第3课时完全平方公式的认识-1

第一章整式的乘除3乘法公式第3课时完全平方公式的认识计算下列各式：（1）（m＋3）2；解：（m＋3）2＝（m＋3）（m＋3）＝m2＋3m＋3m＋9＝m2＋6m＋9.（2）（2＋3x）2.解：（2＋3x）2＝（2＋3x）（2＋3x）＝4＋6x＋6x＋9x2＝9x2＋12x＋4.观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？结论：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2.

1

认识完全平方公式完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于它们的

⁠加上

（或减去）它们积的2倍.平方和公式结构特征（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2（a－b）2＝a2－2ab＋b2口诀：首平方，尾平方，积

的两倍放中央，符号看前方1.公式左边为完全平方，右边为二次三项式.2.右边有两项为两数的平方和，另一项是两

数积的2倍，且与左边中间的符号相同.3.公式中的字母，可以表示数、单项式或多

项式.4.（首±尾）2＝首2±2首·尾＋尾2.【例1】与（x－1）2相等的是（D）.A.

x2－1B.1－x2C.

x2＋2x＋1D.

x2－2x＋1

（2025·宝安区模考）下列计算正确的是（B）.A.

a＋a2＝a3B.

（a－2）2＝a2－4a＋4C.

a8÷a4＝a2D.

（－2ab2）3＝8a3b6DB

2

完全平方公式的几何意义用面积恒等证明完全平方公式.【例2】如图，两条线段把正方形ABCD分割出边长分别为a，b的两个小正

方形，则利用该图形可以验证因式分解成立的是（B）.BA.

b2－a2＝（b－a）（b＋a）B.

a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2C.

a2－2ab＋b2＝（a－b）2D.

a2＋b2＝ab（a＋b）

将一个长为2a，宽为2b的矩形纸片（a＞b），用剪刀沿图1中

的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式

拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为（D）.A.

a2＋b2B.

a2－b2C.

（a＋b）2D.

（a－b）2D

1.

下列代数式：①a2－4a＋4；②x2＋4x；③m2n－2mn－1；④9m2＋

16n2＋24mn.其中，能直接利用完全平方公式进行变形的是（D）.A.

①③B.

③④C.

②④D.

①④2.

已知a＋b＝5，ab＝6，则a2＋b2＝

⁠.D133.

计算：（4－x）2－（x－2）（x＋3）.解：原式＝16－8x＋x2－（x2＋x－6）＝16－8x＋x2－x2－x＋6＝－9x＋22.4.

计算：（x＋1）（x－3）－（x＋1）2.解：（x＋1）（x－3）－（x＋1）2＝（x2－3x＋x－3）－（x2＋2x＋1）＝x2－2x－3－x2－2x－1＝－4x－4.5.

计算：（x＋1）2－（x－2）2.解：

原式＝x2＋2x＋1－x2＋4x－4＝6x－3.6.

（2025·深圳实验学校期中）计算：（x＋2y）（x2－4y2）（x－2y）.解：原式＝（x＋2y）（x－2y）（x2－4y2）＝（x2－4y2）2＝x4－8x2y2＋16y4.

7.

（2024·南山区模拟）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它们的面

积，可以得到一个数学等式.例如图1可以得到（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，

请解答下列问题：（1）如图2，需要

张边长为a的正方形，

张边长为b的正方

形，

张边长为a，b的长方形.（2）类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式：

⁠

⁠.1168（a＋4b）2＝a2＋

8ab＋16b27.

（2024·南山区模拟）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它们的面

积，可以得到一个数学等式.例如图1可以得到（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，

请解答下列问题：（3）用多项式乘多项式的法则验证（2）中得到的等式.解：（a＋4b）2＝（a＋4b）（a＋4b）＝a2＋4ab＋4ab＋16b2＝a2＋8ab＋16b2.参考答案【新课引入】解：（1）（m＋3）2＝（m＋3）（m＋3）＝m2＋3m＋3m＋9＝m2＋6m

＋9.（2）（2＋3x）2＝（2＋3x）（2＋3x）＝4＋6x＋6x＋9x2＝9x2＋12x＋

4.结论：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2.【新课导学】平方和【例1】

D对点训练1

B【例2】

B对点训练2

D【随堂小测】1.

D

2.133.

解：原式＝16－8x＋x2－（x2＋x－6）＝16－8x＋x2－x2－x＋6＝－9x＋22.4.

解：（x＋1）（x－3）－（x＋1）2＝（x2－3x＋x－3）－（x2＋2x＋1）＝x2－2x－3－x2－2x－1＝－4x－4.5.

解：

原式＝x2＋2x＋1－x2＋4x－4＝6x－3.6.

解：原式＝（x＋2y）（x－2y）（x2－4y2）＝（x2－4y2）2＝x4－8x2y