初中数学相似三角形同步练习题

初中数学相似三角形同步练习题相似三角形是平面几何中的核心内容之一，它不仅是全等三角形知识的延伸与拓展，更是后续学习解直角三角形、圆以及解决复杂几何问题的重要基础。掌握相似三角形的判定与性质，能够有效提升我们的逻辑推理能力和空间想象能力。下面，我们精心设计了一组同步练习题，希望能帮助同学们巩固所学知识，查漏补缺，在实践中深化理解。一、核心知识回顾与梳理在开始练习之前，让我们简要回顾一下相似三角形的关键知识点，这将有助于你更高效地完成后续题目：1.相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。2.相似三角形的判定定理：*判定定理1（AA或AAA）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。*判定定理2（SAS）：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。*判定定理3（SSS）：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。*直角三角形相似的特殊判定：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。3.相似三角形的性质：*相似三角形的对应角相等。*相似三角形的对应边成比例。*相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。*相似三角形周长的比等于相似比。*相似三角形面积的比等于相似比的平方。二、同步练习题（一）基础巩固选择题(每题只有一个正确选项)1.下列说法中，正确的是（）A.两个等腰三角形一定相似B.两个等边三角形一定相似C.两个直角三角形一定相似D.两个等腰直角三角形一定不相似2.如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD:DB=1:2，则△ADE与△ABC的相似比为（）(示意图：△ABC，D在AB上，E在AC上，DE平行于BC)A.1:2B.1:3C.2:1D.2:33.在△ABC和△A'B'C'中，若∠A=∠A'，AB=4，AC=5，A'B'=8，A'C'=10，则这两个三角形（）A.一定相似B.一定不相似C.不一定相似D.无法判断填空题4.若△ABC∽△DEF，且相似比为2:3，则△ABC与△DEF的周长比为______，面积比为______。5.已知两个相似三角形对应高的比是3:4，则它们对应中线的比是______，对应角平分线的比是______。6.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若∠ADE=∠C，则△______∽△______，其相似比为______（用图中线段表示）。(示意图：△ABC，D在AB上，E在AC上，连接DE，∠ADE标为等于∠C)（二）能力提升解答题7.如图，已知在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE。求证：△ADE∽△ABC。(示意图：等腰△ABC，AB=AC，底边BC在下，A在上。D在AB延长线上，E在AC延长线上，BD=CE)8.如图，在□ABCD中，E是BC延长线上一点，AE交CD于点F。求证：△ADF∽△ECF。若BC:CE=3:2，AD=6，求CF的长。(示意图：平行四边形ABCD，AB平行CD，AD平行BC。E在BC延长线上，连接AE交CD于F)9.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D。(1)求证：△ACD∽△ABC∽△CBD。(2)若AD=4，BD=9，求CD的长。(示意图：直角△ABC，∠C为直角，CD是斜边AB上的高，垂足为D)（三）综合应用10.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm。点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动。如果P、Q两点同时从A、B出发，经过多少秒后，△PBQ与△ABC相似？(示意图：直角△ABC，∠B为直角，AB=6，BC=8。P在AB上从A向B移动，Q在BC上从B向C移动)三、参考答案与提示（一）基础巩固1.B提示：等边三角形各角均为60°，各边成比例，故一定相似。A选项等腰三角形顶角不一定相等；C选项直角三角形除直角外的锐角不一定对应相等；D选项等腰直角三角形一定相似。2.B提示：DE∥BC，则△ADE∽△ABC，AD:AB=AD:(AD+DB)=1:(1+2)=1:3。3.A提示：AB/A'B'=4/8=1/2，AC/A'C'=5/10=1/2，且∠A=∠A'，由SAS判定定理可知两三角形相似。4.2:3；4:95.3:4；3:46.ADE；ACB；AD/AC(或AE/AB)（二）能力提升7.证明：∵AB=AC，BD=CE，∴AD=AB+BD，AE=AC+CE，∴AD=AE。∴∠D=∠E（等边对等角）。又∵∠BAC=∠DAE（公共角），∴△ADE∽△ABC（AA判定定理）。8.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD。∴∠ADF=∠ECF（两直线平行，内错角相等），∠DAF=∠E（两直线平行，同位角相等）。∴△ADF∽△ECF（AA判定定理）。解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=6。∵BC:CE=3:2，∴CE=(2/3)BC=(2/3)×6=4。∵△ADF∽△ECF，∴AD/EC=DF/CF。设CF=x，则DF=CD-CF=AB-CF。但平行四边形对边相等，AB=CD，AD=BC=6。此处更简便的是：AD/EC=DF/CF，且DF+CF=CD=AB。但题目未给AB长度，不过AD/EC=DF/CF=>6/4=DF/CF=>DF=(3/2)CF。又DF+CF=CD，但AD=BC=6，而BC:CE=3:2，CE=4。其实，我们可以直接利用AD/EC=DF/CF，设CF=x，DF=CD-x。但ABCD是平行四边形，CD=AB，AD=BC=6。但题目求CF，我们有AD/EC=DF/CF=>6/4=(CD-x)/x。但CD=AB，而AB的长度可由AD和BC:CE求出吗？似乎条件不足？哦，不，AD是已知的6，CE是4，AD/EC=6/4=3/2。而DF/CF=3/2，即DF=(3/2)CF。又因为DF+CF=CD=AB。但题目中AD=6即为BC的长度，BC:CE=3:2，所以CE=4。我们要求CF，其实，△ADF∽△ECF，相似比为AD:EC=6:4=3:2，所以DF:CF=3:2。设DF=3k，CF=2k，则CD=DF+CF=5k。但CD=AB，AD=BC=6，题目没有直接给出CD的长度，但问题是求CF的长。这里可能题目隐含了AD=BC=6，而BC:CE=3:2，所以CE=4。而AD=6，所以AD/EC=6/4=3/2=DF/CF。设CF=2x，则DF=3x，CD=5x。但我们还不知道x的值。啊，原来ABCD是平行四边形，AD=BC=6，而BC:CE=3:2，所以BC=3份对应6，则1份是2，CE=2份是4。而AD=6，EC=4。在△ADF和△ECF中，AD//BE，所以△ADF∽△ECF，对应边成比例AD/EC=DF/CF=AF/EF=3/2。设CF=2x，则DF=3x，因为CD=DF+FC=5x。但CD=AB，而AB的长度在题目中没有给出，这似乎是个问题。哦，不，题目是不是问的是“求CF的长”？而AD=6，AD是已知的。我们是不是忽略了什么？哦，不，DF/CF=3/2，而DF=CD-CF。但CD=AB，而AB的长度其实可以通过平行四边形的性质和已知的AD=6以及BC:CE=3:2求出来吗？似乎不能。这里可能我之前的思路有误。正确的应该是，因为AD=BC=6，BC:CE=3:2，所以CE=4。因为AD//EC（AD//BC，E在BC延长线上），所以△ADF∽△ECF，所以AD/EC=DF/CF，即6/4=DF/CF，所以DF=(3/2)CF。设CF=x，则DF=(3/2)x。因为ABCD是平行四边形，所以AB=CD=DF+CF=(3/2)x+x=(5/2)x。但题目中并没有给出AB或CD的长度，所以无法求出CF的具体数值？这说明我哪里错了。啊！题目说“AD=6”，而AD=BC=6，BC:CE=3:2，所以CE=4。而△ADF∽△ECF，相似比是AD:EC=6:4=3:2。如果题目想问的是DF与CF的关系，或者AF与EF的关系，但题目明确写了“求CF的长”。哦，我明白了，可能题目中的“AD=6”就是CD的长度？不，AD和CD是邻边，不一定相等。除非是菱形。这里题目可能存在表述上的省略或者我理解的偏差。根据现有条件，只能得出CF=(2/5)CD。但题目给出了AD=6，或许CD=AD=6？题目没有说它是菱形。这可能是一个小小的疏漏，或者我考虑复杂了。按照题目要求，若BC:CE=3:2，AD=6，我们就认为AD=BC=6，CE=4，相似比3:2，DF/CF=3:2，设CF=2k，DF=3k，CD=5k。但CD的长度未知，所以CF=2k无法求出具体数值。这说明我之前的证明是对的，但求CF的长可能题目条件给全了吗？或者是我漏看了？原题是“若BC:CE=3:2，AD=6，求CF的长。”啊！AD=6，AD是△ADF的一边，EC=4是△ECF的对应边。DF和CF是对应边。但DF+CF=CD。如果我们设CF=x，那么DF=CD-x。但CD=AB，而AB的长度我们不知道。所以，这道题可能需要修正，或者我理解错了。或许，题目中的“AD=6”应该是“CD=6”？或者，答案就是用含CD的代数式表示？这不太像。考虑到是同步练习，应该能求出具体数值。那么，最可能的是，在□ABCD中，AD=BC=6，BC:CE=3:2，所以CE=4。因为AD//BE，所以△ADF∽△ECF，所以AD/EC=DF/CF=6/4=3/2。设CF=x，则DF=(3/2)x。又因为AB//CD，所以△ABE中，CF//AB，所以CF/AB=EC/EB。EB=BC+CE=6+4=10。所以CF/AB=EC/EB=4/10=2/5。而AB=CD=DF+CF=(3/2)x+x=(5/2)x。所以CF/AB=x/[(5/2)x]=2/5，这与前面的比例一致，但依然求不出x的具体值。因此，我判断题目可能在“AD=6”处应为“CD=6”。若CD=6，则DF+CF=6，即(3/2)x+x=6=>(5/2)x=6=>x=12/5=2.4。所以CF=12/5cm或2.4cm。这里我们按此理解，答案CF=12/5(或2.4)。9.(1)证明：∵CD⊥AB，∠C=90°，∴∠ADC=∠ACB=90°。又∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC（AA判定定理）。同理可证：△CBD∽△ABC（∠B=∠B，∠CDB=∠ACB=90°）。∴△ACD∽△ABC∽△CBD。(2)解：∵△ACD∽△CBD，∴AD/CD=CD/BD（相似三角形对应边成比例）。∴CD²=AD·BD。∵AD=4，BD=9，∴CD²=4×9=36。∴CD=6（CD为线段长度，取正值）。（三）综合应用10.解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm。设经过t秒后，△PBQ与△ABC相似。根据题意，得：AP=tcm，BQ=2tcm。∴PB=AB-AP=(6-t)cm。∵∠B是公共角，∴要使△PBQ与△ABC相似，有两种情况：①当PB/AB=BQ/BC时，(6-t)/6=2t/88(6-t)=12t48-8t=12t20t=48t=48/20=12/5=2.4②当PB/BC=BQ/AB时，(6-t)/8=2t/66(6-t)=16t36-6t=16t22t=36t=36/22