2026年广东中考数学二轮复习讲练测热点04 尺规作图与几何证明（热点专练）（解析版）

热点04尺规作图与几何证明

热点聚焦方法精讲能力突破

第一部分热点聚焦·析考情聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。

第二部分题型引领·讲方法归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。

题型01尺规作图作角与几何证明

题型02尺规作图作角平分线与几何证明

题型03尺规作图作垂线与几何证明

题型04尺规作图画圆与几何证明

第三部分能力突破·限时练精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。

近三年：根据近几年广州中考试题，“尺规作图与几何证明”部分的考试方向是突出操作性与推理性的统

一。试题严格依据课标，高度关注基本作图与几何证明的融合考查，要求“依图证理”——先作出图形，

再基于作图痕迹进行推理证明。在题型上，该板块通常出现在解答题的中档位置（近年多在第22-23题），

分值占比较高。近四年考题覆盖了角平分线、垂直平分线、对称点、旋转作图等核心类型，且每年设问均

为“作图+证明”的双重要求，如2024年考查作中线并证明矩形，2023年考查旋转作图与三角形相似。试

题不仅检验尺规操作的规范性，更深入考查等腰三角形、菱形、相似等核心几何性质的综合运用。

预测2026年：2026年的考试方向将延续“素养立意”，更加注重在旋转变换或复杂图形中考查作图能力

与逻辑推理。试题可能进一步创新情境，例如将尺规作图与圆的切线判定或最值问题相结合。考试题型预

计保持稳定：第22-23题位置仍会设置“作图+证明”的组合题，作图类型可能涉及旋转作图或综合型作图

（如作三角形的外接圆），后续证明则紧密围绕特殊四边形的判定、三角形全等与相似展开，重在检验学

生“操作直观—演绎推理”的完整思维链条。

题型01尺规作图作角与几何证明

解｜题｜策｜略

1.掌握基本作图方法：作一个角等于已知角的关键是运用“三弧法”，以原角顶点画弧，再以相同半径

在新射线上画弧，最后以特定半径画弧确定另一边。

2.保留清晰作图痕迹：所有弧线必须保留，这是判断作图正确与否的重要依据，切勿擦除。

3.结合几何推理证明：完成作图后需证明所作角与已知角相等，依据是全等三角形的对应角相等（SSS）。

广东卷常将此与平行线、相似三角形等知识综合考查。

例1（2025·广东中山·三模）如图，在ABC中，ABCC．

(1)用直尺和圆规在ABC的内部作射线BM，使ABMACB（不要求写作法，保留作图痕迹）

(2)若（1）中的射线BM交AC于D，AB4，AC8，求CD长．

【答案】(1)见解析

(2)6

【分析】本题主要考查了基本作图以及相似三角形的判定与性质的运用，解题的关键是掌握相似三角形的

判定与性质定理．

（1）根据尺规作图的方法，以AB为一边，在ABC的内部作ABMACB即可；

ABAD

（2）由题意求出ABD∽ABC，得，代入边长即可求出AD，进一步求解即可．

ACAB

【详解】（1）解：如图，射线BM即为所作；

（2）解：∵ABMACB，BADBAC，

∴ABD∽ACB，

ABAD4AD

∴，即，

ACAB84

解得AD2，

∴CDACAD826．

例2（2025·广东东莞·模拟预测）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请在CD下方尺规作图：

过点D作DP∥OC，且DPOC，连接CP．

(1)按照题目的要求补全图形．

(2)判断四边形CODP的形状，并说明理由．

【答案】(1)见详解

(2)四边形CODP是菱形，理由见详解

【分析】本题考查了作一个角等于已知角，矩形的性质，菱形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关

键．

（1）在点D处作GDCACD，则得DP∥OC，再以点D为圆心，OC的长为半径画弧，交射线DG于一

点，即点P，然后连接CP，即可作答．

（2）先证明四边形CODP是平行四边形，再结合一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可作答．

【详解】（1）解：如图所示：

（2）解：四边形CODP是菱形，理由如下：

∵DP∥OC，DPOC，

∴四边形CODP是平行四边形，

∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，

11

∴DOBDACOC

22

∴四边形CODP是菱形，

【变式1】（2025·广东惠州·二模）如图，O是ABC的外接圆，直径AB4cm,A25．

(1)以点C为顶点，BC为边，在BC的右侧作BCPA，交AB的延长线于点P：（要求：尺规作图，不

写作法，保留作图痕迹）

(2)在（1）所作的图中，求证：CP是O的切线．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查尺规作图（作一个角等于已知角）以及切线的判定．解题关键在于掌握尺规作图的基本

方法完成（1）小题；对于（2）小题，要熟练运用圆的性质（同弧所对圆心角与圆周角的关系、半径相等

得出角相等），通过计算角度来证明直线与半径垂直，从而判定切线．

（1）题要求用尺规作图作出BCPA．需要利用尺规作图的基本方法，比如作一个角等于已知角的方

法来完成．具体操作是先以点A为圆心，任意长为半径画弧，交AC、AB于两点，然后以点C为圆心，同

样长为半径画弧，再通过一定的操作确定BCP．

（2）要证明CP是O的切线，根据切线的判定定理，需证明OCCP．连接OC后，通过圆的性质求出

相关角度，进而证明OCP90．已知A25，利用同弧所对圆心角是圆周角的两倍，得

BOC2A50，又根据BCPA25，在OCP中通过角度计算得出OCP90．

【详解】（1）解：如图，CP即为所求；

（2）证明：连接OC：

∵OAOC（同圆半径相等），

∴AOCA25．

∴BOC2A22550．

∵BCPA25，OCPOCBBCP，OCB90OCA65，

∴OCP256590，即OCCP．

∵OC是O的半径，

∴CP是O的切线．

【变式2】（2025·广东东莞·二模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．

1

(1)尺规作图：在边CD的左侧，作CDFACB，使DEAC．

2

(2)在（1）的条件下，连接CE．求证：四边形OCED为矩形．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了作一个角等于已知角，菱形的性质，矩形的判定等知识，掌握菱形的性质，正确作出

图形，是解答本题的关键．

（1）作一个角等于已知角ACB，再取DEAO，即可；

1

（2）根据菱形的性质有：ACBD，AOOCAC，ACDACB，再证明DE∥AC，问题即可证

2

明．

【详解】（1）如图，即为所求．

（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，

1

∴ACBD，AOOCAC，ACDACB，

2

∴DOC90，

∵CDEACB，

∴CDEACD，

∴DE∥AC，

1

∵DEAC，

2

∴DEOC，

又∵DE∥OC，

∴四边形OCED是平行四边形，

又∵DOC90，

∴平行四边形OCED是矩形．

题型02尺规作图作角平分线与几何证明

解｜题｜策｜略

1.掌握基本作图步骤：以顶点为圆心画弧交两边，再分别以两交点为圆心画弧相交于一点，连接顶点与

该点即得角平分线。作图痕迹必须清晰保留。

2.牢记证明依据：证明所作射线为角平分线时，依据是三角形全等（SSS），对应角相等。

3.结合几何性质应用：完成作图后，常结合平行线、等腰三角形或圆的性质进行角度计算或位置关系的

推理证明。

例1（2025·广东珠海·三模）如图，在ABC中，ABAC.

(1)尺规作图：作BAC的角平分线，在角平分线上确定点D，使得DBDC；(不写作法，保留痕迹)

(2)在1的条件下，若AD与BC相交于点E，AB7，AC5，求SABE:SACE的比值．

【答案】(1)见解析

(2)7:5

【分析】1作AT平分BAC，作线段BC的垂直平分线交AT于点D，点D即为所求；

2过点E作EMAB于点M，ENAC于点N.证明EMEN，利用三角形的面积公式求解．

本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问

题．

【详解】（1）解：如图，

则点D即为所求．

（2）解:过点E作EMAB于点M，ENAC于点N.

AE平分BAC，

EMEN，

11

SABE:SACE·AB·CM:·AC·CN

22

AB:AC7:5．

例2（2025·广东·二模）如图，点C在以AB为直径的O上．

(1)实践与操作：用尺规作图法作ACB的平分线CD交O于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）

(2)应用与证明：在（1）的条件下，连接DO，求证：DOAB

【答案】(1)见详解

(2)见详解

【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，圆周角定理，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题

的关键．

（1）根据题意，作ACB的平分线CD交O于点D，即可作答．

1

（2）根据直径所对的圆周角是直角，再结合角平分线的定义，得出ACD9045，因为等弧所对的

2

圆周角等于圆心角的一半，即可作答．

【详解】（1）解：ACB的平分线CD交O于点D，如图所示：

（2）解：依题意，连接OD，

∵点C在以AB为直径的O上，

∴ACB90，

∵ACB的平分线CD交O于点D，

1

∴ACD9045，

2

∵ADAD，

∴AOD2ACD24590，

即DOAB．

【变式1】（2025·广东佛山·二模）如图，四边形ABCD是平行四边形．

(1)尺规作图：作线段AEAD，且点E在BC边上，作DAE的平分线交BC延长线于点F；（不写作法，

保留作图痕迹）

(2)在（1）的条件下，连接DF．证明：四边形ADFE是菱形．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了作图——基本作图，平行四边形的判定，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，

灵活运用所学知识解决问题．

（1）根据角平分线的作图方法作出图形即可；

（2）先证明AEEF，再证明四边形ADFE是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形ADFE是菱形

即可证明结论成立．

【详解】（1）解：如图，AE、AF为所求作；

（2）证明：四边形ABCD是平行四边形，

AD∥BC，

DAFEFA，

AF平分DAE，

DAFEAF，

EAFEFA，

AEEF，

ADAE，

ADEF且ADEF，

四边形ADFE是平行四边形，

又ADAE，

四边形ADFE是菱形．

【变式2】（2025·广东汕尾·二模）如图，点E是矩形ABCD的边BC上的一点，且AEAD10，AB8．

(1)实践与操作：用尺规作图法作DAE的平分线AF，交DC于点F；（保留作图痕迹，不要求写作法）

(2)应用与计算：在（1）的条件下，连接EF，则EF______．

【答案】(1)见解析

(2)5

【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可；

（2）求出BE6，ECBCBE4，证明AEF≌ADFSAS，则DFEF，设DFEFx，由

EF2CF2CE2得到方程，解方程即可．

【详解】（1）如图，AF即为所求，

（2）连接EF

∵点E是矩形ABCD的边BC上的一点，

∴BCD90，AEADBC10，CDAB8

∴BEAE2AB26，

∴ECBCBE4

∵AF平分DAE，

∴EAFDAF

∵AEAD,AFAF，

∴AEF≌ADFSAS，

∴DFEF，

设DFEFx

则CFCDDF8x

∵EF2CF2CE2

2

∴x28x42，

解得x5，

即EF5

故答案为：5

题型03尺规作图作垂线与几何证明

解｜题｜策｜略

1.掌握两种基本作法：过直线外一点作垂线，运用“三点法”以点为圆心画弧交直线于两点，再作这两

点连线的中垂线；过直线上一点作垂线，则需先以点为圆心画弧确定两点，再分别以这两点为圆心画弧

相交。

2.保留清晰作图痕迹：所有画弧的交点必须清晰可见，这是评分的重要依据，切勿擦除。

3.结合几何推理证明：完成作图后常需证明垂直关系，依据是中垂线的性质或等腰三角形“三线合一”

定理。广东卷常将此与矩形、菱形等图形综合考查。

例1（2025·广东茂名·模拟预测）如图所示，在ABC中，C90．

(1)【实践与操作】用尺规作图法确定AB的中点D．（保留作图痕迹，不要求写作法）

(2)【应用与证明】在（1）的条件下，以点D为圆心、DA的长为半径作D．求证：点C在D上．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】此题考查线段垂直平分线的作法，直角三角形斜边中线的性质，

（1）作线段AB的垂直平分线即可；

（2）利用直角三角形斜边中线等于斜边一半解答即可

【详解】（1）解：如图，作线段AB的垂直平分线，交AB于点D，

则点D即为所求．

（2）证明：连接CD，

点D为AB的中点，

ADBD.

C90，

CD为直角三角形ABC的斜边上的中线，

1

CDABADBD，

2

CD为D的半径，

点C在D上．

例2（2025·广东江门·三模）如图，在ABC中ABAC，

(1)尺规作图：作线段AC的垂直平分线，交BC于点D；（不写作法，保留作图痕迹）

(2)若B30，且CD1，求BD的长．

【答案】(1)见详解

(2)BD2

【分析】（1）根据线段的垂直平分线的尺规作图法作图即可；

（2）连接AD，由等腰三角形的性质可得BC30，进而可得BAC120．由线段垂直平分线的性

质可得DADC1，进而可得DACDCA30，BAD90，根据“直角三角形中30角所对的直角

边等于斜边的一半”即可得解．

本题考查了线段垂直平分线的尺规作图法，以及线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角

三角形的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键．

【详解】（1）解：如图，D点即为所求；

（2）解：如图，连接AD，

∵ABC中ABAC，

∴BC30，

∴BAC180230120，

∵D点在AC的垂直平分线上，

∴DADC1，

∴DACDCA30，

∴BADBACDAC1203090，

∴BD2DA2．

【变式1】（2025·广东惠州·三模）如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．

(1)用尺规作图法，以O点为圆心画圆，使O与边AB相切；

(2)在（1）的条件下，若O与边AD相切，求证：四边形ABCD为菱形．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】题目主要考查垂线的作法，角平分线的判定和性质，菱形的判定，理解题意，综合运用这些知识

点是解题关键．

（1）根据题意，过点O作AB的垂线，然后以垂线长度为半径画圆即可；

（2）设O与边AD相切于点P，O与边AB相切于点N，连接OP,ON，根据角平分线的判定和性质得出

AC平分DAB，DACBAC，再由平行四边形的性质及等量代换确定DACDCA，结合等角对

等边及菱形的判定即可证明．

【详解】（1）解：如图所示即为所求；

（2）设O与边AD相切于点P，O与边AB相切于点N，连接OP,ON，如图所示：

∴OPON,OPAD,ONAB，

∴AC平分DAB，

∴DACBAC，

∵ABCD，

∴CD∥AB，

∴DCACAB，

∴DACDCA，

∴ADCD，

∴四边形ABCD为菱形．

【变式2】（2025·广东揭阳·三模）如图，在矩形ABCD中，点E为边AD上一点，且BEBC

(1)实践与操作：请用尺规作图法作CFBE于点F；（保留作图痕迹，不要求写作法）

(2)应用与证明：在（1）的条件下，求证：△CFB≌△BAE．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了作图——作垂线，矩形的性质，全等三角形的判定，掌握相关知识点是解题关键．

（1）根据垂线的作法画图即可；

（2）利用“AAS”证明全等即可．

【详解】（1）解：如图，CF为所求作图形．

（2）证明：在矩形ABCD中，A90，AD∥BC，

12，

CFBE，

CFBA90，

又BCEB，

CFB≌BAEAAS．

题型04尺规作图画圆与几何证明

解｜题｜策｜略

1.掌握两类基本作图：三角形的外接圆（作任意两边垂直平分线找圆心）和内切圆（作两角平分线找圆

心）。近五年广东卷常以填空题、解答题形式考查这两种画圆方法。

2.保留清晰作图痕迹：所有弧线和交点必须保留，这是评分的重要依据。作图中要体现找圆心的过程（垂

直平分线或角平分线的交点）。

3.结合几何性质证明：完成作图后常需证明直线与圆相切或求半径。证明切线常用“连半径，证垂直”；

求半径则需运用勾股定理、相似三角形或三角函数进行计算。

例1（2025·广东佛山·三模）如图，在ABC中，ABAC．

(1)尺规作图：以点A为圆心，BC为切线作A；

1

(2)A与BC相切于点D，与AB相交于点E，连接DE，求证：EDBBAD．

2

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，切线的判定和性质．

（1）过点A作ADBC于点D，以A为圆心，AD为半径作A即可；

（2）如图，过点A作AHDE于点H，证明EDBDAHEAH即可．

【详解】（1）解：如图，A即为所求；

（2）证明：如图，过点A作AHDE于点H，

∵AEAD，AHDE，

∴EAHDAH，

∵BC是A的切线，

∴ADBC，

∴BDEADH90，

∵ADHDAH90，

1

∴EDBDAHBAD．

2

例2（2025·广东·模拟预测）如图，在ABC中，C90，ACBC．

(1)实践与操作：用尺规作图法在AB下方求作ADB，使得ADB45，且ADAC；（保留作图痕迹，不

要求写作法）

(2)应用与证明：在（1）的条件下，E是AB的中点，连接DE．求证：ADE∽ABD．

【答案】(1)图见解析

(2)详见解析

【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌

握以上知识是解题的关键；

（1）分别以A，B为圆心，AC长为半径画弧，两弧交AB下方于一点，以该点为圆心，AC长为半径画圆，

再以A为圆心，AC长为半径画弧，与前述圆的交点即为点D，连接AD，BD，得到ADB．

2AEAD

（2）设ACa，则ADa，根据等腰直角三角形的性质得出AB2a，AEa，即可得出，

2ADAB

根据DAEBAD，即可证明ADE∽ABD．

【详解】（1）解：如图所示，ADB即为所求作．（作法不唯一）

分别以A，B为圆心，AC长为半径画弧，两弧交AB下方于一点，以该点为圆心，AC长为半径画圆，再以

A为圆心，AC长为半径画弧，与前述圆的交点即为点D，连接AD，BD，得到ADB45．

（2）证明：如图，

E是AB的中点，

1

AEAB．

2

设ACa，则ADa，

C90，ACBC，

AB2a，

2a

AE，

2

2a

AE2ADa2，

2，

ADa2AB2a2

AEAD

．

ADAB

EADDAB，

ADE∽ABD．

【变式1】（2025·广东广州·一模）如图，在RtABC中，ACB90，点P是AC的中点．

(1)尺规作图：以线段BC为直径作O，交AB于点D（保留作图痕迹，不写作法）；

(2)连接PD，求证：PD是O的切线．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）作BC的垂直平分线，垂足为O，以O为圆心，OC为半径作O即可；

（2）连接OP，OD，CD．证明ODPD即可．

【详解】（1）解：如图所示，O，BD为所求

（2）证明：如图，连接OD，CD，

BC为直径，

BDC90，

P点为RtADC斜边上的中线，

PCPD，

34，

OCOD，

12，

241390，

OCPC，

PD是O的切线．

【变式2】（2025·广东珠海·一模）如题图，在ABC中，C是钝角．

(1)请用无刻度的直尺和圆规作AC的垂直平分线交AB于点O，以O为圆心，OA为半径作O交AB于点

D．（保留作图痕迹，不写作法）

(2)在（1）的条件下，连接CD，若BCDA．求证：BC是O的切线；

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，切线的判定，圆周角定理及等腰三角形的性质，，掌

握线段垂直平分线的性质及切线的判定是解题的关键．

（1）根据作线段垂直平分线的作法和画圆的作图即可；

（2）连接OC，由AD是直径，可得ACD=90，根据等边对等角可得ODCOCD，再根据DCBA，

推出DCBOCD90，即OCB90，即可证明．

【详解】（1）解：作出AC垂直平分线，作出O，如图即为所求；

（2）证明：连接OC，

∵AD是直径，

∴ACD=90，

∴AADC90，

∵OCOD，

∴ODCOCD，

∴AOCD90，

∵DCBA，

∴DCBOCD90，

∴OCB90，

∴OCBC，

∵OC是半径，

∴BC是O的切线．

（20分钟限时练）

一、单选题

1．（2025·广东清远·一模）如题图，在平行四边形ABCD中，AB5，BC8，以点D为圆心，任意长为

1

半径画弧，交AD于点P，交CD于点Q，分别以P、Q为圆心，大于PQ为半径画弧交于点M，连接DM

2

并延长，交BC于点E，连接AE，则（）

A．DE平分ADCB．AD5

C．AEBCD．AECE

【答案】A

【分析】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信

息，灵活运用所学知识解决问题．

【详解】解：由作图可知DE平分ADC，故选项A正确，

则ADECDE，

在平行四边形ABCD中，AB5，BC8，

∴AD∥BC，ADBC8，故B不正确，

则ADEDEC，

∴CDEDEC，

∴CECDAB5，则BE3，

故无法判断选项C，D是否正确．

故选：A．

二、填空题

2．（2025·广东·模拟预测）如图，在ABC中，A74，B56．以点C为圆心，任意长为半径画弧，

1

分别交AC于点D，交BC的延长线于点E；分别以D，E为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点F；

2

作射线CF．则ECF的度数为__________．

【答案】65/65度

【分析】此题考查了三角形外角的性质、角平分线的作图、角平分线的定义，根据三角形外角的性质求出

ACE的度数，再由CF平分ACE即可得到答案．

【详解】解：∵A74，B56，

∴ACEAB130，

由题意知：CF平分ACE，

1

∴ECFACE65，

2

故答案为：65．

3．（2025·广东揭阳·一模）如图所示为一直角三角形ABC，ACBC，AB12，B30，用圆规以A

点为圆心画圆弧s，分别交AC，AB于点D，E，然后再分别以D，E为圆心，以大于DE长度的一半画圆弧，

两圆弧交于点F，连接AF交BC于点G，最后以点G为圆心，以AD的长度为半径画圆交圆弧s于点M，N，

连接MN分别交AC，AB于点P，Q，连接PG，GE，则四边形APGQ的周长为________．

【答案】16

【分析】通过题干的尺规作图得出AG是CAB的角平分线，直线MN是AG的垂直平分线，再通过ASA证

明AZP≌AZQ，则APAQPGGQ，所以四边形APGQ是菱形，结合三角形外角性质，则

3

CPAPAP6，即可作答．

2

【详解】解：∵ACBC，AB12，B30，

1

∴ACAB6，

2

如图：

∵用圆规以A点为圆心画圆弧s，分别交AC，AB于点D，E，然后再分别以D，E为圆心，以大于DE长度

的一半画圆弧，两圆弧交于点F，连接AF交BC于点G，

∴AG是CAB的角平分线，

11

∴CAGBAGCAB90B30，

22

∵以点G为圆心，以AD的长度为半径画圆交圆弧s于点M，N，连接MN分别交AC，AB于点P，Q，连

接PG，GE，

∴直线MN是AG的垂直平分线，

∴AGPQ，APPG，AQGQ，

∴AZPAZQ90，

∵ZAZA，CAGBAG，

∴AZP≌AZQ，

∴APAQ，

即APAQPGGQ

∴四边形APGQ是菱形，

则Rt△PCG中，CPGPAGPGA60，

即CGP30，

11

∴CPPGAP，

22

∵AC6，

3

∴CPAPAP6，

2

∴AP4，

∴4416

即菱形APGQ的周长是16，

故答案为：16．

【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的性质以及垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，全等三角形

的判定与性质，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．

三、解答题

4．（2025·广东·模拟预测）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

已知：如图，ABC．

求作：O，使圆心O在BC边的中线上，且与AC、BC边相切．

【答案】图见解析

【分析】本题考查尺规作图——垂直平分线、角平分线.先找到BC的中点D，连接AD即为BC边的中线，

圆与AC、BC边相切，根据切线的性质：圆心到AC、BC距离相等，所以圆心还在ACB的平分线上，

即圆心O为中线和角平分线的交点，最后找到圆心O到BC边的距离，以此距离为半径画圆，即为所求.

【详解】解：如图，先作线段BC的垂直平分线，交BC于点D，连接AD，再作ACB的平分线，交AD于

点O，再作线段OC的垂直平分线，交OC于点E，以点E为圆心，以EO长为半径画弧分别交AC、BC于

点G、F，以点O为圆心，OF的长为半径画圆，则O即为所求．

5．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在ABC中，ABAC，A90．

(1)尺规作图：作B的平分线交AC于点D．

(2)求证：BCABAD．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等角对等边

等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．

（1）直接运用尺规作图作角平分线即可；

（2）如图：过点D作DEBC于点E，由角平分线的性质可得ADDE，易得RtABD≌RtEBDHL可

得BEAB；再说明ÐEDC=ÐC=45°，根据等角对等边可得CEDE，然后根据线段的和差以及等量代换

即可解答．

【详解】（1）解：如图即为所求．

（2）解：如图：过点D作DEBC于点E，

∴BADBED90，

∵BD平分ABC，

∴ADDE，

∵BDBD，

∴RtABD≌RtEBDHL，

∴BEAB，

∵ABAC，A90，

∴C45，

∴ÐEDC=ÐC=45°，

∴CEDE，

∴CEAD

∴BCBECEABAD．

6．（2024·广东·模拟预测）如图，ABC是等边三角形．

(1)请用尺规作图法，作出AC的中点D，并在BC的延长线上找一点E，使得CECD；(保留作图痕迹，不

要求写作法)

(2)在（1）的条件下，连接DE，则CDE．

【答案】(1)见解析

(2)30

【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的外角性质，尺规作图---线段的垂直平分线，等腰三角形

的性质等知识点．

（1）先作出线段AC的垂直平分线与AC交点即为点D，然后在BC的延长线上截取CECD即可；

（2）由等腰三角形得到CDEE，由等边三角形得到ACB60，再由三角形的外角性质即可求解．

【详解】（1）解：如图，即为所求：

（2）解：如图：

∵CDCE，

∴CDEE，

∵ABC是等边三角形，

∴ACB60，

∵ACBCDEE，

∴602CDE，

∴CDE30，

故答案为：30．

7．（2024·广东·模拟预测）已知ABC如图所示．

(1)用尺规作图法在边BC上找一点D，使得CADABC；（保留作图痕迹，不要求写作法）

(2)在（1）的作图下，若AC4,BC6，求CD的长度．

【答案】(1)见解析

8

(2)CD

3

【分析】本题考查作图—基本作图，相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点．

（1）利用尺规作一个角等于已知角的方法作图即可；

CACD

（2）证明出CAD∽CBA，得到，然后代数求解即可．

BCAC

【详解】（1）如图所示，点D即为所求．

（2）CADABC，CC，

CAD∽CBA，

CACD4CD

，即，

BCAC64

8

解得CD．

3

8．（2025·广东深圳·二模）如图，圆内有一点M，弦AB与点M分别位于圆心的异侧．

(1)尺规作图：作过点M的弦CD，使得CD∥AB(不写作法，保留作图痕迹)；

(2)在（1）中，若该圆的半径为6，AB4，CD82，求圆被弦AB与CD所夹的面积．

【答案】(1)见解析

(2)9162

【分析】（1）延长AM交O于F点，再作FMDMAB交O于E点，然后延长EC交O于D点，

则CD满足条件；

（2）过O点作OQDC于Q点，OPAB于P点，连接OA、OB、OD、OC，根据垂径定理得到CQDQ，

APBP2，再利用勾股定理计算出OP，所以OPCQ，于是可判断RtOAP≌RtOCQ，然后证明

AOD90，同理可得BOE90，然后根据扇形的面积公式，利用该圆位于AB与CD之间的图形的面

积S扇形BOES扇形AODSAOBSDOE进行计算即可．

本题考查了作图—复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质

把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定与性质、垂径定理和全等三角形的判定与

性质．

【详解】（1）解：如图1，CD为所求；

（2）解：如图2，过O点作OQCD于Q点，OPAB于P点，连接OA、OB、OD、OC，

11

则CQDQCD42，APBPAB2，

22

在RtOAP中，OPOA2