中考数学复习课件第26课正方形

第26课正方形1.正方形的定义及性质(1)正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.(2)正方形的性质：①既具有矩形的性质又具有菱形的性质；②正方形的四个角都是直角，四条边都相等；③正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；④正方形既是中心对称图形也是轴对称图形；(3)正方形的面积与周长：S正方形＝AB2＝

AC2；C正方形＝4·AB.1.(1)如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，

OA＝1，下列判断错误的是

(

)A.

OA＝OB＝OC＝OD＝1B.

正方形ABCD的面积为2C.

正方形ABCD的周长为4D.

图中有8个45°角，有4个直角D(2)如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，则∠BED的度数是_____.

45°2.正方形的判定通常有以下两种思路：思路一：已知矩形＋“菱形特有性质”：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线互相垂直的矩形是正方形.思路二：已知菱形＋“矩形特有性质”：①有一个角是90°的菱形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形.2.(1)根据图中条件，证明四边形ABCD是正方形.证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴四边形ABCD是矩形.又∵AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形.证明：∵AB＝BC＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形.又∵∠B＝90°，∴菱形ABCD是正方形.(2)如图，在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中，若下列①②③④表示需要添加的条件，则描述错误的是()A.①表示有一个角是直角B.②表示有一组邻边相等C.③表示四个角都相等D.④表示对角线相等C3.(2024福建)如图，正方形ABCD的面积为4，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的面积为____.24.如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC相交于点H，若AB＝6，CE＝2，则DH的长为___.35.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，试添加一个条件：___________________，使得矩形ABCD为正方形.AB＝AD(答案不唯一)6.如图，▱ABCD的对角线AC,BD交于点O，分别以点B，C为圆心，

AC，

BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP.(1)试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；解：(1)四边形BPCO是平行四边形.理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，BO＝OD.

∴四边形BPCO是平行四边形.

∵分别以点B，C为圆心，

AC，

BD长为半径画弧，两弧交于点P，∴BP＝

AC＝OC，CP＝

BD＝OB.

解：(2)∵对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形，∴当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形BPCO是正方形.

(2)请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形.

7.(2024广东)完全相同的四个正方形面积之和是100，则正方形的边长是(

)A.2B.5C.10D.20 B8.(2023广州)如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，且BE＝1，F为对角线BD上一动点，连接CF，EF，则CF＋EF的最小值为____.9.如图，在正方形ABCD中，BE＝1，将BC沿CE翻折，使点B的对应点刚好落在对角线AC上，将AD沿AF翻折，使点D的对应点也刚好落在对角线AC上，则EF＝____.

11.(2023广东)【主题】制作无盖正方体形纸盒. 【素材】一张正方形纸板. 步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形； 步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体纸盒.解：(1)∠ABC＝∠A1B1C1.

【猜想与证明】(1)直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A1B1C1的大小关系；

(2)证明(1)中你发现的结论. ∴AC2＋BC2＝5＋5＝AB2.

∴△ABC为等腰直角三角形.

∵A1C1＝B1C1＝1，A1C1⊥B1C1，

∴△A1B1C1为等腰直角三角形.

∴∠ABC＝∠A1B1C1＝45°.则AC＝BC＝，AB＝，

解：(2)如图1，连接AC，设小正方形边长为1，

12.(2025北京)如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F.若AB＝1，∠EBC＝30°，则△ABF的面积为_____.13.(2024广西)如图，边长为5的正方形ABCD，E，F，G，H分别为各边中点.连接AG，BH，CE，DF，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形MNPQ的面积为(

)A.1B.2C.5D.10 C14.(2025陕西)如图，正方形ABCD的边长为4，E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC，则△CEF的面积为(

)A.10B.8C.5D.4C15.(2024天津)如图，正方形ABCD的边长为3，对角线AC，BD相交于点O，点E在CA的延长线上，OE＝5，连接DE. (1)线段AE的长为____；

(2)若F为DE的中点，则线段AF的长为_____.

217.【模型建立】(1)如图1，已知△ABE和△BCD，AB⊥BC，AB＝BC，CD⊥BD，AE⊥BD.用等式写出线段AE，DE，CD的数量关系，并说明理由.

解：(1)DE＋CD＝AE，理由如下：

∵CD⊥BD，AE⊥BD，AB⊥BC，∴∠ABC＝∠D＝∠AEB＝90°.

∴∠ABE＋∠CBD＝∠C＋∠CBD＝90°.∴∠ABE＝∠C.

∵AB＝BC.∴△ABE≌△BCD(AAS).∴BE＝CD，AE＝BD.

∴DE＝BD－BE＝AE－CD.∴DE＋CD＝AE.

【模型应用】

(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在对角线BD和边CD上，AE⊥EF，AE＝EF.用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由.

如图2，过点E作EM⊥AD于点M，EN⊥CD于点N，

∵四边形ABCD是正方形，BD是正方形的对角线，

∴∠ADB＝∠CDB＝45°，∠ADC＝90°.∵EN⊥CD，EM⊥AD，DB平分∠ADC，∴EM＝EN.∵AE＝EF，∴Rt△AEM≌Rt△FEN(HL).∴AM＝NF.∵EM＝EN，EN⊥CD，EM⊥AD，∠ADC＝90°，∴四边形EMDN是正方形.解：(2)AD＝BE＋DF，理由如下：

∴AD＝CD＝BD.

∴DE＝BD－BE＝AD－BE.∴ED是正方形EMDN的对角线，MD＝ND.

∴MD＝DN＝

DE.∴NF＝ND－DF＝MD－DF＝

DE－DF.∵AM＝AD－MD＝AD－

DE＝NF，∴AD＝DE－DF.

∵DE＝AD－BE，∴AD＝(AD－BE)－DF.∴AD＝BE＋DF.

【模型迁移】

(3)如图3，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD的延长线上，AE⊥EF，AE＝EF.用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由.

解：(3)AD＝

BE－DF，理由如下：如图3，过点A作AH⊥BD于点H，过点F作FG⊥BD交BD的延长线于点G，∵AH⊥BD，FG⊥BD，AE⊥EF，∴∠AHE＝∠G＝∠AEF＝90°.

∴∠AEH＋∠HAE＝∠AEH＋∠GEF＝90°.∴∠HAE＝∠GEF.

又∵AE＝EF，∴△HAE≌△GEF(AAS).∴HE＝FG.

在正方形ABCD中，∠BDC＝45°，∴∠FDG＝∠BDC＝45°.∵∠ADB＝45°，AH⊥HD，∴FG＝

DF＝HE.∴HD＝

AD.

∴DE＝HD－HE＝

AD－

DF

＝BD－BE＝AD－BE.

∴AD＝BE－DF.

中考回归教材——数学活动与探究18.【几何直观、模型观念】如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A′B′C′O与正方形ABCD的边长相等.在正方形A′B′C′O绕点O旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积与正方形ABCD的面积有什么关系？请证明你的结论.∵四边形ABCD和四边形A′B′C′O都是正方形，∴OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝