-4D．y=2（x-2）2-4B课堂练习解：∵二次函数的图象的顶点坐标是（2，4），∴设这个二次函数的解析式为y=a（x-2）2+4，把（0，-4）代入得a=-2，∴这个二次函数的解析式为y=-2（x-2）2+4．新知讲解2、若抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=2x2-4x-1的顶点重合，且与y轴的交点的坐标为（0，1），则抛物线y=ax2+bx+c的表达式是（）A．y=4x2-8x-7B．y=4x2-8x+1C．y=2x2-4x+1D．y=-2x2-4x+1B课堂练习课堂练习解：∵y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，∴抛物线y=2x2-4x-1的顶点坐标为（1，-3），∵抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=2x2-4x-1的顶点重合，∴抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，-3），∴设此抛物线为y=a（x-1）2-3，∵与y轴的交点的坐标为（0，1），∴1=a-3，解得a=4，∴此抛物线为y=4（x-1）2-3=4x2-8x+1．3、用“♥”定义一种新运算：对于任意实数m，n和抛物线y=ax2，当y=ax2♥（m，n）后都可以得到y=a（x-m）2+n．例如：当y=2x2♥（3，4）后都可以得到y=2（x-3）2+4．若函数y=x2♥（1，n）得到的函数如图所示，则n=____________．2课堂练习课堂练习解：根据题意得y=x2♥（1，n）是函数y=（x-1）2+n；由图象得此函数的顶点坐标为（1，2），所以此函数的解析式为y=（x-1）2+2．∴n=2．4、如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），与y轴交于点C（0，-3），与x轴交于A、B两点．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）在抛物线上存在点P（不与点D重合），使得S△PAB=S△ABD，请求出点P的坐标．拓展提高解：（1）∵抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），∴设抛物线的函数关系式为y=a（x-1）2-4，又∵抛物线过点C（0，-3），∴-3=a（0-1）2-4，解得a=1，∴抛物线的函数关系式为y=（x-1）2-4，即y=x2-2x-3；拓展提高（2）∵S△PAB=S△ABD，且点P在抛物线上，∴点P到线段AB的距离一定等于顶点D到AB的距离，∴点P的纵坐标一定为4．令y=4，则x2-2x-3=4，解得

∴点P的坐标为

或拓展