数学 平行四边形的判定第2课时课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第六章平行四边形第2课平行四边形的判定第2课时借助对角线关系的判定学习目标

1.通过动手作图、小组交流的探究活动,能准确表述平行四边形对角线的判定方法,理解判定方法的核心条件2.通过对平行四边形对角线的推理证明过程,能规范书写几何证明步骤,巩固“将四边形问题转化为三角形问题”的转化思想,发展逻辑推理能力；3.通过平行四边形对角线判定定理的例题与变式练习,能灵活选用对角线的判定方法解决简单的几何证明问题,并尝试探究角的关系和判定平行四边形的关系教学设计的基本环节协作破冰问题构建情境启航教师示范巩固拓展当堂检测反思总结作业设计情境启航

课前准备：直尺、圆规、量角器；知识回顾：平行四边形的定义与边的判定方法、平行四边形对角线和角的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定定理、四边形内角和定理上节课我们从边的角度学习了平行四边形的3种判定方法,谁能分别说说这3种方法？①定义法:两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形我们还学过平行四边形的对角线、角有什么性质平行四边形的对角线互相平分；平行四边形的两组对角分别相等问题构建

问题:我们能不能从对角线、角的角度,找到判定平行四边形的新方法？今天我们就来系统探究.问题1:我们知道平行四边形的对角线互相平分,反过来,要画以AB、AD为邻边的平行四边形,我们可以先确定对角线的交点,你知道平行四边形的对角线交点有什么特点吗？对角线的交点是两条对角线的中点追问1:要确定对角线的交点,我们首先要连接BD,找到BD的中点O,你能用尺规找到BD的中点吗？说说你的方法.作线段BD的垂直平分线追问2:根据“对角线互相平分”的特点,点O应该也是另一条对角线AC的中点,那么点C应该在什么位置？动手画一画,和小组说说你的画法步骤.问题构建

追问3:我们通过“对角线互相平分”画出了四边形,请你大胆猜想:对角线互相平分的四边形是平行四边形,这个命题是真命题吗？是追问4:要证明这个命题为真,我们首先要明确已知和求证,谁能结合图形，准确说出已知条件和求证结论？问题构建

已知:四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O,OA=OC,OB=OD.求证:四边形ABCD是平行四边形.追问5:我们已经学过3种平行四边形的判定方法,你打算用哪种方法完成证明？需要先证明什么结论？用“一组对边平行且相等”的判定方法最简便,需要先证明AD=CB且AD∥CB追问6:图中有对顶角,结合已知的OA=OC,OB=OD,你能证明哪两个三角形全等？你的全等判定依据是什么？能证明△AOD≌△COB,判定依据是SAS（OA=OC,∠AOD=∠COB,OD=OB）问题构建

追问7:三角形全等后,我们能得到哪些相等的边和角？这些结论能帮我们证明四边形是平行四边形吗？得到AD=CB,∠ADO=∠CBO；由∠ADO=∠CBO得AD∥CB,因此AD与CB平行且相等,可直接判定为平行四边形请你在练习本上规范写出这个命题的完整证明过程,同桌互相检查步骤的严谨性证明：∵OA=OC，OD=OB，∠AOD=∠COB，∴△AOD≌△COB（SAS）∴AD=CB，∠ADO=∠CBO∴AD∥CB∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）问题构建

追问8:由此我们得到了平行四边形的新判定方法,谁能用规范的几何语言总结？对应的几何符号语言该怎么书写？判定定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形符号语言:在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O，∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形问题2:我们已经从边、对角线的角度找到了平行四边形的判定方法,接下来从角的角度探究:平行四边形的两组对角分别相等,反过来,能不能用角的关系画出平行四边形？可以，让四边形的两组对角分别相等协作破冰追问1:如果我们让∠A=∠C,∠B=∠D,你能用直尺、圆规确定点C的位置吗？观察老师的作图方法.在点D处作一个角等于∠A，如图∠CDE=∠A；在点B处作一个角等于等于∠ADC，如图∠ABC=∠ADC.追问2:我们通过“两组对角分别相等”画出了四边形,请你大胆猜想:两组对角分别相等的四边形是平行四边形,这个命题是真命题吗？是追问3:要证明这个命题,谁能结合图形,准确说出已知条件和求证结论？已知：在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D求证：四边形ABCD是平行四边形.协作破冰追问4:请你规范写出这个命题的完整证明过程，小组内互相订正.证明：∵四边形内角和为360°∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°又∵∠A=∠C,∠B=∠D∴2∠A+2∠B=360°，即∠A+∠B=180°，∴AD∥BC同理可得∠A+∠D=180°，∴AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）追问5:由此我们得到了平行四边形的又一个判定方法，谁能用规范的几何语言总结？对应的几何符号语言该怎么书写？定义得出的推论:两组对角分别相等的四边形是平行四边形符号语言:在四边形ABCD中∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴四边形ABCD是平行四边形协作破冰如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O.请你结合给出的可选条件,完成以下探究任务,回顾平行四边形的五种判定方法.类别序号条件内容边的关系①AB∥CD边的关系②AD∥BC边的关系③AB=CD边的关系④AD=BC角的关系⑤∠DAB=∠BCD角的关系⑥∠ABC=∠ADC对角线的关系⑦OA=OC对角线的关系⑧OB=OD任务1基础探究:请你从上述8个条件中选择2个合适的条件，补全命题：在四边形ABCD中,若__________,则四边形ABCD是平行四边形要求：补全命题后,写出完整的证明过程；至少写出3种不同的条件组合,且对应不同的平行四边形判定方法协作破冰任务2进阶探究请你写出所有能判定四边形ABCD为平行四边形的2个条件的组合,并说明每种组合对应的平行四边形判定定理,梳理出平行四边形的5种判定方法所选条件组合对应平行四边形判定方法核心证明思路①+②方法1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形直接满足平行四边形的定义，可直接判定③+④方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形连接对角线，证三角形全等，推内错角相等得对边平行，用定义证明①+③（或②+④）方法3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形连接对角线，证三角形全等，推另一组对边相等/平行，用已有定理证明⑦+⑧方法4：对角线互相平分的四边形是平行四边形证对顶三角形全等，推一组对边平行且相等，用已有定理证明⑤+⑥方法5：两组对角分别相等的四边形是平行四边形利用四边形内角和360°，推同旁内角互补得对边平行，用定义证明类别序号条件内容边的关系①AB∥CD边的关系②AD∥BC边的关系③AB=CD边的关系④AD=BC角的关系⑤∠DAB=∠BCD角的关系⑥∠ABC=∠ADC对角线的关系⑦OA=OC对角线的关系⑧OB=OD教师示范任务3拓展辨析有同学选择了条件①和④，提出命题：“一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形”.你认为这个命题正确吗？若正确，请写出证明过程；若不正确，请举出反例并画图说明.该命题不正确,是经典的易错命题.反例：等腰梯形.等腰梯形的上下底互相平行（满足一组对边平行），两腰长度相等（满足另一组对边相等），但等腰梯形不是平行四边形.问题3:比较平行四边形的性质定理和判定定理，它们有怎样的关系？与同伴进行交流二者互为逆定理（互逆关系）：性质定理的题设与结论，和判定定理的题设与结论完全互换.巩固拓展例2已知:如图,E,F是▱ABCD对角线AC上的两点,且AE=CF.求证:四边形BFDE是平行四边形.证明:如图,连接BD,交AC于点O∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC,OB=OD（平行四边形的对角线互相平分）∵AE=CF∴OA−AE=OC−CF，即OE=OF∴四边形BFDE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）巩固拓展问题4:回顾平行四边形性质定理和判定定理的证明过程,你积累了哪些分析证明思路的经验？序号核心经验核心要点1转化思想连接对角线,将四边形问题转化为三角形全等问题解决2定理探究逻辑平行四边形性质与判定互为逆定理,可从性质逆向猜想判定3证明分析方法由已知推结论+由结论倒推条件双向结合4辅助线技巧核心辅助线为连接对角线,可集中条件、搭建边角关系桥梁5解题思维拓展可从边、角、对角线多角度选判定方法,一题多证深化理解当堂检测

对角线互相平分的四边形是平行四边形第1题图当堂检测

A.

两组对边分别平行的四边形是平行四边形B.

对角线互相平分的四边形是平行四边形C.

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D.

两组对边分别相等的四边形是平行四边形B当堂检测

当堂检测

反思总结1.本节课我们学习了哪几种通过对角线、角的关系判定平行四边