常微分方程试题库

常微分方程

一、填空题

1.微分方程的阶数是

答:1

2.若和在矩形区域内是的连续函数，且有连续的一阶偏导数,则方程有只与有

关的积分因子的充要条件是_________________________

答：

3.称为齐次方程.

答：形如的方程

4.如果，则存在唯一的解，

定义于区间上,连续且满足初始条件，其中

h=.

答：在上连续且关于满足利普希兹条件

5.对于任意的，(为某一矩形区域)，若存在常数使,

则称在上关于满足利普希兹条件.

答：

6.方程定义在矩形区域：上，则经过点的解的存在区间是

她口.•

7.若是齐次线性方程的个解，为其伏朗斯基行列式，则满足一阶线性方程

答：

8.若为齐次线性方程的一个基本解组，为非齐次线性方程的一个特解，则非齐次线性

方程的所有解可表为_____________________

答：

9.若为毕卡逼近序列的极限，则有

答：网;加

(〃+1)!

10.称为黎卡提方程，若它有一个特解，则经过变换

___________________,可化为伯努利方程.

答：形如的方程

11.一个不可延展解的存在区间一定是区间.

答：开

12.方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是

答：，（或不含x轴的上半平面）

13.方程的所有常数解是

答：y=k兀,攵=0,±1,±2,…

14.函数组在区间I上线性无关的条件是它们的朗斯基行列式在区

间I上不恒等于零.

答：充分

15.二阶线性齐次微分方程的两个解为方程的基本解组充分必要条件是

答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）

16.方程的基本解组是

答：er,xe'

17.若在上连续，则方程的任一非零解与轴相交.

答：不能

18.在方程中，如果，在上连续，那么它的任一非零解在平面上

与轴相切.

答：不能

19.若是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们共同零点.

答：没有

20.方程的常数解是

答：＞=±1

21.向量函数组在其定义区间上线性相关的条件是它们的朗斯基行

列式，.

答：必要

22.方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是

答：平面

23.方程所有常数解足

答：y=±],x=±\

24.方程的基本解组是

答：sin2x,cos2x

25.一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线.

答：2

二、单项选择题

1.阶线性齐次微分方程基木解组中解的个数恰好是（A）个.

（A）n（B）n~\（C）〃+1（D）n+2

2.如果，都在平面上连续，那么方程的任一解的存在区间（D）.

（A）必为（-8,+8）（B）必为（0,+8）

（C）必为（-8,0）（D）将因解而定

3.方程满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（D）.

（A）上半平面（B）xoy平面

（C）下半平面（D）除y轴外的全平面

4.一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（C）.

（A）不是其对应齐次微分方程组的解（B）是非齐次微分方程组的解

（C）是其对应齐次微分方程组的解（D）是非齐次微分方程组的通解

5.方程过点共有..）个解.

（A）一（B）无数（C）两（D）三

6.方程..）奇解.

（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个

7.阶线性齐次方程的所有解构成一个（A）线性空间.

（A）〃维（B）〃+1维（C）〃一1维（D）〃+2维

8.方程过点（A）.

（A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解），=0（D）只有两个解

9.连续是保证对满足李普希兹条件的..）条件.

（A）充分（H）充分必要（C）必要（D）必要非充分

解：a=dx

y-

两边积分=x+c

y

所以方程的通解为y=—

x+c

_1

故过），⑴=1的解为），=——

x-2

通过点的解向左可以延拓到，但向右只能延拓到2,

所以解的存在区间为（-8,2）

4.求方程的奇解

解：利用〃判别曲线得

,p2+y2_i=o消去得2=1即]

2/7=（）

所以方程的通解为y=sin（x+c）,所以），=±1是方程的奇解

X

5.(cosx+—)dx+(------)dy=0

yy厂

解：等•=-)产，”=一尸,萼=半，所以方程是恰当方程.

dyoxdydx

du1

--=COSXH---

y得u=sinx+—+^(y)

dv1xv

ayyy2

M=5-2」°（y）所以以），）=吨

故原方程的解为sinx+—+ln|j|=c

y

6.y+y-2ysinx=cosx-sinx

解：y=~y2+2ysin.v+cosx-sin2x故方程为黎卡提方程.它的一个特解为

(]rI

y=sinx，令y=z+sinx,则方程可化为一=-z2,z=------

dxx+c

即j?-sinx=---,故y=sinx+—!—

x+cx+c

7.(2A>?2)dx+(J-3xy2)dy=0

解：两边同除以)，2得

7

2xdx-3ydx+—dy-3xdy=0

y

7

dx2-d3xy-J—=0

y

所以x2-3xy--=c,另外y=0也是方程的解

y

8,电=2

dr1+r

解当时，分离变量得

)

—d’=----x---d.x

y\+x2

等式两端积分得

ln|y|=—ln(l+x2)+ln|C|

即通解为

y=cJl+-2

9.—+3y=e2x

cU-

解齐次方程的通解为

)，=Ce"

令非齐次方程的特解为

y=C(x)c~3x

代入原方程，确定出

原方程的通解为

V=Ce-3x+-e2v

5

10.

解方程两端同乘以，得

•包=尸+”

•心•

令，则，代入上式，得

1dz

-------Z=X

4ch

通解为

z=Ce-4j-x+—

4

原方程通解为

y~4=Ce4x-x+-

-4

11.

解因为，所以原方程是全微分方程.

取，原方程的通积分为

3也-卜dy=C

即x2y--y3=C

3

12.

解：当，时，分离变量取不定积分，得

[•工

通积分为

JyinyJ

Iny=Ce"

13.y/+(/)2+3x2=0

解原方程可化为

(W+f)'=o

于是y—+J2=C(

dx

积分得通积分为

2

~y=ex-；/+c2

解：令，则，代入原方程，得

X—d"=yAjl-u2

dx

分离变量，取不定积分，得

通积分为：

15.

解令，则，代入原方程，得

当时，分离变量，再积分，得

修心味I

JtanuJA

ln|sinw|=1H|A)+ln|C|

即通积分为：

16.

解：齐次方程的通解为

y=Cx

令非齐次方程的特解为

y=C(x)x

代入原方程，确定出

原方程的通解为

y=Cr+Aln|A|

17.

解积分因子为

4(幻=二

x~

原方程的通积分为

J；eT)&r+J；d)，=G

即e、+±=C,C=e+C,

x

18.y/+(/)2=0

解：原方程为恰当导数方程，可改写为

即

W=G

分离变量得

jdy=Qdv

积分得通积分

19.

解令，则原方程的参数形式为

1,

X=—+111p

<P

y=P

由基本关系式，有

dy=y'dx=p•(——-+—)dp

P~P

=(i--Xlp

P

积分得y=p-]np+C

得原方程参数形式通解为

1,

x=—+Inp

P

y=p-lnp+C

20.y/+y/2+2x=0

解原方程可化为

(W+/y=o

于是y—+x:=C

d.r]

积分得通积分为

1,1,

5)，=Clx--x+c2

21.

解：由于，所以原方程是全微分方程.

取，原方程的通积分为

£(x3+xj2)dx+£y3dy=C,

即x4+2x2y2+/=C

四、计算题

1.求方程的通解.

解对应的齐次方程的特征方程为：

22-1=()

特征根为：

故齐次方程的通解为：

因为是单特征根.所以，设非齐次方程的特解为

y(x)=Avev

代入原方程，有，可解出.

xxv

故原方程的通解为y=C,e+C2e+1xe

2.求下列方程组的通解

解方程组的特征方程为

-2

|A-阳==0

4-2

即22-32+2=0

特征根为

4=1对应的解为

其中是对应的特征向量的分量，满足

可解得.

同样可算出对应的特征向量分量为

所以，原方程组的通解为

「X〕/.]_r2e2/'

3.求方程的通解.

解：方程的特征根为，

5x

齐次方程的通解为y=G+C2e

因为不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为

y(x)=Asin5x+Bcos5x

代入原方程，比较系数得

-25A+25B=1

\-25A-25B=0

确定出，

5v

原方程的通解为y=C]+C2e+-^(cos5x-sin5x)

4.求方程的通解.

解对应齐次方程的特征方程为，

特征根为，，

5

齐次方程的通解为y=Cl+C2e^

因为是特征根。所以，设非齐次方程的特解为

兄(x)=x(Ar2+Bx+C)

代入原方程，比较系数确定出

原方程的通解为

y=C.+Ge5'+—x3+—x2+—x

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五、证明题

1.在方程中，已知，在上连续，且.求证：对任意和，满足初值条件的解

的存在区间必为.

证明:由已知条件，该方程在整个平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件.

显然是方程的两个常数解.

任取初值，其中，.记过该点的解为，由上面分析可知，一方面可以向

平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过，下方不能穿过，否则与惟一性

矛盾.故该解的存在区间必为.

2.设和是方程的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式，其中为常数.

证明：如果y=6(x)和)，=心。)是二阶线性齐次方程

y"+P(x)y'+4(x)y=0

的解，那么由刘维尔公式有

W(x)=W(xje兀

现在，故有

W(x)=HQ。)/」黑=W(%)=C

3.在方程中，已知，在上连续.求证：该方程的任一非零解在平面上不能与x

轴相切.

证明:由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解

的存在区间都是.

显然，该方程有零解.

假设该方程的任一非零解在x轴上某点处与x轴相切，即有=0,那么由解的

惟一性及该方程有零解可知，这是因为零解也满足初值条件=0,于是由解的惟一

性，有.这与是非零解矛盾.

4.在方程中，在上连续，求证：若