常见统计分布及其特点

【附录一】常见分布汇总

一、二项分布

二项分布（BinomialDistribution）,即重复n次的伯努利试验

（BernoulliExperiment）,用§表示随机试验的结果，假如事务发生的

概率是P,则不发生的概率q=l-p,N次独立重复试验中发生K次的概率

是。

Hx=上）=0加（1一"）2=6（匕刃，”）

（尢=0,1,•।n）,

二、泊松poisson分布

1、概念

当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其

中人为np。通常当nM10,pW0.1时，就可以用泊松公式近似得计算。

2、特点——期望和方差均为人。

3、应用（固定速率出现的事物。）——在实际事例中，当一个随机事务,

例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客，以固定的平均

瞬时速率A（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事务在单位时间

(面积或体积)内出现的次数或个数就近似地听从泊松分布

三、匀称分布uniform

设连续型随机变量X的分布函数F(x)=(x-a)/(b-a),a<x<b

则称随机变量X听从[a,b]上的匀称分布，记为X-U[a,b]o

四、指数分布ExponentialDistribution

1、概念

犷x>0

/(x)=,

0x<0

mu=3mu=5mu=10

2、特点——无记忆性

(1)这种分布表现为均值越小，分布偏斜的越厉害。

E[X]=1D[X]=(

(2)无记忆性

当s,t>0时有P(T>s+t|T>t)=P(T>s)即，假如T是某一元件的寿命，

已知元件运用了t小时，它总共运用至少s+t小时的条件概率，与从起先

运用时算起它运用至少s小时的概率相等。

3、应用

在电子元器件的牢靠性探讨中，通常用于描述对发生的缺陷数或系统故障

数的测量结果

五、正态分布Normaldistribution

1、概念

2、中心极限定理与正态分布（说明白正态分布的广泛存在，是统计分

析的基础）

中心极限定理：设从均值为口、方差为。八2;（有限）的随意一个总体中抽

取样本量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似听从均值

为口、方差为。八2/n的正态分布。

3、特点——在总体的随机抽样中广泛存在。

4、应用——正态分布是假设检验以与极大似然估计法ML的理论基础

定理一：设XI,X2,X3.ooXn是来自正态总体N（582）的样本，

则有

样本均值X~N（M,52/n）——总体方差经常未知，用t分布较多

六、x2卡方分布（与方差有关）chi-squaredistribution

1、概念

若n个相互独立的随机变量红、6、……、§n,均听从标准正态

分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个听从标准正态分布的

Q二日

随机变量的平方和;一1构成一新的随机变量，其分布规律称为卡

方分布（chi-squaredistribution）,其中参数n称为自由度

【留意】假设随机干扰项呈正态分布。因此，卡方分布可以和RSS残差

平方和联系起来。用RSS/62,所得的变量就是标准正态分布，就听从卡

方分布。

(0,otherwise

2、卡方分布的特点

(1)/分布的均值为自由度n,记为E*)=n。(这个简单证明)

2

(2)/分布的方差为2倍的自由度(2n),记为D(r)=2no

(3)假如/.),公(⑸相互独立，则：(独立可加减)

—仍)+9(⑸听从f分布,自由度一+”;

听从/分布，自由度为叭-火

3、图形特点

4、应用

定理二，设XI,X2,X3.ooXn是来自正态总体N(由82)的样

本，则有

样本均值X~N(M,52/n)

纪臣〜x2(nj)

o~

(1)正态分布以与卡方分布是F检验的基础。大量的检验用到了F检

验：F检验、二大检验。

七、t学生分布（用样本方差s来标准化）----Student'st-distribution

1、概念（适用于62未知）

【理解】把样本标准正态化的U变换前提是方差已知，但总体方差是

未知的，所以用样本方差来代替总体方差。依据中心极限定理，抽样听从

方差为总体方差除以n的正态分布。

由于在实际工作中，往往。是未知的，常用s作为。的估计值，为了与u

变换区分，称为t变换，统计量t值的分布称为t分布（u变换指把变量

转换为标准正态分布）

【思索】为什么样本方差比总体方差要小？因为一个是总体方差，一

个是样本均值的方差。不同

2、特点

1）与标准正态分布曲线相比，自由度v越小，t分布曲线愈平坦，曲

线中间愈低，曲线双侧尾部翘得愈高；自由度v愈大，t分布曲线愈接近

正态分布曲线，当自由度v=8时，t分布曲线为标准正态分布曲线。

定理三：设XI,X2,X3.ooXn是来自正态总体N（p,82）的样

本,则有

样本均值X~N（M,52/n）,S为样本方差

X-H/、

----~t（n-1）

S/Jn【留意】S是样本方差。中心极限定理说的是样

本均值的方差。

八、F分布F-distribution

1、概念

F分布定义为：设X、Y为两个独立的随机变量，X听从自由度为kl

的卡方分布，Y听从自由度为k2的卡方分布，这2个独立的卡方分布被

各自的自由度除以后的比率这一统计量的分布

2、特点

(1)它是一种非对称分布；

(2)它有两个自由度，即nl-l和n2-l,相应的分布记为F(nl

-1,n2-l),nl通常称为分子自由度，n2-l通常称为分母自由

度；

(3)F分布是一个以自由度(川-1)和为参数的分布族，不

同的自由度确定了F分布的形态。

„1

dfx，df2，a=

(4)F分布的倒数性质:dft,dfi.1—n

(5)残差平方和之比通常与F分布有关。

九、逻辑分布logistic(分类评定模型)一一最早应用最广的离散选择模

型

1、概念

1-尸⑺

2、特点

用作增长曲线并为二进制响应建模。在生物统计和经济领域运用。

Logistic分布由尺度和位置参数描述。Logistic分布没有形态参数，也就

是说其概率密度函数只有一个形态。

下列图形显示了不同参数值对Logistic分布的效应。

尺度参数的效应位置参数的效应

Logistic分布的形态与正态分布的形态相像，但Logistic分布的尾部更

长。

十、伽马分布

1、概念----伽玛分布(GammaDistribution)是统计学的一种连续

概率函数。Gamma分布中的参数a称为形态参数(shapeparameter),

B称为尺度参数(scaleparameter)。

假设随机变量X为等到第Q件事发生所需之等候时间，密度函数为

aiXx

f(xfXta)=^—x~e~lx>0

Ha)

2

EX=aXrVar(x)=aA

特征函数为

伽马分布的可加性

当两随机变量听从Gamma分布，且单位时间内频率相同时，Gamma

数学表达式

若随机变量X具有