2026年广东中考数学二轮复习讲练测热点06 统计概率的计算与综合决策（热点专练）（解析版）

热点06统计概率的计算与综合决策

热点聚焦方法精讲能力突破

第一部分热点聚焦·析考情聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。

第二部分题型引领·讲方法归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。

题型01全面调查与抽样调查

题型02统计量的计算

题型03统计综合问题

题型04用列表法或树状图求概率

题型05统计与概率的综合

第三部分能力突破·限时练精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。

近三年：根据近几年广东中考试题，“统计概率的计算与综合决策”部分的考试方向是突出统计观念与概

率意识。试题严格依据课标，高度关注统计量的计算（众数、中位数、平均数、方差）、统计图表的综合

分析以及概率的简单应用，常结合真实情境（如校园活动、社会热点、本土文化）设计问题。在题型上，

该板块分布稳定：选择题和填空题常考查统计量的基本概念辨析、概率的简单计算（如从列表中抽取指定

事件的概率）；解答题通常在第20-22题位置，几乎每年必考统计图表（条形图、扇形图、频数分布直方

图）的综合分析与概率计算，往往包含“补全统计图—计算统计量—用样本估计总体—用列表或树状图求

概率”的完整链条。

预测2026年：2026年的考试方向将延续“素养立意”，更加注重在真实情境和跨学科背景下考查数据观

念与决策意识。试题可能进一步创新设问，例如将统计概率与跨学科知识（如体质健康、环保数据）相结

合。考试题型预计保持稳定：选择题或填空题中仍会出现统计量的基本辨析；解答题大概率继续考查统计

图表的综合分析（含补图、统计量计算、用样本估计总体），并设置一问用列表或树状图求概率，重在检

验学生收集、整理、分析数据并作出合理决策的能力。

题型01全面调查与抽样调查

解｜题｜策｜略

1.根据特征选方式：全面调查适用于总体中个体数目较少或要求精确的情况（如检查飞船零件）；抽样

调查适用于总体中个体数目较多、具有破坏性或无法逐一考查的情况（如调查学生视力、灯泡寿命）。

2.明确概念防混淆：准确区分总体、个体、样本、样本容量——总体是全体考查对象，个体是每一个，

样本是抽取的部分，样本容量是数目（无单位）。

3.审清题意抓关键：仔细阅读题干，抓住“了解……情况”、“从中抽取”等关键词，判断调查方式和

相关概念的正误。

例1（2025·广东揭阳·三模）下列调查方式中，合适的是（）

A．了解某班学生中哪个月份出生的人数最多，用抽样调查

B．神舟十九号载人飞船发射前对其零部件的检查，用抽样调查

C．了解广东省九年级学生的视力情况，用全面调查

D．了解一批冷饮的质量达标情况，用抽样调查

【答案】D

【分析】根据全面调查和抽样调查的适用条件，逐一分析解答即可．

本题考查了全面调查和抽样调查，熟练掌握选择调查的方法是解题的关键．

【详解】解：A.了解某班学生中哪个月份出生的人数最多，用全面调查；

B.神舟十九号载人飞船发射前对其零部件的检查，用全面调查；

C.了解广东省九年级学生的视力情况，用抽样调查；

D.了解一批冷饮的质量达标情况，用抽样调查．

故选：D．

例2（2025·广东梅州·一模）下列调查中，调查方式选择合理的是（）

A．调查某班同学的视力水平，采用抽样调查方式

B．调查某品牌手机的使用满意度，采用普查的方式

C．调查某热门景区游客的体验情况，采用抽样调查的方式

D．要了解我省初中生的体育爱好情况，采用普查的方式

【答案】C

【分析】本题主要考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特

征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调

查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．本题主要考查了抽样调查和全面调查的区

别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、

无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往

往选用普查．由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结

果比较近似．

【详解】解：A、调查某班同学的视力水平，应采用全面调查方式，选项不合理，不符合题意；

B、调查某品牌手机的使用满意度，应采用抽样调查的方式，选项不合理，不符合题意；

C、调查某热门景区游客的体验情况，采用抽样调查的方式，选项合理，符合题意；

D、要了解我省初中生的体育爱好情况，应采用抽样调查的方式，选项不合理，不符合题意．

故选：C．

【变式1】（2024·广东·模拟预测）在下面的调查中，最适合采用全面调查的是（）

A．了解一批电池的使用寿命B．了解珠江中鱼的种类

C．了解广东省中小学生每天的睡眠时长情况D．了解某校300名学生的视力情况

【答案】D

【分析】本题考查了全面调查与抽样调查：如何选择调查方法要根据具体情况而定．一般来讲：通过普查

可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其二，

调查过程带有破坏性．如：调查一批灯泡的使用寿命就只能采取抽样调查，而不能将整批灯泡全部用于实

验．其三，有些被调查的对象无法进行普查．

根据全面调查与抽样调查的特点对四个选项进行判断．

【详解】解：A、了解一批电池的使用寿命，具有破坏性，适合采用抽样调查，不符合题意；

B、了解珠江中鱼的种类，适合采用抽样调查，不合题意；

C、了解广东省中小学生每天的睡眠时长情况，适合采用抽样调查，不合题意；

D、了解某校300名学生的视力情况，适合采用普查，符合题意．

故选：D．

【变式2】（2025·河南洛阳·三模）下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（）

A．对洛阳市区空气质量的调查

B．对某批次汽车的抗撞击能力的调查

C．对“神舟十八号”飞船零部件质量的调查

D．对全市市民观看电影《哪吒之魔童闹海》情况的调查

【答案】C

【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选

用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于

精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、

物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断．

【详解】解：A、对洛阳市区空气质量的调查，适宜采用抽样调查方式，本选项不符合题意；

B、对某批次汽车的抗撞击能力的调查，适宜采用抽样调查方式，本选项不符合题意；

C、对“神舟十八号”飞船零部件质量的调查，需采用全面调查方式，本选项符合题意；

D、对全市市民观看电影《哪吒之魔童闹海》情况的调查，适宜采用抽样调查方式，本选项不符合题意．

故选：C．

题型02统计量的计算

解｜题｜策｜略

1.明确定义选公式：根据数据类型选择方法——算术平均数用总和除以个数，加权平均数需乘对应权重；

中位数要先排序再找中间数（偶数个取平均）；众数直接找出现次数最多的数据。

2.结合图表提效率：当数据以统计图形式呈现时，先从图表中准确读取数据，再代入公式计算，避免读

错数值。

3.理解方差判稳定：方差、标准差反映数据波动程度，方差越小数据越稳定，常结合平均数一起用于评

价成绩或产品质量。

例1（2025·广东汕头·一模）在一次视力检查中，某班有6名学生左眼视力分别为4.3，4.4，4.6，4.8，4.8，

5.0，这组数据的中位数和众数是（）

A．4.6，4.8B．4.7，4.8C．4.8，4.8D．4.8，4.7

【答案】B

【分析】本题主要考查了中位数和众数的判断，掌握定义是解题的关键．

根据将一组数据从小到大（从大到小）排列，最中间的一个或两个的平均数，叫做这组数据的中位数；一

组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数，解答即可．

4.64.8

【详解】解：这组数据共有6个，按照从小到大的顺序排列中位数是4.7；

2

因为4.8出现的次数最多，

所以众数是4.8．

故选：B．

例2（2025·广东韶关·二模）在2024年巴黎奥运会中，“中国梦之队”首次包揽了8枚金牌．假设在全红婵的

某场跳水比赛中，5位裁判给出的分数分别是9.5，9.3，9.5，9.1，9.1，则下列说法正确的是（）

A．平均数是9.2B．中位数是9.3C．众数是9.5D．方差是0.8

【答案】B

【分析】本题考查了中位数，众数，平均数和方差．先把5个数据按从小到大的顺序排列，而后用中位数，

众数，平均数和方差的定义及计算方法逐一判断．

【详解】解：5个数按从小到大的顺序排列9.1，9.1，9.3，9.5，9.5，

1

A、平均数是9.129.529.39.3，故本选项不符合题意；

5

B、中位数是9.3，故本选项符合题意；

C、9.1和9.5出现次数最多，众数是9.1和9.5，本选项不符合题意；

1222

D、方差是2×9.19.32×9.59.39.39.30.032，本选项不符合题意．

5

故选：B．

【变式1】（2025·广东韶关·一模）某公司有10名员工，每人年收入数据如表：

年收入／万元46810

人数／人2341

则他们年收入数据的众数与中位数分别为（）

A．8，6B．6，7C．8，7D．8，5

【答案】C

【分析】本题考查求众数和中位数，根据一组数据中出现次数最多的是众数，排序后，位于中间一位或两

位的平均数为中位数，进行求解即可．

【详解】解：出现次数最多的是8，故众数为8；

1

第5个和第6个数据分别为6和8，故中位数为：687；

2

故选C．

【变式2】（2025·广东茂名·一模）在学校组织的初三学生体检中，某班40名同学视力检查数据如表所示：

视力4.34.44.54.64.74.84.95.0

人数134611933

这40名同学视力检查数据的众数、中位数分别是（）

A．4.6、4.7B．4.7、4.7C．4.8、4.65D．4.9、4.7

【答案】B

【分析】本题考查众数、中位数的概念，根据众数、中位数的概念求解即可．解题的关键是熟知相关概念．将

一列数从小到大排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，出现次数最多的数为众数．

【详解】解：根据列表可知视力4.7的人数最多为11人，即众数为4.7；

总计为40名同学视力，按从小到大的顺序排列则处在最中间为第20位和21位都是4.7，

4.74.7

∴中位数为4.7，

2

故选：B．

题型03统计综合问题

解｜题｜策｜略

1.准确读取图表数据：条形图看具体数值，扇形图看百分比，折线图看变化趋势。先读懂图表再计算，

避免数据提取错误。

2.规范计算统计量：根据题目要求计算平均数、中位数、众数、方差等，注意加权平均数的权重处理。

3.结合情境分析决策：完成计算后，需结合问题背景（如选线路、评成绩）进行分析，用数据支撑结论，

体现统计的应用价值。

例1（2025·广东东莞·一模）今年6月26日这个国际禁毒日，某校八年级1，2班开展了一次禁毒知识竞赛，

每班选25名同学参赛，成绩评为A，B，C，D四个等级，相应等级的得分依次为100分，90分，80分，

70分，将两个班的成绩整理后，绘制成如图所示统计图表：

平均数中位数众数

1班ab90

2班87.680c

(1)请把1班竞赛成绩统计图补充完整；

(2)计算出表格中a，b，c的值：a______，b______，c______；

(3)请你根据上面计算的数据，分析比较1班和2班的竞赛成绩．

【答案】(1)2人，补充统计图见解答过程

(2)87.6，90，100

(3)从平均数比较，两班相同；从众数方面进行比较，2班成绩更好；从中位数方面进行比较，1班成绩更好

【分析】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图，平均数、中位数和众数，读懂统计图，从统计图中提

取解题信息，熟练掌握加权平均数的计算公式，理解中位数和众数的定义是解答此题的关键．

（1）根据每班选25名同学参加比赛及条形统计图中的数据可得出1班C等级的人数；

（2）由条形统计图的数据根据加权平均数计算公式可求出a的值；根据1班的成绩分布情况可求出b的值；

根据扇形统计图各级别所占的比例可求出c的值；

（3）比较两班的平均数和众数可得出答案．

【详解】（1）解：每班选25名同学参加比赛，

1班C等级的人数是：2561252（人），

补充统计图如图：

（2）解：a(61001290280570)87.6，

1班有6人100分，12人90分，2人80分，5人70分，

按照从小到大的顺序将成绩排列，正中间的成绩为90分，

b90，

由扇形统计图可知：2班等级为A的占44%，为最多，

2班成绩为100分的人数最多，

c100，

故答案为：87.6，90，100；

（3）解：1班和2班的平均成绩均为87.6分，而1班的众数和中位数都是90分，2班的众数和中位数分

别是100分和80分，

从平均数比较，两班相同，

从众数方面进行比较，2班成绩更好，

从中位数方面进行比较，1班成绩更好．

例2（2025·广东清远·三模）某校对直播软件功能进行筛选，学校选定了A和B两款软件进行试用，并抽取

部分师生对这两款软件打分（分数为整数，满分为5分）．

信息一：分别随机抽取20名学生打分情况的折线统计图如图所示：

信息二：学生打分的平均数、众数、中位数如下表所示：

软件平均数众数中位数

A3.254a

B3.5b4

信息三：抽取的10位教师对A和B这两款软件打分的平均分分别为4.5分和4分．

请根据以上信息解答下列问题：

(1)填空：a_____，b_____．

(2)学生对这两款软件评价较高的是哪一款？请说明理由．

(3)学校决定选择综合平均分高的软件进行教学，其中综合平均分中教师打分占60%，学生打分占40%，请

你通过计算分析学校会采用哪款软件进行教学．

【答案】(1)3，4

(2)学生对这两款软件评价较高的是B，理由见解析

(3)学校会采用A软件进行教学

【分析】本题主要考查了折线统计图，中位数，众数和加权平均数，熟练掌握这些知识点的应用是解题的

关键．

（1）根据中位数和众数的定义进行求解即可；

（2）根据学生对钉钉打分的中位数和平均数都比对直播打分的中位数和平均数高即可得到答案；

（3）分别计算出两款软件的得分即可得到答案；

【详解】（1）解：由折线图可得，第10位与第11位的得分都是3分，

∴中位数a3，

由折线图可知，B软件得分出现次数最多的是4分．

∴众数b4，

故答案：3，4；

（2）学生对这两款软件评价较高的是B，理由如下：

∵学生对B打分的平均数和中位数都比A高，

∴学生对这两款软件评价较高的是B；

（3）A软件的得分为3.2540%4.560%4（分），

B软件的得分为3.540%460%3.8（分），

∵43.8，

∴学校会采用A软件进行教学．

【变式1】（2025·广东潮州·模拟预测）为了弘扬和传承中华优秀传统文化，东北育才学校举办了一场名为“经

典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组10

人）学生在初赛中的成绩记录（单位：分）：

甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6．

乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5．

根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表：

组别平均数中位数众数方差

甲组7a62.6

乙组b7c2

(1)在以上成绩统计表中，a=_______，b=______，c=______．

(2)小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上的水平．”根据上面的统计表，判断

小明是哪个组的学生，并解释原因．

(3)从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．

【答案】(1)6，7，7

(2)小明可能是甲组的学生，解释原因见解析

(3)选乙组参加决赛，理由见解析

【分析】本题考查了平均数，中位数，众数及方差的意义，关键是熟练应用特征数做决策．

（1）根据方差、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案；

（2）根据中位数的意义即可得出答案；

（3）根据平均数与方差的意义即可得出答案．

【详解】（1）解：∵甲组数据重新排列为：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．

66

∴中间两个数的平均数是6，则中位数a6；

2

∵乙组数据重新排列为：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．

1

∴b566677779107，

10

∵乙组学生成绩中，数据7出现了四次，次数最多，

∴众数c7．

故答案为：6，7，7

（2）小明可能是甲组的学生，理由如下：

∵甲组的中位数是6分，而小明得了7分，

∴小明在小组中属中游略偏上．

（3）选乙组参加决赛．理由如下：

∵甲、乙两组学生平均数相同，

22

而S甲2.6S乙2，

∴乙组的成绩比较稳定，

故选乙组参加决赛．

【变式2】（2025·广东东莞·二模）在某校科技节活动期间，学校组织了科普知识竞赛.现从七、八年级各随

机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行统计、分析，过程如下：

【收集数据】

七年级20名同学的竞赛成绩统计（单位：分）：69，72，72，73，74，74，74，74，76，76，78，

89，96，97，97，98，98，99，99，99．

八年级20名同学的竞赛成绩统计（单位：分）：65，68，70，76，77，78，87，88，88，88，89，89，

89，89，93，95，97，97，98，99．

【整理、描述数据】

将抽取的两个年级的成绩分别进行整理，分成A，B，C，D四组，用x表示成绩，A组：60x70，B组：

70x80，C组：80x90，D组：90x100.绘制出了如下统计图．

【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表：

年级平均数中位数众数方差

七年级84.2a7412.1

八年级8688.5b10.3

根据以上信息，解答下列问题：

(1)a______，b______；

(2)补全频数分布统计图；

(3)七年级有300人参加测试，八年级有320人参加测试，若测试成绩不低于80分的为优秀，估计七、八年级

测试成绩优秀的共有______人；

(4)从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，对七、八年级测试成绩进行评价．

【答案】(1)77；89；

(2)见解答．

(3)359．

(4)见解答．

【分析】本题考查频数(率)分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体、平均数、中位数、众数、方差，

能够读懂统计图，掌握用样本估计总体、平均数、中位数、众数、方差的意义是解答本题的关键．

（1）根据众数和中位数的概念即可求解．

（2）先求出八年级C的人数，进而补全统计图即可．

（3）用七、八年级的人数乘以样本中七、八年级测试成绩为优秀的人数占比即可得到答案．

（4）根据平均数、中位数、众数、方差的意义求解即可．

【详解】（1）解：由题意得，七年级20名同学的竞赛成绩按照从小到大的顺序排列，排在第10名和第11名

的学生成绩分别为76和78，

7876

a77，

2

八年级20名同学的竞赛成绩89的最多，有4个，

b89，

故答案为：77；89；

（2）解：八年级C组人数为202468(人)，

补全频数分布统计图如图所示．

914

（3）解：300320359（人），

2020

估计七、八年级测试成绩优秀的共有359人．

故答案为：359；

（4）解：平均数表示两个年级抽取的20名学生的平均成绩，从平均数看，8684.2，八年级测试成绩较好；

众数表示两个年级抽取的20名学生中得分在某个分数的人数最多，从众数看，8974，八年级测试成绩较

好；

中位数表示两个年级抽取的20名学生中，将成绩从小到大排列后，位于中间位置的成绩，从中位数看，

88.577，八年级测试成绩较好；

方差表示两个年级抽取的20名学生的成绩的稳定性，从方差看，12.110.3，八年级测试成绩较稳定．

题型04用列表法或树状图求概率

解｜题｜策｜略

1.准确选择列举方法：涉及两步试验且结果较多时用列表法；涉及三步及以上试验时，用树状图法能更

清晰地列出所有等可能结果。

2.确保列举不重不漏：列表或画树状图时要按一定顺序，确保列出所有等可能结果，这是正确计算概率

的前提。

3.规范计算概率：找出所有等可能结果总数n和所求事件包含的结果数m，代入公式P(A)=m/n计算。广

东卷常将此与统计图表综合考查。

例1（2025·广东清远·三模）广东省是一个著名的旅游胜地，广州塔、白云山、丹霞山、深圳湾公园是广东

省的著名景点．寒假期间，嘉琪一家准备从这4个旅游景点中选择1个前往实地观光，则选中“广州塔”的概

率是_____．

【答案】1

4

【分析】本题考查了简单的概率公式，直接利用简单的概率公式求解即可，掌握相关知识是解题的关键．

1

【详解】解：由题意可得：选中“广州塔”的概率是，

4

故答案为：1．

4

例2（2024·广东·模拟预测）广东省现在实行高考“312”选科制度，意为3门语数英必考，物理与历史选

择1科进行考试，化学、生物学、思想政治、地理4科选2科进行考试．现在小仑从化学、生物学、思想政

治、地理4科选2科，他选的2科中有1科是化学的概率是________．

【答案】1

2

【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画树状图求出所有出现等可能的结果有12种，所选中2门

学科恰好有“化学”的结果有6种，根据概率公式即可求解．

【详解】解：把化学、生物学、思想政治、地理分别记为A，B，C，D，画树状图如图所示：

由上图可知，所有出现等可能的结果有12种，所选中2门学科恰好有“化学”的结果有6种，

61

∴选中2门学科恰好有“化学”的概率为，

122

故答案为：1．

2

【变式1】（2025·广东揭阳·二模）电影《哪吒之魔童闹海》截至2025年3月10日，票房突破148.87亿元

人民币，成为全球动画电影票房冠军．如图，有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：A哪吒，

B敖丙，C太乙真人，D申公豹．将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后

从中任意取出1张卡片不放回，记录后搅匀，再随机取出1张卡片．求下列事件发生的概率：

(1)第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的概率为_________；

(2)用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的概率．

1

【答案】(1)

4

1

(2)

6

【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式．

（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的结果有1种，利用概率

公式可得答案．

（2）列表可得出所有等可能的结果数以及取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的结果数，再利用概

率公式可得出答案．

【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的结果有1

种，

1

∴第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的概率为．

4

故答案为：1；

4

（2）解：如图：

共有12种等可能的结果，其中取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的结果有2种，

21

∴取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的概率为P．

126

【变式2】（2024·广东·模拟预测）某同学在化学实验室中取了4个外观完全相同的烧杯，分别放入等体积

的稀盐酸、氯化钠溶液、氢氧化钙溶液和水（已知上述4种物质均为无色液体并已打乱顺序，且紫色石蕊

溶液遇酸性溶液变红，遇碱性溶液变蓝，遇中性不变色）．

(1)若向其中1个烧杯中滴入紫色石蕊溶液，烧杯中溶液变蓝色的概率是______；

(2)若向其中2个烧杯中分别滴入紫色石蕊溶液，请利用列表或画树状图的方法，求这2个烧杯中溶液一个

变红色，一个变蓝色的概率．

1

【答案】(1)

4

1

(2)

6

【分析】本题考查了用列表或画树状图的方法求概率，熟记用列表或画树状图的方法及概率公式是解题的

关键．

（1）直接根据概率公式求解即可；

（2）分别用字母A，B，C，D表示稀盐酸、氯化钠溶液、氢氧化钙溶液和水，列表得出所有可能的结果，

再根据概率公式求解即可．

【详解】（1）解：∵紫色石蕊溶液遇酸性溶液变红，遇碱性溶液变蓝，遇中性不变色，且氢氧化钙溶液为

碱性，

∴向其中1个烧杯中滴入紫色石蕊溶液，烧杯中溶液变蓝色的只有氢氧化钙溶液，

∴烧杯中溶液变蓝色的概率是1；

4

（2）解：分别用A、B、C、D表示稀盐酸、氯化钠溶液、氢氧化钙溶液和水，向其中2个烧杯中分别滴入

紫色石蕊溶液，列表如下：

ABCD

AB,AC,AD,A

BA,BC,BD,B

CA,CB,CD,C

DA,DB,DC,D

共有12种等可能的结果，其中这2个烧杯中溶液一个变红色，一个变蓝色的结果有C,A、A,C，共两

种，

21

∴这2个烧杯中溶液一个变红色，一个变蓝色的概率是．

126

题型05统计与概率的综合

解｜题｜策｜略

1.准确读取图表数据：从统计图（条形、扇形、折线图）中准确提取每类数据的数量和百分比，这是进

行统计计算和概率列举的基础。

2.计算统计量并分析：按要求求出一组数据的平均数、众数、中位数及方差，并据此分析数据的集中趋

势与波动程度。

3.结合概率模型求解：在统计分析的基础上，利用列表法或树状图法列出随机事件所有等可能结果，再

代入概率公式计算。

例1（2025·广东江门·二模）为进一步落实双减工作，丰富学生课后服务内容，某学校增设了科技项目课程，

分别是：“无人机、人工智能、动漫，编程”四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种

课程的爱好情况，学校随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下：

并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如图：

(1)请补全条形统计图．

(2)扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角为______度．

(3)估计全体1000名学生中最喜欢C活动的人数约为多少人？

(4)学校现从喜好“编程”的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加青少年科技创新比赛，请用树状图或列

表法求恰好甲和丁同学被选到的概率是多少？

【答案】(1)见解析

(2)36

(3)300

1

(4)

6

【分析】（1）用条形统计图中B的人数除以扇形统计图中B的百分比求出调查的学生总人数，再求出选择A

课程和C课程的人数，补全条形统计图即可．

（2）用360乘以本次调查中选择D的学生人数所占的百分比，即可得出答案．

（3）根据用样本估计总体，用1000乘以样本中选择C课程的学生人数所占的百分比，即可得出答案．

（4）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好甲和丁同学被选到的结果数，再利用概率公式可得出答案．

【详解】（1）解：调查的学生人数为8435%240（人），

选择A课程的人数为24025%60（人），

选择C课程的人数为24060842472（人）．

补全条形统计图如图所示．

24

（2）解：扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角为36036.

240

72

（3）解：1000300（人)．

240

估计全体1000名学生中最喜欢C活动的人数约为300人．

（4）解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中恰好甲和丁同学被选到的结果有：甲丁，丁甲，共2种，

21

恰好甲和丁同学被选到的概率为．

126

例2（2025·广东汕头·一模）为庆祝中国共产党建党100周年，我区某校组织全校2100名学生进行了党史知

识竞赛，参赛学生均获奖．为了解本次竞赛获奖的分布情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统

计分析，获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，D级为三等奖，将统计结

果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题：

(1)本次被抽取的部分人数是名，扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是；

(2)根据抽样结果，请估计该校获得特等奖的人数为名；

(3)某班有4名获特等奖的学生小利、小芳、小明、小亮，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享，

利用列表法或画树状图，求小利被选中的概率．

【答案】(1)60；108

(2)105

1

(3)

2

【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适

合于两步完成的事件∶树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放

回实验，用到的知识点为∶概率=所求情况数与总情况数之比，也考查了条形统计图和扇形统计图．

（1）由C级的人数和所占百分比求出本次被抽取的部分人数，再由360乘以B级所占的比例即可；

（2）由全校学生2100名乘以获得特等奖的人数所占的比例即可；

（3）画树状图，共有12种等可能的结果，小利被选中的结果有6种，再由概率公式求解即可．

【详解】（1）解∶本次抽样测试的人数为∶2440%60(名)，

18

∴扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是360108

60

故答案为∶60，108．

3

（2）解：估计该校获得特等奖的人数为∶2100105(名)，

60

故答案为∶105．

（3）解：把小利、小芳、小明、小亮分别记为A、B、C、D，

画树状图如图∶

共有12种等可能的结果，小利被选中的结果有6种，

61

小利被选中的概率为∶．

122

答：小利被选中的概率为1．

2

【变式1】（2025·广东深圳·模拟预测）“机动车行驶到斑马线要礼让行人”等交通法规实施后，某校共有3000

人，数学课外实践小组就对这些交通法规的了解情况在全校随机调查了部分学生，调查结果分为四种：A．非

常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整

的条形统计图和扇形统计图．

请结合图中所给的信息解答下列问题：

(1)扇形统计图中C所对应的扇形圆心角度数为；估计全校非常了解交通法规的有人．

(2)补全条形统计图；

(3)学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加市区交通法规竞赛，请用列表或画

树状图的方法求丙和丁两名同学同事被选中的概率．

【答案】(1)90,1200

(2)见解析

1

(3)

6

【分析】本题主要考查了求圆心角的度数，用样本估计总体的思想，补全统计图，画树状图求概率，

对于（1），先求出总人数，即可求出C组对应的圆心角，再用全校总人数乘以A组所占的百分比可得答案；

对于（2），先求出B，D组的人数，再补全统计图即可；

对于（3），画出树状图，再根据概率公式可得答案.

【详解】（1）解：本次调查的学生总人数为2440%60(人)，

15

扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是36090，

60

全校非常了解交通法规的有300040%1200(人)，

故答案为90,1200；

（2）解：D类别人数为605%3，

则B类别人数为60(24153)18，

补全条形图如下：

（3）解：画树状图为

共有12种等可能的结果数，其中丙和丁两名学生同时被选中的结果数为2，所以丙和丁两名学生同时被选

21

中的概率为．

126

【变式2】（2024·广东·模拟预测）我区某校开展垃圾分类知识竞赛，学校随机抽取九年级部分学生成绩进

行统计，将统计结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格相关数据统计、

整理如下：

等ABCD

级级级级级

人

612a8

数

(1)本次抽样测试的学生人数是________名，a_______；

(2)扇形统计图中表示A级的扇形的圆心角的度数是________；

(3)该校九年级共有学生1200名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为________名；

(4)某班有4名优秀的同学（其中一名男生三名女生），班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享．利

用列表法或画树状图法，求恰好选到两名女生的概率．

【答案】(1)40，14

(2)54

(3)180

1

(4)

2

【分析】此题考查了树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．正确画出树状图是解题的关键，用到

的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

（1）根据D级的人数和所占的百分比求出抽样调查的总人数，即可解决问题；

（2）由360乘以A级的人数所占的比例即可；

（3）由该校九年级共有学生人数乘以优秀的人数所占的比例即可；

（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好选到两名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可．

【详解】（1）解：本次抽样测试的学生人数是：820%40（名），

则a40612814，

故答案为：40，14；

6

（2）解：扇形统计图中表示A级的扇形的圆心角的度数是36054，

40

故答案为：54；

6

（3）解：估计优秀的人数为：1200180（名），

40

故答案为：180；

（4）解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中恰好选到两名女生的结果有6种，

61

恰好选到两名女生的概率为．

122

（20分钟限时练）

一、单选题

1．（2026·山西长治·一模）下列调查中，最适合采用抽样调查的是（）

A．旅客上飞机前的安检

B．了解全班同学每周体育锻炼的时间

C．对一枚用于发射卫星的运载火箭各零部件的检查

D．了解某批次灯泡的使用寿命情况

【答案】D

【分析】根据调查特点判断：事关安全、范围小，需要全面掌握结果的调查适合普查；调查具有破坏性、

无法全面开展的调查适合抽样调查．

【详解】解：∵旅客上飞机前的安检事关安全，必须逐一检查，适合普查，排除A；

∵了解全班同学每周体育锻炼时间，调查范围小，适合普查，排除B；

∵运载火箭零部件检查事关发射安全，必须逐一检查，适合普查，排除C；

∵测试灯泡使用寿命具有破坏性，无法对整批次每一个灯泡都测试，因此最适合采用抽样调查．

2．（2025·广东河源·模拟预测）下列说法错误的是（）

A．必然事件发生的概率为1B．不可能事件发生的概率为0

C．随机事件发生的概率大于等于0、小于1D．概率很小的事件不可能发生

【答案】D

【分析】本题主要考查必然事件，随机事件发生的概率，掌握其定义是解题的关键．

在某个特定条件下，一定不发生的事件叫不可能事件，其概率为0；在某个特定条件下，一定会发生的事件

叫必然事件，其概率为1；在某个特定条件下，可能发生，也可能不发生事件叫随机事件，其概率大于等

于0、小于1，由此即可求解．

【详解】解：A．必然事件发生的概率为1，正确，不合题意；

B．不可能事件发生的概率为0，正确，不合题意；

C．随机事件发生的概率大于等于0、小于1，正确，不合题意；

D．概率很小的事件可能发生，原来的说法错误，符合题意．

故选：D．

3．（2025·广东广州·二模）某校在校本拓展课程中开设日常生活劳动教育课．为了解学生一周劳动次数的

情况，初三6班学生在调查中发现，全班同学每周做家务情况如表：则这组数据的众数和中位数分别为（）

次数1234567

人数35814952

A．4和5B．4和4C．14和5D．14和4

【答案】B

【分析】此题考查了众数和中位数的定义，根据众数和中位数的定义，结合数据表进行计算．众数是出现

次数最多的数据值，中位数是将数据按大小顺序排列后处于中间位置的数．

【详解】解：表中次数4对应的人数最多（14人），

∴众数为4．

∵总人数为3581495246（偶数个数据），

∴中位数为第23和24个数的平均值

∵累计人数：次数1（3人）、次数2（累计8人）、次数3（累计16人）、次数4（累计30人）．

∴第23和24个数均落在次数4的区间内，

∴中位数为4．

故选：B．

4．（2025·广东东莞·模拟预测）在化工生产中，常常需要对一些溶液的酸碱性进行快速检测以便后续的工

艺操作．实验室现有四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液，分别是a．稀硫酸(呈酸性)，b．氯化钠溶液(呈

中性)，c．氢氧化钾溶液(呈碱性)，d．碳酸钠溶液(呈碱性)．实验课上老师让学生小李用无色酚酞试液来

检测其酸碱性，小李同时任选两瓶溶液用无色酚酞试液进行检测，则两瓶溶液恰好都变红色(即两瓶溶液都

为碱性)的概率为()

1111

A．B．C．D．

2346

【答案】D

【分析】本题考查运用列表法或树状图求概率，根据其一般步骤求解即可．会列表或画树状图是解题的关

键．

【详解】解：列表如下：

abcd

ab，ac，ad，a

ba，bc，bd，b

ca，cb，cd，c

da，db，dc，d

由表知，共有12种可能出现的结果，其中两瓶溶液都变成红色的有c，d，d，c共2种结果，两瓶溶液

21

都变成红色的概率为：．

126

故选：D．

5．（2025·广东深圳·模拟预测）某校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理，绘制成如

图所示的统计图（四次参加模拟考试的学生人数不变），下列结论中不正确的是（）

A．共有500名学生参加模拟测试

B．第2个月增长的“优秀”人数最多

C．从第1个月到第4个月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长

D．第4个月测试成绩“优秀”的学生人数达到65人

【答案】D

【分析】本题主要考查了条形统计图，折线统计图，熟练掌握统计图的相关知识是解题的关键．用第1个月

的优秀人数除以对应的优秀率可求出参加模拟测试的学生人数，据此可判断A；分别求出第2个月，第3个

月，第4个月优秀率的增长情况即可判断B；根据折线统计图即可判断C；用500乘以第4个月的优秀率即

可求出第4个月测试成绩“优秀”的学生人数，据此可判断D．

【详解】解：102%500名，

∴共有500名学生参加模拟测试，故A结论正确，不符合题意；

∵10%2%8%17%13%4%13%10%3%，

∴第2个月增长的“优秀”人数最多，故B结论正确，不符合题意；

由折线统计图可知从第1个月到第4个月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长，故C结

论正确，不符合题意；

50017%85人，

∴第4个月测试成绩“优秀”的学生人数达到50017%85人，故D结论错误，符合题意；

故选：D．

二、填空题

6．（2025·广东汕尾·二模）2024年12月17日，农业农村部农产品质量安全中心公示了“2024年第三批全

国名特优新农产品名录”，汕尾市4个农产品入选，分别是凤山红灯笼荔枝、华侨红杨桃、陆河油柑和陆丰

莲藕．“凤山红灯笼”是汕尾的名优荔枝，是糯米糍与怀枝自然杂交的优良品种．现抽查出7个单果，质量（单

位：克）分别为27，24，28，27，26，25，25．这些数据的中位数是______．

【答案】26

【分析】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是

奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均

数就是这组数据的中位数．将这组数据从小到大重新排列，再根据中位数的定义求解即可．

【详解】解：将这组数据从小到大重新排列为24，25，25，26，27，27，28，

∴这组数据的中位数为26，

故答案为：26．

7．（2025·广东东莞·一模）不透明的袋子中装有2个红球和4个黄球，除了颜色外没有任何不同，随机摸

出一个是黄球的概率为__________．

2

【答案】

3

【分析】本题考查简单概率的计算，利用概率公式求解，总球数为6，黄球数为4，概率为黄球数与总球数

的比值；

42

【详解】袋中共有球246个，其中黄球有4个，因此随机摸出一个球是黄球的概率为.

63

2

故答案为.

3

8．（2025·广东湛江·二模）在一个不透明的盒子里装着10个大小相同且质地均匀的白球和黑球．小杰想估

计其中的白球数量．做了以下实验，从袋中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述

过程．得到如表所示的数据．请估算盒子里白球的个数有_____个．

摸球的次数m20406080120160200

摸到白球的次数n1533496397126160

摸到白球的频率n/m0.750.830.820.790.810.790.8

【答案】8

【分析】本题考查由频率估计概率，最后计算出小球个数．根据题意通过表格可知白球的概率约为0.8，再

由小球总数即可计算出本题答案．

【详解】解：根据表格可得摸到白球的概率约为0.8，

∵盒子里装着10个大小相同且质地均匀的白球和黑球，

∴白球个数：100.88（个），

故答案为：8．

9．（2024·广东揭阳·模拟预测）某游戏的规则为：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九个小

正方形面积相等）上描一个点，若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域，获得钢笔

一支．选手获得笔记本的概率为________

5

【答案】

9

【分析】此题考查了几何概率计算公式以及其简单应用，注意面积之比几何概率．利用击中黑色区域的概

率等于黑色区域面积与正方形总面积之比，进而求出答案．

【详解】解：整个正方形被分成了9个小正方形，黑色正方形有5个，

5

落在黑色区域即获得笔记本的概率为，

9

5

故答案为：．

9

10．（2025·广东佛山·一模）若一组数据x1，x2，…，xn的平均数为a，则数据2x13，2x23，…，2xn3

的平均数为_____．

【答案】2a3

【分析】本题考查了平均数，根据“如果一组数据x1，x2，，xn的平均数为x，那么另一组数据ax1b，

ax2b，，axnb的平均数为axb”，求解即可．

【详解】解：∵数据x1，x2，…，xn的平均数是a，

∴数据2x13，2x23，…，2xn3平均数为2a3，

故答案为：2a3．

三、