测试技术习题例题

习题1求如图所示周期三角波的傅立口I•级数表达，并画出频谱图。

解：x(t)的一个周期可表达为:

2A

/4+——/一会大

(T1()

x(r)=<

。一色0<r4

常值分量:

余弦分量的幅值:

4A

n=l,3,5…

Cn27r2

4A.2〃乃<

n27r2sm~

0n=2,4,

正弦分量的幅值:

这样，该周期三角波的傅立叶级数展开式为:

A4AA4Asi

cos6V+-TCOS3卬+-4COS56V+…二万+羡Z/cos-V

35

A”%

g3g5gco

练习2求指数衰减振荡信号jc(r)=e-”sin。(/的频谱函数。

解一：

X(⑼=e~a,sin(o^e~iMdl

=-5-「/(…sin卬出

2兀Jo

singy

X(co)=-j-「["3眇加”/”]力

2川。

_L」]________________]

2〃2[(a+jco)+j①°(。+j①)~M.

J________]

2万(a+jco)2+就

解二:

1

oa+j27rf

x(“*b«±T)=x(r±r)

.喻of*躯岛房F-喜』

4.求指数衰减函数的频谱函数，（）。并定性画出信号及其频谱图形。

解：（1）求单边指数函数的傅里叶变换及频谱

y(/)=匚刈

1

=------

a+JQ)

a_____2rrf

77(2^7-777(2^)

|^(7)|=_J_=

J1+(沏2

（2）求余弦振荡信号zQ）=8Sg£的频谱.

2（7）=%5（/+人）+3（/-人）］

运用8函数的卷积特性，可求出信号X”）二的频谱为

X5=Y6Z<J)

二—^7•轴(/+而+5(/-创

a+j2nf2

=1f1I1

=5仁+百/+.))a+，(2</一

其幅值频谱为|X(/)1=.1--------

，/+侬(/土工行

jM

x(ficosco()te~dt

=—「x(t)-(ejM+e-jM)e~jMdt

27rL92

=铀”力+[；尤«)"八研5)'炊

=/[x(。-4)+X(①+①0)]

解二:

且x(t)*S(t±T)=x(t±T)

M『)cos2犹j=X(7)*b(/+/0)+5(/—/))]/2=X(/+./0)/2+X(/—£))/2

解三：根据信号的线性性好频移性，其频谱为:

/卜如］+.卜（。",如］=［«。一例））+（。+。）］

F[x(t)cos2^fjt]<=>Fx(r)=jggXX0

(}~T

1求周期方波的傅立叶级数（复指数函数形式），画出|c叶

解：（1）方波的时域描述为:

x«)=x(r+"o)

[A0<t<T/2

x(t)=\,0G/

[-A-TQ/2<t<0

。0=/珀2%(0<*=0

“会畸2HM…di

二卷1/2(-A)e-jnoj^dt+工妤"上—J"®。、”

To

—^―(1-cos"乃)(〃工0)

jnn

n=±2,±4,±6,•••

n=±1,±3,±5,•••

0〃=±2,±4,±6,・・・

九=1,3,5,…

nn

_丝//2n=-5,,・・

、n/c

(2)从而:

2.求正弦信号”⑺="osin次的绝对均值和均方根值小

27/22beI

解⑴=-l6Ivosin^|J/="卜inm"=U

⑵"rms=仁CsN功力=后"君匕£詈也力

例1:求正弦函数］（£）=玉sin（我+o）的自相关函数。

解•：（1）掌握自相关函数的定义，根据计算公式求解。

根据式（2.22）得

兄(7)=YJQ7X«)XQ+T)/

="[/sin(fl?£+G)sm(++w依

（2）为解积分，进行变量代换。

式中一是正弦函数的周期,

令带入上式，则得

sin6sin(6+却)de=券coscw

例2:求两个同频率的正弦函数x«)=%sm(&+O和尸(0=%的(&+夕-9)的

互相关函数以G)。

解：(1)掌握互相关函数的定义，写出其计算公式。

由于信号是周期函数，可以用一个共同周期内的立均值代替其整个历程的平均

值,故

%(吟=期』(武"必+"

1fr

--jQXQsin(at+6)为sm[o?(/+汇)+8-(p)dt

1,、

=-Wocos(o?r一(p)

乙

2.求Hi)的自相关函数.其中

"NO.a>0)

«<O)

解：瞬态信号的自相关函数表达为：

&(r),匚x(£)x(f+rM=「@尸@川.“业

=「『产f=_£产田俨=以…

人2a|O2a

例L.某一阶测量装置的传递函数为，若用它测量频率为0.5Hz、1Hz、2Hz

的正弦信号，试求其幅度误差。

解：(1)掌握一阶系统的频率响应函数。

力(w)二

J(wr)F

当T=0.04,w二2五f时

包”7---------r=

7(0.08^)+1

(2)掌握一阶系统幅度误差公式。

幅度误差二(1-A⑺)义100%

根据已知条件，有.：

於0.5HZ,AM=0.78%

/MHZ,力8%3.01%

42HZ,力=10.64%

2解：(1)求解串联系统的灵敏度。

xx=80X5x25=10(mmIMPa)

(2)求压力值。

V30

—S=—10=3(A/PEJ)

3.把灵敏度为的压电式力传感器与一台灵敏度调到的电荷放大港相接，

求其总灵敏度。若要将总灵敏度调到，电荷放大器的灵敏度应作如何调整?

解:

(l)s-404x10^x0.226-91304(mv/^j)

10x10*

⑵§.I0.247.5x10“加MFC)

404xlO-4

5.用一阶系统对100Hz的正旋信号进行测量时，假如规定振幅误差在10%以内，

时间常数应为多少？假如用该系统对50Hz的正旋信号进行测试时，则此时

的幅值误差和相位误差是多少？

解：(1)一阶系统幅频误差公式。

1-Z(w)L—<10%

J(wr)5

w=100

r=000077

幅值误差为:2.9%、相位差为:-67.540

例3-4.设有两个结构相同的二阶测后装置，其无阻尼自振频率相同，而阻尼比不同。一

个是0.1,另一个是0.65,假如允许的幅值测量误差是10%,问：它们的可用频率范围是多

少？

解：由

可知0.9K4(3)41.1

(1)求&⑼=1.1和4=0.1时的乌0'131’4—

(2)解此方程，得到两个正实数根:

求4（。）=1.1和*0.65时的—

%

2

/\22

CO+4x0.65,x“、

g，一

(4)此方程在实数范围内无解，即的频率响应曲线的极大值小于1.1。

(5)求当A(M=0.9,《=0.1时乌.

09=，­]:

+4x0.12xf—

(6)得：

(7)求当A(⑼=0.9,J=0.65时乌.

0.9=,1

+4x0.652x—)

(8)得一正实根：

工作频率范围：对，

对，

由此例可见，阻尼比显著影响二阶测量系统的可用频率范围。

当其可用频率范围由，扩大了1.68倍。

例3-3:求周期信号，通过传递函数为的装置后所得到的稳态响应。

解：输入信号为，此装置对所给输入信号x(t)有线性叠加性和频率保持性。

设：，即

,即

测试装置为一阶系统，。装置对该两频率信号分量的增益(幅值比)和相移分

别为：

冏(»|=4幼)=,1=0.999

71+(0.005x10)2

夕(幼)=-arctg}0x0.005=-2.86°

|//2(»|=4(。2)=/1=0.894

VI+(0.005x100)2

(p(a)i)=100x0.005=一26.5"

由叠加性和频率保持性，测试装置对输入x(t)的稳态响应y(t)为：

=0.499cos(10r-2.86°)+0.179cos(100r-71.5°)

例3-1设有一阶环节其时间常数，输入一简谐信号，问：输入信号频率为多少

时，其输出信号的幅值误差不大于6%?这时输出信号的滞后角是多少？

解：一阶环节：

允许幅值误差：

,/A(co)<1A(co)>0.94c=0.Is

代入上式，得

解之a><3.63rad/s

（p（co）=-arctgrco=-arctgO.1x3.63=-19.95°

从此例可看出，给定一个测量装置，若其时间常数相应拟定，这时若再规定一

个允许的幅值误差，则允许它测量的最高信号频率也相应拟定。既为可用频率

范围。当被测信号频率在此范围内时，幅值测量误差小于允许值。上例中，可用频率

范围是：。

例2.设另有一个一阶环节，其时间常数。设输入信号的频率。问此情况下

解：

（p{co）=-arctgcar=-arctg0.2x3.63=-36°

将例1和例2比较可看出，由于时间常数由0.1s加大到0.2s,幅值衰减率由6舟

加大到而滞后角则由，。一阶环节事实上是一个低通滤波器。

它只允许低频信号通过，高频则剧烈衰减。

4.用一时间常数为2s的温度计测量炉温时，当炉温在200C—400℃之间，以

150s为周期，按正弦规律变化时，温度计输出的变化范围是多少？

解：（1）己知条件。

x（O=Asinwf=asin口

T

InIn

H»=——=---

T150

（2）温度计为一阶系统，其幅频特性为

A⑷====0.997

(3)输入为200℃、400℃时，其输出为:

y=A(w)X200=199.4(℃)y=A(w)X400=398.8(℃)

例3-5.设有一力传感器，可视为二阶系统来解决，已知传感器的固有频率为1000Hz,阻

尼比，用传感器测量频率为500Hz的正弦外力时，会产生多大的振幅误差和相位误差？

解:

=1.18

+4x0.42x—

3

A((y)-A(0)

xlOO%

40)

=|A(<p)-l|x100%

=(I.18-l)xl()()%=18%

①

24

(p((o)=-arctg

1-

2x0.4x().5

=-arctg-----------

1-0.52

即输出相位将延迟28・

1.以阻值，灵敏度S=2的电阻丝应变片与阻值为的固定电阻组成电

桥，供桥电压为2V,并假定负载为无穷大，当应变片的应变为2u£和2023口

£是，分别求出单臂、双臂电桥的输出电压，并比较两种情况下的灵敏度。

解：(1)对于电阻型应变片来说，

当应变片的应变为时：

单臂电桥的输出电压为：

ARS«2〃2x2x10"i八八

UTT,=UTT0=4U©=4x3