高中数学高考复习 第55讲恒成立问题 练习

第五十五讲恒成立问题

A组题

一选择题

1.若不等式/+。工+1之0对于一切x€(o,‘)成立，则。的取值范围是()

2

A.0B.-2C.--D.-3

2

【答案】C

【解析】

解：设/(#二/+以+],则对称轴为工=—0

2

若一且之,，即a<-\时，则f(x)在(0,1)上是减函数，应有

222

f(一)20n—V。4一1—

222

若一色。，即。NO时，则/(x)在呜)上是增函数，应有/(0)=1>0恒成立，故

a>0

若0W—0工1,即—IWC/WO,则应有/(-9)=《一£+1=1一±20恒成立，故

222424

-1<«<0

综上，有一之工。故选c

2

2.已知不等式0¥2-31+5+1)>/一%一。+1对任意〃€(0,+8)都成立，那么实数X的

取值范围为()

A.[-2,0]B.[-1,0]C.[0,1]D.[-72,0]

2

【答案】A

【解析】由题设知“，a2-3工+(。+1)>/一工一。+1对v。£(0,+8)都成立，即

a(x2+2)-x2-2x>0对VaG(0,+oc)都成立。设g(a)=(x2+2)ci-x2-2x

(aeR),

则g(a)是一个以。为自变量的一次函数。•,•/+2>0恒成立，则对VxtR,g(a)为R

上的单调递增函数。所以对V4W(0,+8),g(G)>0恒成立的充分必要条件是

^(0)>0,-X2-2X>0,A-2<X<0,于是X的取值范围是{X|—2«X«0}

3.若对任意xeR,不等式凶2融恒成立，则实数。的取值范围是()

(A)a<-\(B)|«|<1(C)|«|<1(D)a>\

【答案】B

【解析】：对VxwR,不等式国之依恒成立

则由一次函数性质及图像知一14。<1即|〃区1。

1q

4.已知不等式（x+y）（-+-）29对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为（）

Xy

A.2B.4C.6【）.8

解析：不等式（户29对任意正实数x,y恒成立，则1+。+上+竺2

xyxy

。+26+129,・•・、份22或4（舍去），所以正实数a的最小值为4,选B.

二填空题

5.若函数/*）=、（/-1）/+（〃_1）1+二一的定义域为R,则实数。的取值范围

Va十1

【答案】aw[1,9]

7

分析：该题就转化为被开方数（。2-1）/+（々_1）工+:^2（）在R上恒成立问题,

4+1

并且注意对二次项系数的讨论.

解：依题意，当XER时，

2

（a2-I）/+（a-l）x十---->0恒成立，

a+\

所以，①当"7=（）,即当/一1=。时，。=1,

a+1w0,

2

jltM(a2-l)x2+(a-l)x+——=l>0,.•.«=!.

6/+1

(7~—1>0,

②当41工。时，即鼠=(­(门)2工。时'

。+1

有｛、""=>1<«<9,

a2-l()6r+9<0,

综上所述，/*）的定义域为R时，4£口,9]

6.不论女为何实数，直线），二息+1与曲线/+）,2-2〃二+〃2-2。-4=0恒有交点，则4

的范围_________________

【答案】-14aM3

【解析】：(X-Q)2+)，2=2“+4,C(〃,0),当〃>一2时，联想到直线与圆的位置关

系，则有点A(O,1)必在圆上或圆内，即点A(O,1)到圆心距离不大于半径，则有

/+1工2〃+4(〃>一2),得一1<4<3

三解答题

7.已知/(式)=/+2(。-2)工+4,(1)如果对一切xsR,/(x)>0恒成立，求实数。

的取值范围；(2)如果对xcL-3,1],f(x)>0恒成立，求实数。的取值范围.

解：(1)△=4(。一2>-16<0=0<。<4；

92)<一3或］卜3-闫或]-(6f-2)>1

(2)

/(-3)>0A<0./(1)>0

解得4£。或1W4<4或一gV〃<1，

工。的取值范围为(一;,4).

8.设X£(0,4],若不等式JX(4—X)>以恒成立,求。的取值范围。

解：若设X=J.(4T),则(x—2)2+):=4(y20)为上半圆。

设y2二ar为过原点，a为斜率的直线。

在同一•坐标系内作出函数图象

依题意，半圆恒在直线上方时，只有。<0时成立，即a的取值范围为。<0。

9.(1)已知两函数/(x)=/,—，〃，对任意玉e[0,2]，存在％2e[1,2]，使

得/*JNg(X2)，求实数m的取值范围

(2)已知函数/(为)=12-2。工+1,g(x)=q,其中〃>0,工会0.

x

对任意王£[1,2],[2,4],都有/(2)>8(九2)恒成立，求实数。的取值范围；

解析：对任意％£[(),2]，存在々e[1,2]，使得/(芭)之g(12)等价于g(x)-加在

\2>

.2］上的最小值〃不大于“工）=/在［0,2］上的最小值0,既1,一〃三0，・・・〃亚J.

444

（1）【分析：】思路、对在不同区间内的两个函数/幻和g（x）分别求最值，即只需满

足糯⑴叫初即可•

令以a）=gmax（X）.；

22

令帆（。）=7mM（X），fM=（x-a）+\-a,

故（1）对称轴x=a<\，即0<。<1时，m（a）=/nin（x）=/（I）=2-2a，由

m（a）>n（a）解得av±，（注意到a的范围）从而得〃的范围：0<〃<.

⑵对称轴x=a>2时，m（a）==f（2）=5-4a»由根（。）>〃（。）解得

a<—,（注意到a的范围）从而得。无解：；

9

2

⑶对称轴x=a£［1,2］时，m（a）=/min（x）=f（a）=\-a>由〃z（a）>〃（a）解得

4〉一］+旧或4<I一而~,（注意到〃的范围）从而得a的范围1〈QW2：；；

44

综合（1）（2）（3）如实数”的取值范围是；（0,3）U（l,2］

10.（1）对任意实数x,不等式,+1|-卜—2|>。恒成立，求实数。的取值范围.

（2）对任意实数x,不等式卜+1|-上一2|〈〃恒成立，求实数a的取值范围.

（3）对任意实数工，不等式k+1|+,一2|>々恒成立，求实数a的取值范围.

—3x<—1

解：令y=k+l|_|x-2"2K-1-\<x<2

3x>2

（1）在直角坐标系中画出图象如图所示，由图象可看出，要使对任意实数X,不等式

k+1|-,一2|〉a恒成立，只需av-3.2

故实数a的取值范围是（-8,-3）/

,,「/一一一

（2）在直角坐标系中画出图象如图所示，由图象.''［一••二可看

出，要使对任怠实数工，不等式|_¥+1|-打一2|<4/L恒成

立，只需a>3.

故实数。的取值范围是（3+8）

（3）），=卜+1|+卜一2|的最小值为3,a<3,故实数a的取值范围是（一8,3）

B组题

一选择题

1.已知/(x)=ln(x2+l),g(x)=d)x-〃z,若V%£|0,3],三工2£[1,2],使得

/(X1)>^(x2),则实数〃7的取值范围是()

A.[^-,+co)B.(—00,—]C.,+co)D.(―oo,--i]

【答案】A

【解析】因为[0,3]时,/a)w[0,ln4]

X2£[1,2]时，g(x2)E[--m,--m]

故只需02工一机=>m>—

44

1P

2.己知g(x)=〃iv+],/'»=--X,若对任意的X|w[-l,2],总存在工2£[-1,2],使得

^(x,)=/(x2),则实数加的取值范围是()

A.[0,i]B,[-l,0]C.[-11]1]

63363

【答案】A

【解析】根据对于意的七日-1,2],总存在%£[42],使得g(xJ=/(X2)，得到函数

g(x)在[-1,2]的值域是f(x)在[-1,21上值域的子集

/*)=：一工求导函数可得：r(x)=/—l=(x—l)(.r+l),・••函数/(幻在[-1,1)上单

7?7

调减，在(1,2]上单调增/./(-1)=-,/(1)=--,/(2)=-

333

•••/(外在[-1,2]上值域是[—±2刍2；

33

机〉0时，函数g(x)在[12]上单调增，・・・g(x)在[-1⑵的值域是

33

・32H2”

3333

0</??<—

6

m=0时，g(x)=；，满足题意

机>0时，函数g(x)在[-1,2]上单调减，・・・g(x)在[-1,2]的值域是[2〃2+g,7〃+g]

，2m+—>——H.—>-m+—

3333

——<w<0

3

综上知〃?的取值范围是[-L-]

36

故选C

x+1

3.已知集合A=集合

2A-1

3=，己知函甄(工)二三一1+卜乂虫0>0，面(％)40成立,，则Ap|8=

1B./v，或X=1•1t,

AJAX<—>CJAX<—=1•D.-Ax<-Wa>l

2222f

【答案】c

【解集合

x+13-3rIr-l

A=〃£R<2Uhe/?-------<O[=\xeR-------->0

2x—1/V.2x—1✓[v.2x—1

={XG/?|(X-1)(2X-1)>0,且(2—()}=”Rx/垢21•

由集合8,可知/(x)的定义域为人=卜£虫>0}

不等式色-1+lnx«0有解,

x

即不等式。4/一日nx在(0,+8)上有解

令人(x)=x-xlnx,可得“(工)二1一(lnx+D=-lnx,令"(x)=0,可得x=1,再由

当0cx<1时，/?'U)>0,当x>l时，h\x)<0,可得当/=1时〃(x)=x-xlnx取得

最大值为1

要使等式一xlnx在(0,+8)上有解，只要。小于或等于〃(幻的最大值即可

即〃工1成立，所以集合3={〃£用々41}

所以4n8=，/x<g,曲=11

故选C

4.设。〉0,函数/(x)=.E+/,g(x)=x_]nx,若对任意的石,通都有

x

/(%)2»(々)成立，则。的取值范围为()

A.(0,e-\]B.(0,e-2]c,[e-b+oo)D.[e-2,+8)

【答案】D

【解析】求导函数，可得g'(x)=l-L,x£[l,e],g'(x)NO

x

,g(X)max=g(e)="l

/•(%)=1-4^令ra)=o，

丁a>0,x=±4a

当0<。<1时，/(用在[l,e]上单调增，

/./(x)min=f(A)=\-i-a>e-\,:.a>e-2

当时'/(X)在上单调减，/(刈在(布㈤上单调增,

/.f(x)min-f(&)=2&之c-1恒成立

当。〉e?时，/(外在[l,e]上单调减

.・・/(x)min=>(e)=e+—之e—1恒成立

综上，a>e-2

二填空题

5..设函数/(x)=ar3—3x+l(xER),若对于任意的工司-1,1]都有/")之0成立，则实

数。的值为—.

【答案】4

【解析】由题意，f\x)=3ax2-3,

当时，3at2_3<0,函数是减函数，/(0)=1,只需/(1)20即可，解得。N2,

与已知矛盾.

,da

当。〉0时，令/'(工)=3。/-3=0,解得X=±—

a

①当x〈一①时，/（力〉0,/。）为递增函数

a

②当-近＜x〈近时，r（幻＜（）,/（幻为递减函数

aa

③当x〉斗时，/（箝为递增函数

所以/(血)20,且/(一1)20,且/(1)20即可

a

由f(~~■)2。即。•(~~~y~3*---+120,解得。24

a

由/（一1）20,解得。W4

由/（1）之0,解得

综上，。=4为所求

6.若不等式,丁—in乂＞1对任意不£（0,1]都成立，则实数。取值范围是

【答案】bpy）

【解析】显然克=1时，有或。之1

令g（x）=ax3-Inx,g'（x）=3ax2--=——-

xx

a3[

①当a«-l时,对任意的x£(0,l]g'(x)="二vO,g(x)在(0J上递减,

X

g（式）min=冢1）=。（-1，此时g（X）W[4,+8）,|g（X）|的最小值为0,不适合题意

②当aNl时，对任意的xe（0,l],g'（x）=3,T=o,.工二口

上单调递减，在（J1，+8）上单调递增

函数在（0,

N3a

，|g(x)|的最小值为g(，钎)=§+§ln(3a)21,解得〃之百

2

工实数。取值范围是［/,+8)

三解答题

7.已知两函数/(X)=7/_28x-c，g(x)=2x3+4x2-4O.E。

(1)对任意xs［-3,3］，都有/(x)Wg(x)成立，求实数c的取值范围

(2)存在xe［—3,3］，使/'(x)Wg(x)成立，求实数c的取值范围

(3)对任意.卬［-3,3］，都有/(x)Wg(w)，求实数c的取值范围

⑷存在冷占£［一3,3］，都有/(工1)Wg0?)，求实数c的取值范围

解折：

(1)设新了)=8。)一/(%)=2必_3①一12%+c，问题转化为xg-3,3］时,h(x)>0

恒成立，故ZlCOminNO。

令/(x)=6f—6x—12=6(x+l)(x—2)=0，得工=一1或工=2。由导数知识，可知

〃(x)在［-3,-1］单调递增,在［-1,2］单调递减,在［2,3］单调递增,且〃(一3)二。一45，

力(X)极大值=〃(T)=c+7，〃*)极小值=人(2)=。-2°，/?(3)=c-9

••"(x)min=〃(—3)=C-45，由。一45N。，得CN45。

(2)据题意：存在xe|-3,3］，使/(x)Wg(x)成立，即为：力(工)=g(x)-/(x)20在

戈£［一3,3］有解，故力“)2之0，由⑴知力(％)max=C+7之0,于是得C之一7。

(3)它与(1)问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意

内,马£［一3,3］，都有了(N)Wg(z)成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，的

取值在［-3,3］上具有任意性，・♦・要使不等式恒成立的充要条件是：

/3max«ga)min'^^3,3］

•••/(x)=7(X-2)2-C-28,^G［-3,3］:、/(幻…=/(-3)=147—c，

21

:G•(A)=6A+8x-40=2(3A+10)(x-2),/.g(A)=0在区间［-3,3］上只有一个解

x=2°

・•・g(x)min=g(2)=-48,.-.147-c<-48,即cA195.

⑷存在和为E[_3,3「都有/a)Wg(X2)'等价于〃工焉"⑸皿'由⑶得

/a)min=/(2)=-c-28'g*2)max=g(-3)=102'-C-28W102=CN—130

点评：木题的三个小题，表面形式非常相似，究其木质却大相径庭，应认真审题，深入思

考，多加训练，准确使用其成立的充要条件。

8.已知函数/(外=24一足工-2.(1)求/(行的单调区间；(2)若不等式

士^>五.恒成立，求实数”的取值组成的集合.

Inx

11J7-1

解：(1)由已知得大>().因为广(不)=一一一=—一，一所以当

y/XXX

xG(0,1)nf'M<0,XG(l,+oo)nf'(x)>0.

故区间(0,1)为/(X)的单调递减区间，区间(1,+8)为/(X)的单调递增区间.

(2)①当X€(0,1)时，———>Vx<=>W>X—Vxlnx.

Inx

令g(x)=x-41nA，

则g(E)=l一与一4=2」-2二与

2yJXNX2y/X2\IX

由(1)知当xw(0,l)时，有f(x)>/(I)=0,所以g'(x)>0,

即得g(x)=x-J71nx在(0,1)上为增函数，所以g(x)>g⑴=1,所以加21.

②当X£(l,+8)时，-_—>yj_x<=>/??<x-VxInx..

Inx

由①可知，当工时，g(x)=x-JFlnx为增函数，所以g(x)>g(l)=1,

所以综合以上得〃2=1.故实数，〃的取值组成的集合为{1}

9.已知函数/(x)=log”/和g(x)=21og“(2x+4),(。>0々w1)

(I)若函数y=/(x)与函数)，=g(x)的图像在工二玉)处的切线平行，求为的值；

(II)设尸(x)=g(6-f(x),当『£[1,4]时,F(x)N2恒成立,求实数〃的取值范

围

14

解：(I)V/'(x)=-lo,e,^(x)=--10gqe

xg<2x+47

•・•若函数)，=/(x)与函数)，=g(x)的图像在x=X。处的切线平行

・••/'(%)=g'(%0)

1,4,C

「•—log,,e=------k)g“e,/.％=2

x02x0+4

(2x+4『

(II)F(x)=g(x)-f(x)=2log“(2x+4)-log„_r=log„--------，工G[1,4]

x

2

,/、(2x+4)16ri

h(x)=--------=4x+—+16,XG[1,4]

xx

,,、.164(x—2)(x+2)

•••6(zx)=4一一-=------；------,XG[L4]

XX

:.xG[l,2),/?'(x)<O,xe(2,4],/f(x)>0

〃(x)在[1,2)是单调减函数，在(2,4]是单调增函数.

A(x)min=〃⑵=32,A(x)max=/?(1)=/?(4)=36

当Ovavl时,有尸(人,所=log。36

当时，有F(x)*=电32

..当时，乙一。恒成立

•xe|ln,/4]HF(x)>2

・•・尸⑸m之2

0<。<1fa>1-

・・・满足条件的a的值满足下列不等式组〈”.①或।“八②

[logrt36>2[log,32>2

不等式组①的解集为空集，解不等式组②得1<aW4后综上所述，满足条件的a的

取值范围是1V4W4J5

10.•已知函数=W—x(1)求函数/(x)的最大值；(2)设〃7>0,求/(x)在

x

[〃?,2，川上的最大值；(3)试证明：对V〃EN+,不等式恒成立.

n

解：(1)・・•/。)二二三-1,令/'(x)=0得犬=l-lnx显然x=l是上方程的

x

解

令g(x)=.d+]nx-l,x£(O,+x),则g，(x)=2x+1>0>0，函数g(x)在(0,+8)上单

x

调增・・・1=1是方程ra)=o的唯一解•・•当0</<1时/‘。)=匕学一1>0,当

x>l时/'(x)<0

・•・函数f(x)在(0,1)上且调递增，在(1,+8)上单调递减・•・当X=\时函数有最大值

/Wmax=/(D=-1

(2)由(1)知函数/[X)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减

故①当0<26<1即0<〃2K工时f(x)在,2加上单调递增

：•m11ax=/(2⑼=*-2加

2m

②当加21时/(x)在[加,2〃“上单调递减.•・f(A)=/(w)=--m

maxrn

③当机<1<2/7?,即工v〃y1时/(x)max=/(I)=-1

(3)由(1)知当工£(0,+8)时，/U)max=/(1)=-1

工在(0,+8)上恒有f(x)=--%<-!，当且仅当％=1时“=”成立

X

，对任意的戈£(0,+8)恒有Inx<x(x-Y)

1±1>1

n

.,1+〃1+〃/1+〃1、1+H.j.il+〃1+〃后N、—

..In-----<------(--------1)=——即Hn对Vw〃ENKT+，不等式In------<—丁恒成乂.

nnnn~nn~

C组题

一选择题

1.三次函数/(x)=V-3公+3b在[1,2]内恒为正值，则的取值范围是().

9955

A.(-oo,-]B.(-oo,-)C.(-,+oo)D.(-0°»-)

【答案】D

【解析】解：方法1：可以看作必=/,%=3a工一1),且)，2<y

1的图象和犬类似，只是在一，三象限,

由于［1,2］,讨论第一象限即可

直线)，2过(1,0)点，斜率为劝.

观察可知在［1,2］范围内，直线必与凹=/相切的斜率是防的最大值.

对))求导得相切的斜率3/,相切的话劝=3/,8的最大值为犬.

23

相切即是有交点，y=y:,3x(x-l)=x,x=1.5

则〃的最大值为Y=2,

4

9

那么b<=.

4

方法2：f(x)=x3-3bx+3b,f'(x)=3x2-3b

0时，/(x)在R上单调增，只需/(1)=1>0,显然成立；

〃>0时，令/'。)=0,工=±甚，/(戈)在［J瓦+8)上单调增，在［-J及、份］上单调

减；

如果北工1即力41,只需/(1)=1>0,显然成立；

如果后22即624,只需/(2)=8-3b>0,即/?<g,矛盾舍去；

如果1<版<2即1<〃<4,必须f(加)=1)或-3b屈+3b>。

-b(2yfb-3)>0

l399

-yfb<—»即Z?v—»即：1<Z?<—

244

9

综上：b<—

4

2.已知函数f(x)=LW工g(x)=幺仅eN*),若对任意的c>l,存在实数满足

x-\X

0<a<b<c,使得/(c)=/(〃)=/(〃)，则k的最大值为().

A.lB.2C.3D.4

.【答案】C

k=l,对Dol,存在实数a1满足0＜或＜b＜c,使得/(。)=/(〃)=)(力成立，正

确；

确

当攵=3时，作函数/(1)=匕2与g(x)=K(&£AT)的图象如下,

x-\X

k=3,对Vol,存在实数。力满足0<avZ?vc,使得/(c)=/(〃)=/S)成立，正

确

故选C

3.已知函数f(x)=x3+3or-l,g(x)=f\x)-ax-5,其中/'(x)是f(x)的导函数.对满

足一IWaWl的一切〃的值，都有g(x)<0,则实数x的取值范围()

1?221

A.(--,l)C.(--,l)D.(---)

23332

【答案】C

解法1.由题意g(x)=3/axi3a5,这一问表面上是一个给出参数。的范围，解不等

式g(x)<0的问题，实际上，把以x为变量的函数g(x),改为以。为变量的函数，就转化

为不等式的恒成立的问题，即

令0(〃)=(3-工)。+3、2-5,(-11),则对一,恒有g(x)<0,即

夕(。)<0,从而转化为对一14。《1,8(。)<0恒成立,又由奴幻是。的一次函数，因而

是一个单调函数，它的最值在定义域的端点得到.为此

9⑴<03工2—x—2Vo79

只需4即《、解得一£<X<1.故X£(-Z1)时，对满足

3x~+x-8<033

一1«。《1的一切。的值，都有g(x)<0.

解法2.考虑不等式g(x)=3x2-3ax+3a-5<0.

由一IVaVl知,A=4-36a+60>0,于是,不等式的解为

a-yja?-36a+60a+\la2-36。+60

<x<----------------

~T~6

但是,这个结果是不正确的，因为没有考虑。的条件，还应进一步完善.

为此

,、a-da1-364+60...a+'a2-36a+60

设g(o)=--------;--------,力⑷=---------;--------•

6o

不等式化为g(。)<X<h(a)~\K。41恒成立，即g(〃)maxV。。•

/2

由于g(a)=I。［36"-60在一】《。［上是漕函数，则g(〃)nK1*=g(l)=

h(a)="+:360+60在一1《。1上是减函数，则力伍*相=/?(1)=1

2

所以，一一vxv1.

3

2

故不£(一§,1)时，对满足一14。工1的一切。的值，都有g(x)<0.

4./(x)=吆,+2'+3'4•…+(〃-1)'+,其中。为实数，〃为任意给定的自然数，且

n

n>2,如果/(x)当xw(—8』时有意义，则。的取值范围()O

1311

A.a>—(n—I)B,ci>—(7?—1)C.ci<—(7?—1)D.ci>—n(n—1)

2422

【答案】A

【解析】本题即为对于/€(-8川，有1、+2*+3,+…+(〃-1)*+〃7>0恒成立。

这里有三种元素交织在一起，结构复杂，难以下手，若考虑到求。的范围，可先将。

分离出来，得。〉_［(3'+(2)”+…+(巴］力(〃22),对于工£(-8,1］恒成立。

nnn

构造函数g(x)=Td)'+(2)x+~+(Uzly］522),则问题转化为求函数g(幻在

nnn

工£(-8,1］上的值域.

k

由于函数〃(x)=-{-r(k=1,2,—1)在xw(一8』上是单调增函数,

n

则g(x)在(一8,1］上为单调增函数。于是有g(x)的最大值为：^(1)=--(/7-1),从

而可得〃>一■!■(〃一］)。

2

二填空题

5.存在x<0使得不等式幺<2-卜一d成立，则实数t的取值范围是—.

9

【答案】(--,2)

4

解：不等式f<2—,一小即长一f|<2—

令x=|戈一4,y的图象是关于对称的一个丫字形图形，其象位于第一、二象限；

2

y2=2-xf是一个开口向下，关于)，轴对称，最大值为2的抛物线；

要存在x<0,使不等式f<2-卜—H成立，则凹的图象应该在第二象限和％的图象有交

点，两种临界情况，①当，K0时，%的右半部分和乃在第二象限相切：

X的右半部分即X二1一3

联列方程〉二工一，,〉二2-，，只有一个解;

,、9

即x-，=2—即+x-r=0,A=l+4r+4=0,得：/=——；

4

9

此时）北恒大于等于必，所以，二一2取不到；

4

9

所以一一vfW0；

4

②当，>0时，要使其和为在第二象限有交点，

即力的左半部分和火的交点的位于第二象限；

无需联列方程，只要力与y轴的交点小于2即可；

y二，-X与），轴的交点为（0"）,所以/<2,

又因为，>0,所以0<f<2；

综上，实数，的取值范围是：一二<1<2

6.设函数/（尤）=工2-1,对任意工£I,/（二）-4加7*）〈/*-1）+4/（〃。恒成

）tn

立，则实数机的取值范围是—。

【解析】（分离变量法）

r2

依据题意得〃「一1)在工£上恒定成

in"

1?1?3A

立，即一7-4机2V--y--+1在工£1,+00上恒成立。

m2x2x2)

a\?51s

当x=2时函数、=一二一4+1取得最小值一一，所以二一4〃/《一己,

2x2x3nr3

即⑶/+1)(4川-3)>0,解得/n<--ngrn>—o

22

另解(函数法)：

依据题意得5-1-4>。2-1)工(口-1)2-1+4(62—1)在+8)上恒定成

立，

321,,+8)上恒成立。

即——7一一+1+462——W0在x£

x~xm~

令贝心/(),]।?

A-3r2-2r+l+W一一、之0在(),一上恒成立，令

xV3.〃/I3_

g(Z)=-3/-2/+1+4"『--^―

m

・•・g(0)20且g(：)N0・•・得加4一方■或tn>—

三解答题

7.已知函数/(x)=ln(/+a)(。为常数)是实数集R上的奇函数，函数

g(x)="(x)+sinx是区间［-1』上的减函数.

(I)求。的值；

(II)若ga)4『+〃+i在xe［一］』上恒成立,求，的取值范围.

(III)讨论关于x的方程3=x2-2ex+m的根的个数。

f(x)

解：(I)/(x)=ln(，+a)是奇函数，则/'(0)=0恒成立.•.ln(e°+a)=O.，e°+a=l,.•/=()

(II)又rg。)在［-1』上单调递减,

•••g(x)max=g(-l)=_2_sinl

・・・只需一4一sinlW,+»+l

...(f+D2+/2+sin(74-l>0(其中/iW—1)恒成立

令A(2)=(r+l)2+r+sinl+ia<-l)

r+i<0

则W

-z-l+/2+sinl+l>0/2-r+sinl>0

(III)由(I)知/(x)=%,.,.方程为电▲=/-2ex+，几

x

令工(工)=叱，/)(工)=%2-2勿+机，・."G)=上二

XX

当xw(0,e)时,f'(x)>0,(x)在(0,e］上为增函数;

戈G［d+8)时,/'(x)V(),「.f］(x)在［(),e)上为减函数，

当x=e时，/(幻1^=力(6)=」.而人(工)=(工_6)2+〃7_/,

e

二•函数/")、在同一坐标系的大致图象如图所示，

，①当相一/＞」,口］，〃＞/+工时，方程无解.②当〃?一&2=」,即〃?=/"时，

eeee

方程有一个根.

③当〃7—/〈I,即相＜/+,时，方程有两个根.

ee

8.已知函数f(x)=lnx—g,(1)当。〉0时，判断/(x)在定义域上的单调性；(2)若

x

在［l,e］上的最小值为之，求。的值；(3)若八外＜/在(］,+8)上恒成立，求。的

2

取值范围

解：(1)由题意：/(©的定义域为(0,+00),且/(幻=4+二=±军.

XX"X"

。＞0,r(万＞0，故fM在(0,+8)上是单调递增函数.

x+a

(2)由(1)可知：/'(x)=

厂

①若aNT,则x+〃N0,即广(1)之0在［1㈤上恒成立,此时/(x)在口㈤

上为增函数,

33

.•・"(X)lmin=川)=一。=/，二。二一5(舍)

②若c/K—e,则x+〃KO,即/'*)40在[l,e]上恒成立，此时在口,司

上为减函数，

•(X)】min=/①)=1一@(舍)，

e22

③若一evav—1.令「(r)=0得一r=—a,

当1<X<-々时，/'")<0J/(X)在(1,-67)上为减函数，

当-avxve时，/'(幻>0在(-a,e)上为增函数，

•■•[/W]min=/(-«)=ln(-a)+1=|,.-.t7=-4e

综上可知：a=-4e.

1

(3)vf(x)<x2,/.Inx--<x.又x>0,，QAxlnx-x?

x

令

g(x)=xlnx-x3,/?(^)=^'(x)-l+lnx-3x2,h\x)=--6x=--,

xx

•・•〃(元)在(l,+8)上是减函数,/?(x)<//(1)=-2,即g'(x)<0,

二.g(x)在(1,+8)上也是减函数，g(x)<g⑴=一1.令。之一1得。>g(x),

，当在(1,+8),亘成立时，^>-1

9.对于函数/(幻=。『+仍+1»+人-2(。工0),若存在实数.%,使/(%)=%成立，则

称/为/*)的不动点。

(1)当〃=2,〃=一2时.求“无)的不动点：

(2)若对于任何实数〃，函数/(工)恒有两相异的不动点，求实数。的取值范围；

(3)在(2)的条件下，若)，=/。)的图象上A、5两点的横坐标是函数/(处的不动

点，且直线y=Ax+五占是线段八4的垂直平分线，求实数b的取值范围。

解f(x)=ax2+(7?+1)工+〃一2(〃w0),

（1）当。=2,Z?=-2时，/（x）=2x2-X-4.设x为其不动点，即2——工一4二乂

则2/—21=0..•.』二一1,々=2.即/。）的不动点是一1,2.

（2）由/（x）=x得：cve