第44讲课本题改编型问题

第四篇综合与实践第十章数学问题探究第44讲课本题改编型问题课本中例题、习题是针对教材内容而设置，具有示范性、典型性和代表性，例题、习题是学业考试试题和模拟试题编制的题源，这种“源于课本，又高于课本”的考题，既立足教材，又迁移了教材中解决问题的基本思想和方法，对教材中问题的适当拓展或延伸，改变题目的原有呈现形式，实现问题的推陈出新.通过课本中例题、习题的基本解题思路和改编后问题的结构去进一步探索，结合纵向、横向思考，特殊到一般等数学方法.

类型一

以题改题——情景不变，内容改变例1

课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法.我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法.

定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫作这个三角形的三分线.（1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）.【答案】（1）如图1作图.（答案不唯一）（2）△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，设∠C＝x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值.【答案】（2）如图2作图.①当AD＝AE时，∵2x＋x＝30＋30，∴x＝20；②当AD＝DE时，∵30＋30＋2x＋x＝180，∴x＝40.

（3）如图3所示，在△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠C＝2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长.

【解后感悟】本题通过对课本母题再赋予新的定义，进行了类比探究，丰富问题内涵.考查了学生学习的理解能力及动手创新能力，知识方面重点考查三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，是一道体现能力的题目.

1.

问题：如图，在▱ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长.答案：EF＝2.探究：（1）把“问题”中的条件“AB＝8”去掉，其余条件不变.①当点E与点F重合时，求AB的长；【答案】（1）①如图1所示，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，BC＝AD＝5，∴∠DEA＝∠BAE，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠DEA＝∠DAE，∴DE＝AD＝5，同理：BC＝CF＝5，∵点E与点F重合，∴AB＝CD＝DE＋CF＝10；②当点E与点C重合时，求EF的长.【答案】②如图2所示，∵点E与点C重合，∴DE＝DC＝5，∵CF＝BC＝5，∴点F与点D重合，∴EF＝DC＝5.

类型二

以题生题——借助习题，拓展问题例2

追本溯源题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）.（1）如图1所示，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由.【答案】（1）△BDE是等腰三角形.理由如下：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵DE∥BC，∴∠BDE＝∠CBD，∴∠BDE＝∠ABD，∴EB＝ED，∴△BDE是等腰三角形.方法应用（2）如图2所示，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F，交BC于点G.

①图中一定是等腰三角形的有（

B

）A.3个B.4个C.5个D.6个②已知AB＝3，BC＝5，求CF的长.【答案】（2）②∵平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝5，由①易证DA＝DF，∴CF＝DF－CD＝5－3＝2.B【解后感悟】本题（1）为学习角平分线时比较经典的平分线＋平行线→等腰三角形的模型，本模型显然在平行四边形中也非常常见，因此第（2）小题就在平行四边形中进行了考查.类型三

借景编题——利用材料，设置问题

例3

如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为1

200

N，阻力臂长为0.5

m.设动力为y（N），动力臂长为x（m）.杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂（图中撬棍本身所受的重力略去不计）.

（1）求y关于x的函数表达式.

（2）当动力臂长为1.5

m时，撬动石头至少需要多大的力？

（3）小明若想使动力不超过300

N，在动力臂最大为1.8

m的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由.

【解后感悟】本题主要考查了反比例函数的应用，利用生活经验和知识融合是解题关键.

类型四

多题联题——利用习题，组合编题例4

某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）.第一班车上午8：00发车，以后每隔10

min有一班车从入口处发车.小聪周末到该风景区游玩，上午7：40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25

min后到达塔林.离入口处的路程y（m）与时间x（min）的函数关系如图2所示.（1）求第一班车离入口处的路程y（m）与时间x（min）的函数表达式.

（2）求第一班车从入口处到达塔林所需的时间.【答案】（2）把y＝1

500代入y＝150x－3

000，解得x＝30，30－20＝10（min）.因此第一班车到塔林所需时间为10

min.

（3）小聪在塔林游玩40

min后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变）？【答案】（3）设小聪坐上第n班车.30－25＋10（n－1）≥40，解得n≥4.5，则小聪最早坐上第5班车.等班车时间为5

min，坐班车所需时间为1

200÷150＝8（min），步行所需时间为1

200÷（1

500÷25）＝20（min），20－（8＋5）＝7（min），因此小聪坐班车去草甸比他游玩结束后立即步行到达草甸提早7

min.【解后感悟】本题考查利用一次函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，准确识图并获取信息是解题的关键.

3.

锐角三角形ABC中，BC＝6，S△ABC＝12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y

＞0），当x＝

3

，公共部分面积y最大，最大值是

6

.3

6

类型五

以题换题——结构不变，情景改变例5

课本中有一个例题：有一个窗户形状如图1所示，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6

m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35

m时，透光面积最大值约为1.05

m2.我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2所示，材料总长仍为6

m，利用图3，解答下列问题：（1）若AB为1

m，求此时窗户的透光面积？

（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明.

【解后感悟】此题主要通过例题的方法去解决新问题，正确表示出函数表达式是解题关键.

【课本改编题】数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力、创新能力的一种手段.小强在学习“相似”一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1所示）产生了如下问题，请同学们帮他解决.在△ABC中，D为边AB上