2026年广州中考数学二轮复习讲练测热点04 函数图象与数据拟合（热点专练）（解析版）

热点04函数图象与数据拟合

热点聚焦方法精讲能力突破

第一部分热点聚焦·析考情聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。

第二部分题型引领·讲方法归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。

题型01一次函数与数据的拟合

题型02反比例函数与数据的拟合

题型03二次函数与数据的拟合

第三部分能力突破·限时练精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。

近三年：根据近三年广州中考试题，“函数图象与数据拟合”部分的考试方向是突出数学建模与应用意识。

试题严格依据课标，高度关注从实际情境中提取数据、选择函数模型、拟合图象并解决实际问题的能力。

最典型的考查是2024年第23题，以“身高与脚长的近似函数关系”为背景，要求学生根据表格数据描点、

从一次函数和反比例函数中选择合适模型并求出解析式，进而进行预测应用。在题型上，该板块通常以解

答题形式在第21-23题位置出现，完整经历“数据呈现—模型选择—函数拟合—实际应用”的全过程。

预测2026年：2026年的考试方向将延续“素养立意”，更加注重在真实情境和跨学科背景下考查模型观

念。试题可能进一步创新数据来源，如结合物理实验、体质健康或本土经济数据设计问题。考试题型预计

保持稳定：解答题大概率继续以“数据分析+函数拟合”形式呈现，要求学生根据散点图选择合适的函数模

型（一次函数或反比例函数），求出解析式并用于预测，重在检验学生“发现问题、提出问题、分析问题、

解决问题”的完整思维链条。

题型01一次函数与数据的拟合

解｜题｜策｜略

1.读取数据确定变量：从表格或实际问题中准确读取自变量与因变量的对应值，明确两者之间的函数关

系。

2.待定系数求解析式：选取两组对应值代入一次函数解析式y=kx+b，通过解方程组求出k、b的值。

3.利用解析式预测：将所求解析式代入新的自变量，预测对应的函数值，或根据实际意义解释斜率和截

距的含义。

例1（2025·广东广州·一模）某食用油的沸点远高于水的沸点．小聪想用刻度不超过100C的温度计测算出

这种食用油沸点，在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油在特定条件下均匀加热，并每隔10s测量

一次锅中油温，得到的数据记录如下：

时间

010203040

t/s

油温

1030507090

y/C

(1)根据以上信息，判断油温y（单位：C）与加热的时间t（单位：s）可能是________函数关系（填写：“一

次”或“二次”或“正比例”或“反比例”），并求出y与t的函数解析式；

(2)当加热100s时，油沸腾了，求出此时的油温．

【答案】(1)一次；y2t10

(2)210C

【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用．能够通过表格确定自变量与因变量的变化关系是解题的关

键．

（1）根据表格中两个变量变化的对应值进行解答即可，并运用待定系数法求解即可；

（2）把t100代入函数关系式，求出函数值即可．

【详解】（1）解：由表格中两个变量对应值的变化规律可知，时间每增加10s，油的温度就升高20C，故

可知可能是一次函数关系；

设这个一次函数的解析式为yktb(k0)

当t0时，y10；当t10时，y30；

10b

3010kb

k2

b10

∴y关于t的函数解析式为y2t10；

（2）解：当t100时，y210010210C

答：当加热100s时，油沸腾了，此时的油温为210C．

2

例2（2025·广东广州·中考真题）如图，曲线G:y(x0)过点P(4,t)．

x

(1)求t的值；

(2)直线l:yxb也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l；

(3)在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都

是整数的点），求该格点在曲线G上的概率．

1

【答案】(1)t

2

(2)0,4.5，见详解

1

(3)

3

【分析】本题考查了概率公式，反比例函数的性质，一次函数的性质，画函数图象，正确掌握相关性质内

容是解题的关键．

21

（1）直接把P(4,t)代入y进行计算，得t；

x2

1

（2）先得出P(4,)，再代入直线l:yxb，求出yx4.5，即可求出l与y轴交点的坐标，再由两点

2

确定一条直线画出直线l的函数图象；

（3）先得出格点共有6个，分别是1,3,1,2,1,1,2,1,2,2,3,1,再分析得出格点1,2,2,1在曲线G上，

即有两个格点在曲线G上，最后运用概率公式列式计算，即可作答．

2

【详解】（1）解：∵曲线G:y(x0)过点P(4,t)．

x

21

∴t；

42

1

（2）解：由（1）得t，

2

1

故P(4,)，

2

∵直线l:yxb也经过点P，

11

∴把P(4,)代入yxb，得4b，

22

解得b4.5，

∴yx4.5；

令x0，则y04.54.5，

∴l与y轴交点的坐标为0,4.5；

直线l的函数图象，如图所示；

（3）解：依题意，在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）的格点共有6个，分别是

1,3,1,2,1,1,2,1,2,2,3,1，

2

∵曲线G:y(x0)，

x

则1332,122,1112,212,2242,3132，

∴格点1,2,2,1在曲线G上，即有两个格点在曲线G上，

21

即该格点在曲线G上的概率．

63

【变式1】（2025·广东广州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为1,0、点A2的坐标为2,0、

点A3的坐标为3,0、…，过点A1、A2、A3、…、分别作x轴垂线，交直线yx于点B1、B2、B3、…，OA1B1

覆盖的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数记为P1，面积的值记为S1；OA2B2覆盖的整点的个数记为

P2，面积的值记为S2；OA3B3覆盖的整点的个数记为P3，面积的值记为S3….

xx1

【参考公式：连续x个正整数和的计算公式：123x1x】

2

19

(1)由题意可知：P3、S；P6、S2；P10、S；则P、S；

1122233244

(2)P7S7；

(3)PnSn的值是否会等于2025？若能，请求出n的值，若不能，请说明理由.

【答案】(1)15；8

23

(2)

2

(3)PnSn的值不能等于2025．理由见解析

【分析】本题考查归纳推理的应用，坐标的变化规律，根据条件寻找规律是解决本题的关键．

n2n1n2

(1)根据点的变化规律得到S，P，由此进行解答；

n2n2

(2)根据变化规律计算出P7和S7的值，再进行解答即可；

(3)根据规律计算出n的值，即可得知结果．

12122329

【详解】（1）解：∵P1123，S，P21236，S2，P3123410，S==，

12222322

……

n11n1n1n2n2

∴根据规律发现P1234n1,S，

n22n2

42

∴P41234515，S8，

42

故答案为：15；8．

(71)(72)7249

（2）解：∵P736，S，

2722

4923

PS36，

7722

23

故答案为：．

2

（3）解：不能，理由如下：

n1n2n23n2

∵PS2025，

nn222

4048

n，

3

∵n不是整数，

∴PnSn的值不会等于2025．

【变式2】（2025·广东广州·一模）2025年央视春晚的人形机器人凭借其出色的表现迅速走红，成为观众热

议的焦点．机器人上舞台前需要进行测试，已知A,B两地相距s米，甲、乙两机器人从A地同时出发，沿同

一直线同向而行至B地．甲机器人前4秒钟以a米/秒的速度行进，之后速度提升为2a米/秒；乙机器人始终

以2米/秒的速度行进．经过6秒，两机器人同时到达B点．

(1)求A，B两地之间的距离s及a的值；

(2)分别写出前4秒和后2秒甲机器人的行程y（米）与时间x（秒）的函数解析式，并在图中画出其图象；

(3)求两机器人出发多长时间时相距1米？

【答案】(1)s的值为12，a的值为1.5

1.5x0x4

(2)y，图象见解析

3x64x6

(3)两机器人出发2秒或5秒时相距1米

【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．

（1）根据路程速度时间求出乙在6秒内的行程，即A，B两地之间的距离s的值，根据“甲机器人前4

秒钟的行程后2秒的行程A，B两地之间的距离”列关于a的方程并求解即可求得a的值；

（2）根据路程速度时间分别写出前4秒和后2秒甲机器人的行程y（米）与时间x（秒）的函数解析式，

并在图中画出其图象即可；

（3）根据路程速度时间写出乙机器人的行程y（米）与时间x（秒）的函数解析式，再根据图象、按照

x不同的取值范围列关于x的方程并求解即可．

【详解】（1）解：A，B两地之间的距离s2612（米），

根据题意，得4a2a6412，

解得a1.5，

∴A，B两地之间的距离s的值为12，a的值为1.5．

（2）解：前4秒时，y1.5x，

当x4时，y1.546，

则后2秒时，y621.5x43x6，

1.5x0x4

∴前4秒和后2秒甲机器人的行程y（米）与时间x（秒）的函数解析式为y，

3x64x6

其图象如图所示：

（3）解：乙机器人的行程y（米）与时间x（秒）的函数解析式为y2x0x6，

当0x4时，得2x1.5x1，

解得x2，

当4x6时，得2x3x61，

解得x5，

∴两机器人出发2秒或5秒时相距1米．

题型02反比例函数与数据的拟合

解｜题｜策｜略

1.确定函数模型：根据实际问题背景判断是否为反比例关系，常涉及物理（如压强与体积）、工程（工

作量一定）等情境。

2.待定系数求解析式：选取一组对应值代入设出的反比例函数解析式，求出k值，建立函数模型。

3.利用解析式预测：将所求解析式代入新的自变量或函数值，预测对应的另一变量，解决实际问题。

例1（2025·广东广州·二模）如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水

的情境，受桔槔的启发，某数学兴趣小组组装了以下装置，通过实验收集了大量数据，对数据的整理和分

析，发现L2的长度ycm和重物B的质量xN之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：

x/N…101620254050…

y/cm…8543.221.6…

(1)在图1中描出表中数据对应的点x,y；

k

(2)根据表中数据，从yaxba0和yk0中选择一个函数模型，使它能近似的反映重物B的质量

x

为xN和L2的长度为ycm的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）；

(3)在（2）的条件下，若点A的坐标为20,0，点B的坐标为0,2，在（2）中所求函数的图象上存在点C，

使得S△ABC40，请求出所有满足条件的点C的坐标．

【答案】(1)见解析

80

(2)y

x

(3)满足条件的点C的坐标为20,4或40,2

【分析】本题主要考查了反比例函数的实际运用，正确理解题意是解题的关键．

（1）在坐标系中描出表中数据对应的点即可；

kk80

（2）将10,8代入yk0得8，求出k80，得到函数的解析式为y；

x10x

80800

（3）设Ca,，连接BC,AC,OC，得到a2040，求出a120,a240，即可得到答案．

aa

【详解】（1）解：如图，

kk

（2）解：将10,8代入yk0得8，

x10

k80，

80

函数的解析式为y；

x

80

（3）解：点A的坐标为20,0，点B的坐标为0,2，C为反比例函数yx0上一点，

x

80

设Ca,，

a

如图，连接BC,AC,OC，

SABCSOBCSOACSOAB

11801

2a20202

22a2

800

a20，

a

S△ABC40，

800

a2040，

a

解得a120,a240，

经检验a120,a240是原方程的根，

80

当a20时，4，

20

C20,4，

80

当a40时，2，

40

C40,2，

综上所述，满足条件的点C的坐标为20,4或40,2．

例2（23-24八年级下·江苏连云港·期末）数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所

称重物调节可变电阻R的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻R

（单位：k）与物体质量m（单位：kg）之间的关系如图2所示，电流I（单位：mA）与可变电阻R之

6

间关系为IR0．

R3

6

(1)小组先探究函数IR0的图象与性质，并根据I与R之间关系得到如下表格：

R3

．．

Rk01234567

．

62．．

ImA21.51.2p0.750.6

73．

①表格中的p___________；

6

②请在图3中画出IR0对应的函数图象；

R3

(2)该小组综合图2和图3发现，I随着m的增大而___________；（填“增大”或“减小”）

(3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为0.2I0.4（单位：mA），判断该电子托盘秤能否称出质量

为2kg的物体的质量？请说明理由．

【答案】(1)①1；②见解析

(2)增大

(3)该电子托盘秤不能称出质量为2kg的物体的质量

【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键．

6

（1）①依据题意，将R3代入I中，进而计算可以得解；

R3

②依据题意，根据表格数据描点即可得解；

（2）依据题意，根据图象，可得R随着m的增大而减小，又I随R的增大而减小，进而可以判断得解；

24b

（3）依据题意，设Rkmb（k0，b为常数）将0,24，3,0代入，得，求出k，b后可

03kb

66

得R8m24，再结合I，进而可以得I，故可判断得解．

R38m27

6

【详解】（1）解：①由题意，将R3代入I中，

R3

∴I1，

p1．

故答案为：1．

②图象如下图所示，即为所求．

；

（2）解：由题意，根据图象，可得R随着m的增大而减小，

又∵I随R的增大而减小，

∴I随着m的增大而增大．

故答案为：增大．

（3）解：不能，理由如下：

24b

由题意，设Rkmb（k0，b为常数）将0,24，3,0代入，得，

03kb

k8

∴

b24

∴R8m24．

6

又∵I，

R3

6

∴I．

8m27

∵由（2）知I随着m的增大而增大，

∴当I0.4时，m1.52．

∴该电子托盘秤不能称出质量为2kg的物体的质量．

【变式1】（24-25九年级上·山西晋中·期末）下面是勤学小组项目化学习的方案，请仔细阅读并帮助其完

成方案．

项目主题：探秘饮水机工作程序

项目背景：我校在教学楼内安装了某型号饮水机．我们组的同学们以探秘饮水机工作程序为主题展开了项

目化学习．

驱动问题：该饮水机中水温随通电时间的变化如何变化？

设计方案：查阅资料，收集数据；数据分析，建立模型；求解模型，解决问题．

实施方案：

（1）查阅资料得知该型号饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动加热，平均每分钟水温上升10°C，

待加热到100°C，饮水机自动停止加热，水温开始下降，直至降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过

程．

按照方案展开调查，收集了如下数据．

通电时间x（min）0481016203240

水温y（C）20601008050402520

（2）分析数据：观察上述表格中的数据，并在右面的平面直角坐标系中描点连线，由此可知饮水机加热过

程中水温y（C）是通电时间x（min）的_________函数，水温下降过程中水温y（C）是通电时间x（min）

的_________函数；（选填“一次”或“反比例”或“其它”）

（3）解决问题：

①第一次加热过程中y与x的函数表达式为___________；

第一次水温下降过程中y与x的函数表达式为_______________；

②调查了解到40°C以上的水需求较大，该饮水机工作的一个周期内水温不低于40°C的时间最多为

_______min．

800

【答案】（2）画图见解析，一次，反比例；（3）①y10x20，y；②18

x

【分析】（2）根据表格数据描点连线即可画出图象，进而根据图象即可求解；

（3）①利用待定系数法解答即可；②分别求出y40时一次函数和反比例函数对应的时间，相减即可求解；

本题考查了一次函数和反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题的关键．

【详解】解：（2）画图如下：

由函数图象可知，饮水机加热过程中水温y（C）是通电时间x（min）的一次函数，水温下降过程中水

温y（C）是通电时间x（min）的反比例函数，

故答案为：一次，反比例；

（3）解：①设一次函数表达式为ykxb，把0,20，4,60代入得，

20b

，

604kb

k10

解得，

b20

∴第一次加热过程中y与x的函数表达式为y10x20，

mm

设反比例函数表达式为y，把8,100代入得，100，

x8

∴m800，

800

∴第一次水温下降过程中y与x的函数表达式为y，

x

800

故答案为：y10x20，y；

x

②把y40代入y10x20得，4010x20，

解得x2；

800800

把y40代入y得，40，

xx

∴x=20；

∵20218min，

∴该饮水机工作的一个周期内水温不低于40°C的时间最多为18min，

故答案为：18．

【变式2】（2023·四川达州·中考真题）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电

池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值RL2Ω）亮度的实验（如图），

U

、

已知串联电路中，电流与电阻RRL之间关系为I，通过实验得出如下数据：

RRL

R/Ω…1a346…

I/A…432.42b…

(1)a_______，b_______；

1212

(2)【探究】根据以上实验，构建出函数yx0，结合表格信息，探究函数yx0的图象

x2x2

与性质．

12

①在平面直角坐标系中画出对应函数yx0的图象；

x2

②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是_________．

123

(3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当x0时，x6的解集为________．

x22

【答案】(1)2，1.5

(2)①见解析；②函数值y逐渐减小

(3)x2或x0

【分析】（1）根据解析式求解即可；

（2）①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论；

（3）求出第一象限的交点坐标，结合图象可得结论．

12

【详解】（1）解：由题意，I，

R2

12

当I3时，由3得a2，

a2

12

当R6时，b1.5，

62

故答案为：2，1.5；

12

（2）解：①根据表格数据，描点、连线得到函数yx0的图象如图：

x2

②由图象可知，随着自变量x的不断增大，函数值y逐渐减小，

故答案为：函数值y逐渐减小；

3

（3）解：当x2时，y263，当x0时，y6，

2

123

∴函数yx0与函数yx6的图象交点坐标为2,3，0,6，

x22

3

在同一平面直角坐标系中画出函数yx6的图象，如图，

2

123

由图知，当x2或x0时，x6，

x22

123

即当x0时，x6的解集为x2或x0，

x22

故答案为：x2或x0．

题型03二次函数与数据的拟合

解｜题｜策｜略

1.待定系数求解析式：根据题目给出的三组对应值或图象上的三个点坐标，设出一般式、顶点式或交点

式，通过解方程组求出二次函数解析式。

2.结合实际建模型：根据实际问题背景（如抛物线形拱桥、喷泉、运动轨迹等）判断是否为二次函数关

系，合理建立平面直角坐标系。

3.利用解析式预测：将所求解析式代入新的自变量，预测对应的函数值，或根据顶点坐标求最值解决实

际问题。

例1（2025·广东广州·中考真题）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究

其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认

真阅读，解决问题．

发现问题

涉水线设置限高架设置

确定目标

图3为隧道横截

数学抽象隧道及斜

绘制图形

坡的侧面示意图，可近似如图2所示．面示意图，由抛物线的一部分ACB和矩形ADEB

的三边构成．

车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压

信息收集当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积

线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部ACB在竖

资料整理水达到涉水线处），车辆应避免通行．

直方向的空隙不小于0.3米．

斜坡的坡角为10，并查得：隧道的最高点C到地面DE距离为5.4米，两侧

实地考察sin100.174，墙面高ADBE3米，地面跨度DE10米．车

数据采集cos100.985，辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙

tan100.176．面的距离为1米．

问题解决：

(1)如图2，求涉水线离坡底的距离MN（精确到0.01米）；

(2)在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线ACB的解析式；

(3)限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到0.1米）．

【答案】(1)MN1.55米

12

(2)yx2

125

(3)3.5米

【分析】本题考查了解直角三角形的相关应用，二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性

质内容是解题的关键．

MP

（1）认真研读题干，过点M作MPl，代入数值得sin100.174，进行计算，即可作答．

MN

2

（2）先以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线ACB的解析式为yaxa0，再把B5,2.4

12

代入进行计算，得yx2，即可作答．

125

（3）认真研读题干，得出10214，再算出当x4时，y1.536，则OG1.536，GHCHOG3.864，

即可得出hGH0.33.5643.5（米），即可作答．

【详解】（1）解：如图，过点M作MPl，

∵斜坡的坡角为10，隧道内积水的水深为0.27米，

∴MNP10,MP0.27，

∵MPl，sin100.174，

MP

在Rt△MNP中，sin100.174，

MN

0.27

∴0.174，

MN

0.27

∴MN1.55（米）；

0.174

（2）解：如图所示：以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系：

2

依题意，设抛物线ACB的解析式为yaxa0，

∵隧道的最高点C到地面DE距离为5.4米，两侧墙面高ADBE3米，地面跨度DE10米．

∴B5,2.4，

把B5,2.4代入yax2，

得2.425a，

12

∴a，

125

12

∴yx2；

125

（3）解：如图所示：

∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．必须保证车辆顶部与隧道顶部ACB在

竖直方向的空隙不小于0.3米．

∴10214，

12

∴当x4时，y421.536，

125

则OG1.536，

∴GHCHOG5.41.5363.864，

∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），

∴hGH0.33.8640.33.564（米）

∵涉及安全问题，

∴h3.5643.5（米）．

例2（2025·广东深圳·二模）城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的

有效途径，如图1是2025年深圳地铁线路图，小方了解到列车从后海站开往南山站时，在距离停车线256

米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后两秒滑行的距离．为了解决这个

问题，小方通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离s（米）与滑行时间t（秒）的函数关系，再应用

该函数解决相应的问题．

(1)建立模型

①收集数据

t（秒）04812162024

s（米）256196144100643616

②建立平面直角坐标系

为了观察s（米）与t（秒）的关系，建立如图2所示的平面直角坐标系．

③描点连线

请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接．

④选择函数模型

观察这条曲线的形状，它可能是________函数的图象．

⑤求函数解析式

2

解：设satbtca0，因为t0时，s256，所以c256，则sat2bt256．

请根据表格中的数据，求a,b的值．

验证：把a,b的值代入sat2bt256中，并将其余几对值代入求出的解析式，发现它们都满足该函数解析

式．

(2)应用模型列车从减速开始经过_______秒，列车停止；最后两秒钟，列车滑行的距离为________米．

1

a1

【答案】(1)③见解析；④二次；⑤4，st216t256；

4

b16

(2)32，1．

【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，画二次函数图象，求二次函数值，

对于（1），先根据表格描点，并连线，可得图象，再判断其为二次函数，然后将两个点的坐标代入关系式，

求出解即可；

对于（2），将s0代入关系式求出答案，再令t30时求出s，可得解．

【详解】（1）解：③根据题意连线如下：

④二次；

⑤解：把4,196和8,144代入sat2bt256．

196=16a4b256

可得，

14464a8b256

1

a

∴4，

b16

1

∴函数解析式为st216t256；

4

（2）解：32，1.

1

由题意，当s0时，0t216t256，

4

∴t32．

∴最后2秒钟，即当t30时，s1；又当t32时，s0，

∴101（米）．

故答案为：32，1．

【变式1】（2024·广东深圳·二模）【项目化学习】

项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”．

项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系

进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用.

实验过程：如图（a）所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点A处开

始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：cm/s）、

滑行距离y（单位：cm）的数据．

任务一：数据收集

记录的数据如下：

运动时间x/t0246810

运动速度v/cm/s1098765

滑行距离y/cm01936516475

根据表格中的数值分别在图（b）、图（c）中作出v与x的函数图象、y与x的函数图象：

（1）请在图（b）中画出v与x的函数图象：

任务二：观察分析

（2）数学兴趣小组通过观察所作的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现图（b）中v与x的函数关

系为一次函数关系，图（c）中y与x的函数关系为二次函数关系．请你结合表格数据，分别求出v与x的

函数关系式和y与x的函数关系式：（不要求写出自变量的取值范围）

任务三：问题解决

（3）当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离：

（4）若黑球到达木板点A处的同时，在点A的前方ncm处有一辆电动小车，以2cm/s的速度匀速向右直线

运动，若黑球不能撞上小车，则n的取值范围应为______．

【答案】

（1）作图见详解

11

（2）vx10；yx210x

24

（3）当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离100cm

（4）n64

【分析】（1）利用描点法解答即可；

（2）利用待定系数法解答即可；

（3）令v0，求得小球停下来的时间，再将x=20代入y与x的函数关系式解答即可；

（4）假定经过t秒小球追上小电动车得到关于t的一元二次方程，令0，得到关于n的不等式，解不等式

即可得出结论．

【详解】解：（1）画出v与x的函数图象如下：

（2）由（b）中图象可知：v与x的函数关系为一次函数关系，

设vkxc，代入(0,10)，(2,9)得：

c10

，

2kc9

1

k

解得：2，

c10

1

v与x的函数关系为vx10；

2

设yax2bx代入(2,19)，(4,36)得：

4a2b19

，

16a4b36

1

a

所得：4，

b10

1

y与x的函数关系式为yx210x；

4

1

（3）当vx100时，

2

解得：x=20．

1

将x=20代入yx210x得：

4

1

y2021020100．

4

当黑球在水平木板停下来时，此时黑球的滑行距离100cm．

（4）假定经过t秒小球追上小电动车，

1

t210tn2t，

4

1

t28tn0．

4

1

由题意：(8)24n0，

4

n64．

若黑球不能撞上小车，则n的取值范围为n64．

故答案为：n64．

【变式2】（2025·广东深圳·模拟预测）项目式学习

项目主题：人工智能视觉识别

项目背景：视觉识别技术是人工智能领域的一个重要分支，它让计算机能够“看懂”图象，目标矩形

（BoundingBox）是视觉识别技术的一个重要概念，它在计算机视觉的多个领域中都有应用，如目标检测、

图象分割、物体跟踪等．目标矩形是一种用于表示图象中目标物体位置和大小的矩形框，在常规的目标检

测任务中，如图1，一般使用边与轴平行的矩形框．

概念学习：在平面直角坐标系xOy中，图形的目标矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴、y轴，

图形的所有点都在矩形的内部或边上，且矩形的面积最小．设矩形的竖直边与水平边的比为k，我们称常数

AB3

k为图形的纵横比．举例：如图2，矩形ABCD为菱形蓝宝石的目标矩形，纵横比k．

BC2

【概念理解】

（1）如图31，足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的纵横比k．

3

（2）如图32，铅笔经过计算机识别后的图形为线段HK，表达式为yx0x8，其目标矩形的纵

4

横比k．

【联系实际】

如图41和图42，拱桥经过计算机识别后的图形为抛物线，该抛物线关于y轴对称，CD的高度为5米，

1

其目标矩形的纵横比k，求抛物线的表达式（不必写出自变量的取值范围）．

4

【应用拓展】

（1）为方便救助溺水者，拟在图41的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图43，为了方便悬挂，救生圈

悬挂点距离抛物线拱面上方1m，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为4m．为美观，放置后救生圈关于y

轴成轴对称分布．求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最左侧一个救生圈悬挂点的坐标（悬挂救生圈的

柱子大小忽略不计）．

（2）据调查，拱顶离水面最大距离为10m，该河段水位在此基础上再涨1m达到最高．当水位达到最高时，

上游一个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈

抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计）

31

【答案】【概念理解】（1）1；（2）；【联系实际】yx25；【应用拓展】（1）6个，10,1；

420

（2）517m

【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，待定系数法，二次函数等知识，解题的关键是读懂题

意，理解目标矩形和纵横比．

概念理解：（1）由新定义知圆的目标矩形的纵横比k1；

y3

（2）根据目标矩形的纵横比的定义，可得线段HK的目标矩形纵横比k；

x4

联系实际：由最高点C与水面的距离CD为5米，知C(0,5)，又抛物线目标矩形的纵横比，可得AB20，

11

A(10,0)，B(10,0)，再用待定系数法得yx10x10x25；

2020

1

应用拓展：（1）抛物线yx25，得与横轴交点(10,0)，10,0，相邻两救生圈悬挂点的水平间距为

20

4m，且关于y轴成轴对称，由(10-2)¸4=2得桥面可挂6个；

（3）如图，当水位达到最高时，水位线为y4，当x10时，E10,1，EN5m，MN20m，在Rt△EMN

中，勾股定理求得EM长度即可．

【详解】解：概念理解：（1）∵足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的长和宽都为圆的直径，

∴目标矩形的纵横比k1；

故答案为：1；

3

x

（2）根据目标矩形的纵横比的定义，线段HK的目标矩形纵横比y3；

k4

xx4

3

故答案为：；

4

联系实际：如图：

∵最高点C与水面的距离CD为5米，

∴C(0,5)，

1

∵抛物线目标矩形的纵横比k，

4

51

∴，

AB4

∴AB20，

∵抛物线关于y轴对称，

∴A(10,0)，B(10,0)，

设抛物线的表达式为ya(x10)(x10)，

把C(0,5)代入得：5100a，

1

解得a，

20

11

∴yx10x10x25；

2020

应用拓展：

（1）相邻两救生圈悬挂点的水平间距为4m，且关于y轴对称，如图2，

∴(10-2)¸4=2，

∴左侧可挂3个，桥面可挂6个