现代控制理论-闫茂德-配套教学第2章 控制系统状态空间表达式的解

现代控制理论长安大学《现代控制理论》教学组主讲

人：闫茂德联系方式子邮件：mdyan@第2章

线性系统状态方程的解第2章

线性系统状态方程的解得到了系统的数学模型，下一步就是要分析系统的模型。对系统进行分析的目的就是要揭示系统状态变量的时域响应和系统的基本特性，通常对系统的分析有定性分析和定量分析两种。本章主要讨论使用状态空间分析法对线性定常系统进行定量分析，在给定系统的输入信号和初始状态下，求解状态空间表达式的解。第2章

线性系统状态方程的解教学要求：正确理解状态转移矩阵的基本概念熟练掌握线性定常系统状态方程的求解方法掌握线性离散时间系统状态方程的求解方法了解连续时间系统状态方程的离散化问题重点内容：状态状态转移矩阵求解线性定常系统状态方程的求解线性离散系统状态方程的求解第2章

线性系统状态方程的解2.1线性定常系统状态方程的解一般形式的线性定常系统状态方程如式(2.1)所示：式中：x

R

n为系统状态向量；u

R

r

为系统输入向量；A

R

n

n

为系统矩阵；B

Rn

r为控制输入矩阵。x(t0

)

为状态向量在初始时刻

的初值。此时，该线性定常系统状态方程有唯一解。t

t0 0

x

Ax

Bu

x(t)

x(t

)(2.1)第2章

线性系统状态方程的解2.1.1线性定常系统齐次状态方程的解线性定常齐次方程的解：指系统的输入为零时，由初始状态引起的自由运动。此时，式(2.1)变为齐次微分方程：式(2.2)的解

x(t)

(t

t0

)

称为系统自由运动的解或零输入响应。下面对该定常齐次状态方程进行求解。t

t00

x(t

)

x

Ax

x(t)(2.2)第2章

线性系统状态方程的解解：照标量微分方程的解，设式(2.2)的解可表示为式(2.3)所示的向量幂级数，即：0 1 0 2 0 k 0x(t)

b

b(t

t)

b(t

t)2

b(t

t)k

其中，

bi

(i

0,1,

2,

) 均为列向量。将式(2.3)代入式(2.2)得：(2.3)b

2b(t

t)

kb(t

t)k

1

1 2 0 k 0

A(b

b(t

t)

b(t

t)2

b(t

t

)k

)0 1 0 2 0 k 0(2.4)第2章

线性系统状态方程的解将初始条件代入式(2.3)，得：(2.5)(2.6)2 103 200112!13!3k

1

2则式(2.4)等号两边同幂次项系数应相等，即：

b1

Ab0

b

Ab

A2bA3b

1

k

!

b

Ab

b

Ak

b

00t

tx(t)

x(t

)x(t0)

b0将(2.4)、(2.5)代入式(2.2)，故得：，即：式(2.7)等式右边括号内的展开式是

n

n 阶矩阵，对照式(2.8)，定义它为矩0 00 02! k

!x(t)

(I

A(t

t)

1A2(t

t)2

1Ak(t

t)k

)x已知标量指数函数

ea

(t

t0

)

可展开为泰勒级数：0 002! k

!ea(t

t0)

1

a(t

t)

1a2(t

t)2

1ak(t

t)k

(2.7)第2章

线性系统状态方程的解(2.8)(2.9)阵指数函数e

A(t

t0

)0 002! k

!eA(t

t0)

I

A(t

t)

1A2(t

t)2

1Ak(t

t

)k

第2章

状态空间表达式的解如果初始时间t0

0

，即初始状态为x(0)

x0

，我们用t

0

替代t

t0

，可以得到：（2.10a）则定常系统齐次状态方程式(2.2)的解可用矩阵指数函数

e

A(t

t0

) 表示：x(t)

eA(t

t0

)

x(t

),

t

t0 0（2.10b）式(2.10)表明，线性定常系统在无输入作用，即

u

0

时，任一时刻t的状态x(t)均是由起始时刻t0的初始状态x(t0)在(t-t0)时间内通过指数函数矩阵

演化而来的。鉴于此，将指数函数矩阵

称为状态转移矩阵，并记为：eA(t

t0)

Φ(t

t)0（2.11）x(t)

eAtx,t

00第2章

线性系统状态方程的解由此可将齐次状态方程的解表达为统一的形式，即：式(2.12)的物理意义是：自由运动的解仅是初始状态的转移，状态转移矩阵包含系统自由运动的全部信息，它唯一决定了系统中各状态变量的自由运动。利用状态转移矩阵，可以从任意指定的初始时刻状态矢量x(t0)求得任意时刻t的状态矢量x(t)

。x(t)

Φ(t

t0

)

x(t0

)（2.12）第2章

线性系统状态方程的解2.1.2

线性定常系统状态转移矩阵的运算性质1. 性质一Φ(0)

I证明：由状态转移矩阵的定义可知：令t=0

，2!At

2A2AkΦ(t)

e

I

At

t

kk!t

Φ(0)

e0

I第2章

线性系统状态方程的解2. 性质二Φ

(t)

AΦ(t)

Φ(t)

A证明：由定义得满足交换2 k2d(e

At)dtkdtk

1

A

At

t

(k

1)! k

!A2 Akd(

I

At

t

t

)2! k

!Ak Ak

1t

AΦ(t)

Φ(t)

A这一性质表明Φ(t)

eAt律。满足齐次状态方程x

Ax，且AΦ(t) 与Φ(t)

A

Φ(t)

第2章

线性系统状态方程的解3. 性质三Φ(t)Φ(

)

Φ(t

)由二项式定理，有：这一性质表明，状态转移矩阵具有分解性22A22!Akk

!)2!ti

k

ii

0i!(k

i)!kt

)

(I

A

kAkk

!

)

k

0

( kAt

A

A2证明：

Φ(t)Φ(

)

ee

(I

At

t

k

! ti

(

k

i

)i

0i!(k

i)!(t

)k

k(ti

k

i

kk

0

i

0i!

(k

i)!

At

A

A(t

)Φ(t)Φ(

)

e

e

)

e

Φ(t

)第2章

线性系统状态方程的解4. 性质四[Φ(t)]

1

Φ(

t)证明：由状态转移矩阵的分解性，有：Φ(t)Φ(

t)

Φ(t

t)

Φ(0)

eA0

IΦ(

t)Φ(t)

Φ(

t

t)

Φ(0)

eA0

I又由逆矩阵定义得：[Φ(t)]

1

Φ(

t)，或[Φ(

t)]

1

Φ(t)这一性质表明，状态转移矩阵非奇异，系统状态的转移是双向、可逆的。第2章

线性系统状态方程的解5. 性质五Φ(t2

t1

)Φ(t1

t0

)

Φ(t2

t0

)证明：由状态转移矩阵的分解性，有：Φ(t2

t1

)Φ(t1

t0

)

Φ(t2

)Φ(

t1

)Φ(t1

)Φ(

t0

)

Φ(t2

)Φ(

t1

t1

)Φ(

t0

)

Φ(t2

)IΦ(

t0

)

Φ(t2

t0

)这一性质表明，系统状态的转移具有传递性，t0至t2的状态转移等于t0至t1、t1至t2分段转移的累积。第2章

线性系统状态方程的解状态转移矩阵的几何意义：图2-1

状态转移轨迹图第2章

线性系统状态方程的解【例2-1】

试判断下面矩阵是否满足状态转移矩阵的条件,如果满足,试求与之对应的A阵。解：主要通过性质1、性质4判断矩阵是否满足状态转移矩阵的条件。Φ(0)

I

2te

2t e

t

e

2t

2e

t

t

2e

2t

e

tΦ(t)

2e

2e

2t

2t

t

2e

t

2et

e

2t e

t

e

2t

t

2e

2t

e

t

2e

2e

2ee2t2e2tet

e2t

et

2e

Φ(t)Φ(

t)

I故该矩阵满足状态转移矩阵条件。第2章

线性系统状态方程的解由线性定常系统状态转移矩阵的运算性质：Φ

(t)|t

0

A故有：

2e

2

t

e

t

2e

t

2e

2t

t

01|

0

2

3

2e

t

4e

2

te

t

4e

2

t

A

第2章

线性系统状态方程的解2.1.3

线性定常系统状态转移矩阵的计算方法1.

级数展开法直接根据状态转移矩阵的定义式计算，即：级数展开法具有编程简单、适合于计算机数值求解的优点，但若采用手工计算，因需对无穷级数求和，难以获得解析表达式。At 2

kA2 Ake

I

At

t

t

2! k!k

k

1k

0

k!

A

t(2.13)第2章

线性系统状态方程的解解：根据定义有：

1

3

【例2-2】试用级数展开法求

e

At

。A

3 1

0

31

t

1

3

0 1

1

3

2!

1

3

Φ(t)

eAt

1

1

2t2

Φ(t)

1

3t

5t2

t

3t2

t

3t2

1

3t

5t2

第2章

线性系统状态方程的解2.

拉普拉斯反变换法证明：已知齐次微分方程：x

(t)

Ax(t),x(0)

x0两边进行拉普拉斯变换：sx(s)

x0

Ax(s)拉普拉斯反变换，得：(2.14)

Φ(t)

L

1[(sI

A)

1]eAt

x(s)

(sI

A)

1

x00x(t)

L

1[(sI

A)

1

]x

，即e

At

L

1[(sI

A)

1

]第2章

线性系统状态方程的解。【例2-3】试用拉普拉斯反变换法求

e

At解：根据定义有：

1

3

A

3 1

1

1 s

3

sI

A

s

311 1s

3

(s

2)(s

4)

1

1

1

1

1

1

(s

2)(s

4)

1

s

2 s

4 s

2 s

4

1

(s

3)

1

(s

2)(s

4)2

1(s

2)(s

4)

s

2 s

4 s

2 s

4

(sI

A)

1

1 adj(sI

A)

1

s

3sI

A

(s

3)

(s

2)(s

4)

e

4t e

2t

e

4t

e

4t e

2t

1

e

2t2

e

2t

e

4t

e

At

L

1[(sI

A)

1]

第2章

线性系统状态方程的解3.

利用特征值标准型及相似变换计算(1) 若方阵A的n个特征值互异时：设P是使A变换为对角矩阵的变换矩阵，即

Λ

P

1

AP组成的对角矩阵，则有：。Λ

是由A的特征值(2.15)n

A

PΛP

1

P

P

1

1 0

0

0

0

2

0 0

2ne

t

t

e

1t

0

eAt

PeΛtP

1

P

P

1

0

0

0

0 0

e(2.16)第2章

线性系统状态方程的解证明：因为，所以：k

0k

!eAt

1

Aktkk

0k

!k

0k

!P

1eAt

P

P

1

(

1

Aktk

)P

1

P

1

Ak

Ptk又有

Λ

P

1

AP

，则：P

1

A2

P

P

1

AAP

P

1

A(PP

1

)

AP

(P

1

AP)(P

1

AP)

Λ2推广得

P

1

Ak

P

Λk

，代入式(2.17)得：(2.17)第2章

线性系统状态方程的解k

0k

!0

10

t1001

ktk0

001

ktkk

kn

ktk

t

1

k

0k!

2

1

k

!

0

02

0

ktk 0

0

0

n

P

1eAt

P

1

P

1

Ak

Ptk

1

Λktk

e

Λt

0

t

k

0k

!0

0

0 1

0 0

2t

0

0 0

1

0

0

1k

0k!

3k

k

t

t

k

0k!

1

e

t

00

n

1

0

0

e

2t

0 0

e2e

t

t

e

1t

0

n

eAt

PeΛtP

1

P

P

1

0

0

0

0 0

e

证明完毕。第2章

线性系统状态方程的解解：求A的特征值：

1

2,

2

4变换矩阵：

1

3

【例2-4】试用特征值标准型及相似变换法求

e

At

。A

3 1

2

6

8

(

2)

4

0

1

1

3

|

I

A|

31

1

1

2

1

1

P

1 1

，P

1

1

1

e

2t

e

4t

1

e

2t

0

1 1

1

1

12

1

1

0e

4t

11

e

2t

e

4t2

e

2t

e

4te

2t

e

4t

eAt

PeΛtP

1

第2章

线性系统状态方程的解(2) 若方阵A的有重特征值时：当A有相同的特征值时，存在线性非奇异变换，可以将A化为约旦标准形A。设

是A的n重根，则：则对应的指数矩阵和状态转移矩阵为为：

1

0

1

0

1

J

P

1

AP21 11

(

n

1)!t

(n

2)!t

0

0n

1

n

2

eJt

e

t

0

1 t 2!t

1 t

t1

0 0

0 0

1 1 t1t

22!

1tn

1

(n

1)!

0

t

n

2

0

0

eAt

PeJtP

1

Pe

t

P

1

1 t

(n

2)!

t1

0 0

0 0

第2章

线性系统状态方程的解形为：1

12

1

1 0

1

2式中P为使A化为约旦标准形的变换矩阵。通常，

A的特征值既有重根，又有单根，如

1

为三重跟，

2

为二重跟，

3

为单根，矩阵A化为约旦标准

1 1

0

0

0A

P

则指数矩阵

e

At

的形式为：

3

P11

1112212et

e

t te

t2

te

tte

te

1t0000 00 00 0e

t te

t0 e

2t0 0

0

00

0

00

00 0

0

0 0

e

3t

eAt

P

00

P

1第2章

线性系统状态方程的解【例2-5】试用特征值标准型及相似变换法求

e

At

。解：求A的特征值：

1,2

1，

3

2由特征值构成一个约旦标准型矩阵J

,进而求得

e

At

：1

0 1 0

A

0 0

2 3 0

1 00

1

3

3

2

(

1)2

2

0

2

3

I

A

e

t

te

t

e

t00

0

0

0

e2t

eJt

0

1 1 0

J

0

1

0 0 2

第2章

线性系统状态方程的解由于A为友矩阵，则变换矩阵为：指数矩阵为：13

99

21

12

,

2 2

2

14

1 0 1

1 0 1

1

1

2

11 3

33

8

2

1

913

1 2 1

9 9 9

P

1

P

1

e

t te

t

t0

e2t

8e

t

6te

t

e2t

2e

t

3te

t

2e2

t

e

t

3te

t

e2

t

1

2e

t

6te

t

2e2

t

e

t

3te

t

4e2

t

2e

t

3te

t

2e2t

9

e

t

3te

t

8e2

t5e

t

3te

t

4e2

t

4e

t

6te

t

4e2

t

eAt

P

0 e 0

P

0 0第2章

线性系统状态方程的解4.

凯莱-哈密顿定理法计算凯莱-哈密顿(Cayley-Hamilton)定理：n阶方阵A满足其特征方程。设n阶方阵A的特征方程为：f(

)

I

A

n

a

n

1

a

a

0n

1 1 0则：f(A)

An

a An

1

aA

aI

0n

1 1 0凯莱-哈密顿定理是矩阵论的重要定理，基于该定理可将

的无穷级数定义式简化为有限项多项式计算。有关该定理的证明可参阅矩阵论的有关著作。第2章

线性系统状态方程的解由凯莱密特定理得：An

(a An

1

aA

aI)n

1 1 0A

n是

A

n

-1

，

A

n

-2

，…，A

，

I的线性组合。以此类推，e

A

t和A

k可以用A

n

，

A

n-1

，…，A

，

I线性表示，并且所有高于（n-1）

次的乘幂项A

n

，

A

n+1

，

A

n+2

…都可以用A

n-1

，…，A

，

I的线性组合来表示，即：e

At1 2

2 1 n

n

I

At

A

t

A

t

2！ n！

(t)

An

1

(t

)

An

2

(t

)

A

(t

)

In

1 n

2 1 0第2章

线性系统状态方程的解当A有互异的特征根时，有：当A有相同的特征根时，有：10 111nnee

te

2t

t

2

(t)1

2

2

1n

1

n

1n

1n

1 n

(t)

1

n

1

2 2

2

(t)

1

01111111111112!t

2n

3n

2

n

2

n

1

(t)

0(n

1)

(t)

n

3

(t)

(n

1)(n

2)

1

0

(t)

(n

2)

n

3(n

1)

n

2

(t)

n

1

0

0

0

0 0

01

0 1

(n

3)

n

4

0 1 2

1

11te

te

1tn

1

t

1

e1

1

(n

1)!

tn

2e

1t

t

2e

t1

2!

(n

2)!

第2章

线性系统状态方程的解【例2-6】试用凯莱-哈密顿法求

1

3

eAt

。A

3 1

解：由例2-4可知

1

2,

2

4

：

e

2t

2e

2t

e

4t

1

e

2t

1

e

1t

1

2

1

1

1

12

2t

1

1

4

1

2

2

e

4t

e

2t

2

11

1e

4t

e

e

4t

2 2

2

122( e2

2t

4t

2t

4t1

2e

2t

e

4t)

10

2t

1e

4t)

3

0 1

1

3

1

e

2t

e

4t e

2t

e

4t

e

e e

e

eAt

I

A1 2第2章

线性系统状态方程的解【例2-7】试用凯莱-哈密顿法求解：矩阵A的特征值为：2

eAt

。

4 1

2

A

1 0

1

1 3

4

1 2

1

2

(

3)2

1

0

1 1

3

1,2

3,

3

1

I

A

第2章

线性系统状态方程的解

e

3t

13 311 2

e3t

6te3t

9et

1

e3t

8te3t

6et

e3t

2te3t

et4

et

2

1

te

1t

1

9

1

te3t

1

0

e

1t

e3t

1

2

1

2

1 30 1 6

1 11

3

13te3tte3t4

00

12

62

1 0 0

4 1

2

15 6

12

1

1

2

0

1

0 0 1

1

1

2te3t

3

3

6

5

e3t

te3t

2e3t

2e3t

2te3t

2et

e3t

te3t

2et

e3t

te3t

et

e3t

2te3t

et

eAt

I

A

A2第2章

线性系统状态方程的解下面对该非齐次状态方程进行求解。(2.24)2.1.4线性定常系统非齐次状态方程的解线性定常系统在输入信号u(t)的作用下引起的受迫运动，可用式(2.24)所示的非齐次状态方程描述，即：

x

(t)

Ax(t)

Βu(t)t

t0 0

x(t)

x(t

)第2章

线性系统状态方程的解解：非齐次方程

x

(t)

Ax(t)

Βu(t)

可改写为：x

(t)

Ax(t)

Βu(t)式(2.25)等式两边同左乘e

At ，得：e

At

[

x

(t)

Ax(t)]

e

At

Βu(t)由矩阵指数函数的性质，可将上式改写为：对式(2.27)在区间[t0,t]上进行积分：dtd[e

Atx(t)]

e

AtΒu(t)000t0

t

tte

A

Βu(

)d

te

A

x(

)

t

e

A

Βu(

)d

，即：e

At

x(t)

e

At0

x(t

)

第2章

线性系统状态方程的解等式两边同左乘

e

At

，整理得：即：利用定积分的积分换元法，也可写为：00 0t

tx(t)

Φ(t

t)x(t

)

Φ(

)Βu(t

)d

00t

tx(t)

eA(t

t0)x(t

)

eA(t

)Βu(

)d

0tx(t)

Φ(t

t0

)

x(t0

)

t

Φ(t

)Βu(

)d

(2.29a)(2.29b)00一般情况下，初始时刻t0=0，x(0)=x0则线性定常非齐次状态方程的解为：tt

)d

x(t)

Φ(t)x(0)

Φ(t

)Βu(x(t)

Φ(t)

x(0)

Φ(

)Βu(t

)d

(2.30)第2章

线性系统状态方程的解显而易见，其解由两部分组成：等式右边第一项为由系统初始状态引起的自由运动项，等式右边第二项为系统在输入信号作用下的受迫运动项。而正是由于受迫运动项的存在，我们才有可能通过选择不同的输入信号来达到期望的状态变化规律。00

ttx(t)

eA(t

t0)x(t

)

eA(t

)Βu(

)d

第2章

线性系统状态方程的解同时，在初始时刻t0=0的情况下，也可以采用拉普拉斯变换法对非齐次状态方程进行求解。解：

t0=0

时，对式(2.24)两边取拉普拉斯变换：sx(s)

x0

Ax(s)

Bu

s

[sI

A]x(s)

x0等式两边同左乘[sI

A]

1

：x(s)

[sI

A]

1

x

[sI

A]

1

Bu

s

0取拉氏反变换：Bu

s

x(t)

L

1[(sI

A)

1]x(0)

L

1[(sI

A)

1Bu(s)]第2章

线性系统状态方程的解同时，在初始时刻t0=0的情况下，也可以采用拉普拉斯变换法对非齐次状态方程进行求解。解：

t0=0

时，对式(2.24)两边取拉普拉斯变换：sx(s)

x0

Ax(s)

Bu

s

[sI

A]x(s)

x0等式两边同左乘[sI

A]

1

：x(s)

[sI

A]

1

x

[sI

A]

1

Bu

s

0取拉氏反变换：Bu

s

0t

eAt

A(t

)x(t)

L

1[(sI

A)

1]x(0)

L

1[(sI

A)

1Bu(s)]e Bu(

)d

第2章

线性系统状态方程的解位阶跃函数、单位斜坡函数作用下的解。解：（1）由【例2-2】得系统的状态转移矩阵为：（2）求不同激励信号下系统的解：0

T【例2-8】求初始状态时

x(0)

1 ，状态方程在下述单位脉冲函数、单

1

1

3

1

x

0

ux

3e

2t

e

4t

e

2t

e

4t

e

At

1

e

2t

e

4t2

e

2t

e

4t第2章

线性系统状态方程的解I：单位脉冲函数则系统状态方程的解为：00

(t)dt

1

0,t

0单位脉冲函数

(t)

可表示为：

(t)

,

t

0

0t0

x(t)

Φ(t)

x(0)

Φ(t

)Βu(

)d

Φ(t)

x(0)

0

Φ(

)Βu(t

)d

Φ(t)

x(0)

Φ(t)Βx(t)

Φ(t)x(0)

Φ(t)Β

1

e

2t

e

4t e

2t

e

4t

1

1

e

2t

e

4t e

2t

e

4t

0

12e

2t

4t

2t

4t

2t

4t

2t

4t

2t

e

e e

e 0 2

e

e e

e

e

2t

第2章

线性系统状态方程的解I

I

：单位阶跃函数单位脉冲函数 可表示为：则系统状态方程的解为：u(t)001,t

0,t

0,t

0

tu(t)dt

1dt

t

u(t)dt

0

u(t)

0

00tt

x(t)

Φ(t)

x(0)

Φ(t

)

Βu(

)d

Φ(t)

x(0)

Φ(t

)

Βd

Φ(t)

x(0)

A

1

I

Φ(t)

Βx(t)

Φ(t)x(0)

A

1

I

Φ(t)

Β

11

0

3

1

288

2t

4t

2t

4t

2t

4t

2t

4t

2t

4t1

e

e2e

2t

e

4t

1

3

1e

e e

e

I

Φ(t)

0

1

e

2t

e

4t

1

2e

2t

e

4t

1

e

e 2e

e

3

1

2e

2t

5e

4t

1

2e

2t

5e

4t

3

第2章

线性系统状态方程的解I

I

I

：单位斜坡函数则系统状态方程的解为：020012tt

t

u(t)dt

0单位脉冲函数

(t)

可表示为：u(t)

t,

t

0

,

0,t

0

u(t)dt

tdt

00t

)d

t

x(t)

Φ(t)

x(0)

Φ(t

)Βu(

Φ(t)

x(0)

Φ(t

)Β

d

Φ(t)

x(0)

A

2Φ(t)

A

2

A

1t

Βx(t)

Φ(t)

x(0)

A

2Φ(t)

A

2

A

1t

Β23232

2t

4t

2t

4t1

e

2t

e

4t

1

16e

2t

4e

4t

4t

3

e

e

16e

e

12t

5

1

32e

2t

12e

4t

4t

3

32e

2t

12e

4t

12t

5

第2章

线性系统状态方程的解2.3离散时间系统状态方程的解与连续系统相似，线性定常离散时间系统状态方程一般可用式(2.54)表示：离散时间系统状态方程有两种解法：迭代法和Z变换法。迭代法也称递推法，它对定常系统和时变系统都是适用的；Z变换法则只能适用于求解定常系统。k

k0 0

x(k

)

x(k

)

x(k

1)

Gx(k

)

Hu(k

)k

0,1,

2,

3,

(2.54)第2章

线性系统状态方程的解2.3.1

迭代法求解线性离散系统状态方程或：即：(2.57)k

1j

01.若线性定常离散系统状态方程如式(2.54)所示，其解可以表示为：x(k)

Gk

x(0)

Gk

j

1Hu(

j)x(k)

Gk

x(0)

Gk

1Hu(0)

GHu(k

2)

Hu(k

1)k

1x(k

)

Gk

x(0)

G

j

Hu(k

j

1)j

0第2章

线性系统状态方程的解证明：利用迭代法解差分方程式(2.54)：k

0,x(1)

Gx(0)

Hu(0)k

1,

x(2)

Gx(1)

Hu(1)

G[Gx(0)

Hu(0)]

Hu(1)

G2

x(0)

GHu(0)

Hu(1)k

2,

x(3)

Gx(2)

Hu(2)

G[G2

x(0)

GHu(0)

Hu(1)]

Hu(2)

G3

x(0)

G2

Hu(0)

GHu(1)

Hu(2)

k

k

1,

x(k)

Gx(k

1)

Hu(k

1)

Gk

x(0)

Gk

1Hu(0)

GHu(k

2)

Hu(k

1)写成通式的形式，即得到式(2.56).第2章

线性系统状态方程的解分析线性定常离散系统状态方程解的形式，我们可以发现：离散状态方程的求解公式和连续状态方程的求解公式在形式上是类似的。它也是由两部分响应构成：即由初始状态所引起的自由响应(零输入响应)和由输入信号所引起的受迫响应(零状态响应).类似于连续系统，Gk或Gk-k0也可以看作是线性定常离散系统状态方程的状态转移矩阵，记为

Φ(k

)或Φ(k

k0

)，即：Φ(k)

Gk

,Φ(k

k

)

Gk

k00它与线性定常连续系统状态转移矩阵(矩阵指数)有着相似的运算性质。(3) 离散系统状态转移矩阵Gk或Gk-k0的求解方法也与连续系统相似，可以利用直接迭代法、

反变换法、利用特征值标准型及相似变换计算及化为有限项多项式计算4种方法进行计算。第2章

线性系统状态方程的解其证明方法与定常系统类似，进行迭代法求解即可得到线性时变常离散系统状态方程的通解式(2.60)

。k

12.

线性时变离散系统状态方程的其解可以表示为：x(k

)

Φ(k,

0)

x(0)

Φ(

j,

k

1)

H(

j)

u(

j)j

0k

1k

1Φ(k,

h)

G(i)

G(k

1)G(k

2)

G(h

1)G(h) k

hi

hΦ(k,

k

)

G(i)

Ii

k(2.60)第2章

线性系统状态方程的解(2.61)x(k)

Z

1[(zI

G)

1

zx(0)]

Z

1[(zI

G)

1

Hu(z)]k

0

其解可以表示为：

x(k)

x(0)2.3.2

Z反变换法求解线性离散系统状态方程反变换法仅适用与线性定常离散时间系统。若线性定常离散系统状态方程如式所示：

x(k

1)

Gx(k)

Hu(k)

,

k

0,1,

2,

3,

第2章

线性系统状态方程的解证明：对等式两边进行Z变换：zx(z)

zx(0)

Gx(z)

Hu(z)

(zI

G)

x(z)

zx(0)

Hu(z)故：x(z)

(zI

G)

1

zx(0)

(zI

G)

1

Hu(z)j

0等式两边进行

反变换，即有：x(k)

Z

1[(zI

G)

1

zx(0)]

Z

1[(zI

G)

1

Hu(z)]对比迭代法求解，可得：G

k

x

0

Φ(k)

x

0

Z

1

(

zI

G)

1z

x

0

k

1

G

k

j

1Hu(

j)

Z

1

(zI

G)

1

Hu(z)

第2章

线性系统状态方程的解【例2-11】已知线性定常离散系统状态方程为:分别使用直接迭代法、

反变换法、特征值标准型及相似变换计算法、有限项多项式计算法计算状态转移矩阵

；当u(k)为单位阶跃序列时，求状态方程的解0

1

1

0.2

0.9

0 1

0

x(k

1)

x(k

)

u

(k

)

1

x(k)

x(0)

第2章

线性系统状态方程的解解：(1)

求解状态转移矩阵1)直接迭代法：由直接迭代法可求出各个采样时刻的解，但得不到其封闭形式的解析式，即：01

k

0.2

0.9

Φ(k)

G

k

0 1

0.9

0.180.61

0.2

0.9

0.122

0.369

Φ(1)

G1

,

Φ(2)

G2

0.2Φ(3)

G3

0.180.61

,

第2章

线性系统状态方程的解2) Z反变换法：Φ(k)

Z

1[(zI

G)

1

z]

1

z

11

0.2(zI

G)

1

5410 10

z

0.9

z

0.9

1

(z

0.5)(z

0.4)

0.2z

z

0.5 z

0.4 z

0.5

2

z

0.4

2

4 5

z

0.4 z

0.5 z

0.4 z

0.5

5(

0.4)k

4(

0.5)k 10(

0.4)k

10(

0.5)k

2(

0.4)k

2(

0.5)k

4(

0.4)k

5(

0.5)k

Φ(k)

Z1[(zI

G)

1z]

第2章

线性系统状态方程的解3) 特征值标准型及相似变换计算法计算矩阵G的特征值：

I

G

0,

1

0.4,

2

0.5G为友矩阵，故其变换矩阵为：1

1 1101110k

0.4

1 2

P

1

0.5

4

10

0.4 00

0.5

,

P

1

5,

P

1GP

Λ

k

5

10

0.41

0.4 0

0.5

0

0.5

4

10

(

0.4)k

0.4

0.5

0(

0.5)

Φ(k)

PΛkP

1

kk

5 10

4

10

10(

0.4)k

10(

0.5)k

2(

0.4)

5(

0.4)k

4(

0.5)k

2(

0.5)k

4(

0.4)k

5(

0.5)

第2章

线性系统状态方程的解4) 有限项多项式计算法：1kkk

5(

0.4)k

4(

0.5)k

5

4

(

0.4)k

1

k

1

0.4

(

0.4)k

1

1

0

1

1

0.5

1

2

1

(

0.5)k

2

10

10(

0.5)

10(

0.4)k

10(

0.5)Gk

(k)I

(k)G0 1kk1

(5(-0.4)k-4(-0.5)k)

10

(10(-0.4)k-10(-0.5)k)

0

0 1

-0.2-0.9

10(-0.4)k-10(-0.5)k

5(-0.4)k-

4(-0.5)k

-2(-0.4)

2(-0.5)k-4(-0.4)k

5(-0.5)

第2章

线性系统状态方程的解(2)

当u(k)为单位阶跃序列时，求状态方程的解：u(k)

1(k),故u(z)

z

1z

1

1

110

z 46

z 29z

7

3

21

z

0.4 z

0.5 z

1

7

3

21

z

0.4 z

0.5 z

1

44

z

23

z 8z

x(z)

(zI

G) zx(0)

(zI

G) Hu(z)

7 3233821

110

(

0.4)k

46

(

0.5)k

29

21

44

(

0.4)k

(

0.5)k

7

x(k)

Z

1[

x(z)]

第2章

线性系统状态方程的解2.4连续状态方程的离散化离散系统的工作状态可以分为以下两种情况：整个系统工作于单一的离散状态对于这种系统，其状态变量、输入变量和输出变量全是离散量，如现在的全数字化设备、计算机集成制造系统等。系统工作在连续和离散两种状态的混合状态在这种系统中，状态变量、输入变量和输出变量既有连续时间型的模拟量，又有离散时间型的离散量，如连续被控对象的采样控制系统就属于这种情况。对于第二种情况的系统，则是我们本节重点讨论的对象第2章

线性系统状态方程的解2.4.1线性定常连续状态方程的离散化为了将上述连续系统离散化，需在系统的输入、输出端加入理想采样器，且为了使采样后的输入控制量

还原为原来的连续信号，还需在输入信号采样器后加入保持器，如图2-2所示。图2-2

线性连续系统的离散化

x

=Ax

Bu

y

=

Cx

Du(2.63)第2章

线性系统状态方程的解若连续系统离散化时满足以下条件：离散化按等采样周期T采样处理，采样时刻为kT

,k=0,1,2，···

；采样脉冲为理想采样脉冲。保持器为零阶保持器，即输入向量u(t)

u(kT

)，kT

t

(k

1)T采样周期的选择满足香农（shannon）采样定理。。第2章

线性系统状态方程的解则连续系统离散化之后，得到的离散时间状态空间表达式为：式中：C和D则仍与式(2.63)中的一样。

x[(k

1)T

]

G(T

)

x(kT

)

H

(T

)u(kT

)

y(kT

)

Cx(kT

)

Du(kT

)

0T

ATAtG

T

e，H

T

e

Bdt(2.64)第2章

线性系统状态方程的解证明：输出方程是状态矢量和控制矢量的某种线性组合，离散化之后，组合关系并不改变，

故C和D不变。连续定常系统状态方程的解为：这里只考察从t0=kT到t=(k+1)T这一段的响应，并考虑到在这一段时间间隔内u(t)=u(kT)=常数，从而有：应用积分换元法00

ttx(t)

eA(t

t0)x(t

)

eA(t

)Βu(

)d

kT(k

1)TeA[(k

1)T

]Βd

]u(kT

)

Atx[(k

1)t]

e x(kT

)

[比较两式，可得：

kTe(k

1)T1)T

]

ATA[(k

G

T

eBd

，H

T

0T

AtH T

e Bdtt

(k

1)T

，有：第2章

线性系统状态方程的解故：1

x

(t

)

0

1

2

1

【例2-12】已知线性定常连续系统状态方程如下，求其离散化方程。

x

1

(t)

0 1

x1

(t

)

0

u

x

(t

)

etet

s]

1

1

L

1[

1

1

0 s

1

0

解：由于：

eAt

L

1[(sI

A)

1

]

0TeTeteteT

1

1

0

eT

T

1

eT

T

1

1

0

dt

10

0

1

AtG

T

eAtt

T

H

T

e Bdt

第2章

线性系统状态方程的解离散化后的系统状态方程为：120

1eTeTeT

x1

(k

1)T

eT

T

1

1

1

x

(kT

)

x2

(kT

)

x

(k

1)T

u(kT

)

第2章

线性系统状态方程的解【例2-13】

已知系统如图2-3所示。图2-3

系统方框图试求：（1）系统离散化的状态空间表达式；（2）当采样周期T=0.1时，输入为单位阶跃函数，且初始状态为零时的离散输出y(kT)

。第2章

线性系统状态方程的解解：(1)

连续被控对象的传递函数为：连续被控对象的状态空间表达式为：G

s

1s(s

2)

0

1

2

可求得状态转移矩阵为：1

x

0

u

y

1 0

x

0x

2 2e

2t

11

1e

2t

0

eAt

第2章

线性系统状态方程的解由结构图可知，连续被控对象的输入是零阶保持器的输出，则：故连续被控对象的离散化状态空间表达式为：01 11 12 2

2Te

2T2 212e

2t4e

2T

1

T

1

e

2T

1

12

0T

1

eATG(T)

e