高中数学必修二 6.4.1 平面向量在几何和物理的运用（精练）含答案高中数学必修二 6.4.1 平面向量在几何和物理的运用（精练）(含答案)

6.4.1平面向量在几何和物理中的运用（精练）

【题组一向量在几何中的运用】

1.（202】•安徽•六安一中高一月考）P是3c所在平面内一点，满足月|-|丽+?。-2?/（|=0,则AABC

的形状是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形

【答案】B

..._.iinrHIDinm....

【解析】由|丽|=附+尸。一2珂,可得C8=AB+AC,即|AB-码=|AC+呵

等式3月-码=卜3+同两边平方，化简得福•衣=0，.•.通J./,

因此，AA8C是直角三角形.故选：B.

2.（2021•云南省南涧县第一中学高一月考）在“3C中，若丽.而=-5，则AABC的形状一定是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.锐角三角形D.钝角三角形

【答案】D

【解析】因为福.衣=-5<0，所以A为钝角，所以△A3C一定是钝角三角形.故选；1）

____（ab

3.屹021•安徽•青阳第一中学高一月考）在中，丽=£,臣=人且。。=。。+机-ri——+——

r/|sinB|nZ?|sinA

"R,则点〃的轨迹一定通过△八为。的（）

A.重心B.内心

C.外心I）.垂心

【答案】A

【解析】过。作交/历于凡取/国中点〃连接切，如图所示：

根据三角函数定义可得问sin/?=WsinA=|c"|,

b

因为丽=云+机

卜卜mB|5|sin

所以0P-°C=前+即CP=j^CO.

即点户的轨迹在中线⑦上，而三角形三边中线的交点为该三角形的重心,

所以点P的轨迹一定通过“3c的重心.

故选:A

4.（2021•江苏-南京市第二十九中学高一期末）在边长为3的正方形A8CO中，点P在线段BQ上，且

尸方+2尸方=。，则不。后一。户•丽=（）

A.-4B.-3C.3D.4

【答案】C

【解析】•・•丽+2万=6,

,,|PO|2,'叹SaD2而S疯7）

3

••S《PB——，SKPD=3,

CTC5=|CP||C^|cosZPCB=\CF\\CBHPE\\DC\=2S^PD,

CTCD=|CP||C5|COSZPCD=\CE\\DC\=\PF\\BC\=2SACPB,

AGPCfi-CPCD=6-3=3.

故选：C

5.（2021•全国•高一课时练习）已知儿B,。为三个不共线的点，〃为△力比•所在平面内一点，若

PA+PB=PC+ABf则下列结论正确的是（）

A.点尸在△力8。内部B.点尸在阿外部

C.点尸在直线加上D.点〃在直线力。上

【答案】D

【解析】二月（+/啥=产乙+月月，•：/喈一/年=A*—而，:♦t:B=AH+丽,cB-AB=M

即诬=丽.故点P在边力。所在的直线上.故选：D.

__1_4__

6（2021•浙江•金乡卫城中学高一月考）（多选）若点。为“VBC所在平面内一点，AO=-AB+-AC,则下

列选项正确的是（）

A.直线AO必过BC边的中点

S△八oc-S、\BC=1：3

C.若“UJC的面积为9,则“05的面积是4

D.2OA+3O8+4OC=6

【答案】BCD

［解析】对D,河=；而+《正则布==+化简得

2OA+3OB^4OC=6,故D正确；

对A,若直线人。过BC边的中点则南一2病-而4•/）-与而冬（正与题设矛盾，故A错误；

对B,由奔驰定理可得S'%•况+SQ•。启+灰=6,

afKA.A/ICA.a/tc/o

故5,血0的：5.®=2:3:4,故&A"：SAC=3:（2+3+4）=1:3,故B正确；

对C,由SdBOC：S“OC：SMOB=2：3：4可得S4ABe:SaAOB=9：4,故C正确;

故选:BCD

7.（2021•江苏滦阳•高一期末）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对

应的图形与“奔驰”（如吐。而sM〃力的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知。是AA8C

内的一点，ABOC,△AOC,AAOB的面积分别为枭，SB，S「则+品・m+Sc•方=0.若。是锐

角AABC内的一点，A,B,C是AABC的三个内角，且点。满足方.砺=前衣=两衣.则（）

B.ZBOC+A=7r

C.|OA|:•|^c|=cosA:cosB.cosC

D.tanAOA+tun13OB+tanCOC=6

【答案】BCD

【解析】解：^^)OAOR=08OC^>Oli(OA-OC)=0^OBCA=0^OH1CA,

同理Q4_LC6,OCYAB,故。为AABC的垂心，故A错误；

NO6C+C=/.NOC6+8=',所以NOBC+C+/OCB+B=兀,

又NO8C+NOC8+N8OC=不，所以N8OC=C+8,

又A+8+C=4,所以N8OC+A=»,故B正确；

故A=*NBOC、同理A=/r—ZAGC,

延长CO交A8与点尸，则

OPOP

cos4:cosB—cos(zr—NROC):cos(/r—Z4OC)-cosNBOP:cosXAOP--OA:OR,

同理可得cosA:cosC=QA:OC,所以cosA:cosB:cosC=04:O4:OC,故CiE确；

54：5fl=(l.OC-BP):(-OC-AP)=BP:AP=OPtan4P0B:OPianZAOP

22

=tanZ.BOC:tanZAOC=tan(乃-A):tan(/r-B)=tanA:tanB,

同理可得SA：Sc=tanA:tanC,所以SA,.SB：SC=tanA:tanB:tanC,

又3八京+品。后十品•反=。，所以tanA而+tan比丽+ianC・灰故D正确.

故选：BCD.

8.（2021•四川•成都外国语学校高一月考（文））设。为AAAC内一点，且满足关系式

OA+2OB+3OC=3AB+2BC+CA*则,心:加：SACOA=_.

【答案】3:2:1

【解析】OA+2OB+3OC=3A8+2BC+CA=3(08—0A)+2(OC-08)+(OA-OC)，

•f->―►-►

•・30A+OB+2OC=O'

•**0A+OB+2OC+2OA=0*分别取钻、AC的中点为D、E,

AOD=2EO^

•v・q・

••°HOC-°AA0B-\AHC'TS4ABe-TSJBC=3：2：1

&3o

故答案为:3:2:1.

9.(2021•浙江•温州中学高一期中)己知AABC内接于一个半径为2的圆，其中。为圆心，G为AABC的

重心，则。色・(。月+0。)的取值范围为

【答案】1一；,8)

【解析】解：如下图所示，以形所在的直线为X轴，以旗的中点〃为坐标原点，建立平面直角坐标系，

设8(—1,0),C(，,0)(，>0),0(0,M),:.nz+t2=4=>—2<M<2

设A(x,y),所以(训=Jx2+(y_p?『=2,lipx2+(y-/?)2=4=>n-2<y<n+2,

乂的重心G为(衿｝所以的=(衿-“丽=(-/,-〃)衣=(…)，

所以前•(丽+花)=(OlZQu-与x(y_3〃)=：〃(3〃_y),

又-2v〃<2,〃-24y4〃+2,

244

所以铲（3〃-y）＜—/2（/7+l）＜—x2x3=8,

—7/（3/2-y）＞—Z7（/7-l）=y［（7?-—）2-

12

综上得--＜-n（3/?-y）＜8,

所以OC-（。月+。弓的取值范围为

10.（2021•河北•石家庄二中高一月考）如图，在平面四边形若8c。中，ABLBC,ZBCD=^°,

乙4。。=150。,而=3反\8=毡,旌=6，若点尸为边4）上的动点，则炉.而;的最小值为_

【答案】77-

16

【解析】以8为原点，以区U班所在的直线为X），轴，建立如图所示的平面直角坐标系,

依题意得CE=-BE=—yBC=BE+CE=—,ZBCD=60

333

在△BCD中，由余弦定理得=J（迪］+f—1-2x^x—xcos60=2,

K3Jt3J33

所以5。2+。02=6。2,所以N5DC=90,

由BC=2CQ,所以N。8c=30,NQCB=60>,

_2速x友c°s60

在△口）£中，由余弦定理得OE==1，

33

所以C炉+。炉=。。2,所以NDEC=90。，

在△A8O中，ZABD=ZADB=G)°,所以△A80为等边三角形，

所以4/3=4。=2,所以A(0,2),D("1),E｛瓜0),

设F(x,y),由题意令而=%而5,即(x,y-2)=〃石,一1),

解得工=百人)，=2-/1,所以尸(6尢2-/1),

所以方户=(6-6,2—%)•(、自4,2—%)=4储一72+4,

7

设f(4)=4万一74+4(0W4W2),可得其对称轴为4=(,且开口向上,

O

77715

所以4=工时，/(㈤取得最小值，即前.斯的最小值为4X(Z)2-7X(+4=3.

oXX16

故答案为：-f-.

16

11.(2021•北京•中国农业大学附属中学高一期末)已知点4-1,0),次0,1),点P(x,y)为一次函数y=x-l图

象上的一个动点.

⑴用含x的代数式表示Q.旃；

⑵求证：ZA必恒为锐角；

(3)若四边形人BPQ为菱形，求丽.福的值.

【答案】(1)Q.8户=2f-2x+2;(2)证明见解析；(3)2.

【解析】(1)设尸(x,y),所以/=(x+l,y),而=(x,y-l)

所以而•而=x(x+1)+)6-1)=丁+x+/一y

因为点?(乐y)在直线y=*一】上,

所以丽•丽=2/—2%+2

(2)VPAPB=APBP=2X2-2X+2

：.PAPB=2x2-2x+2=2(x2-A+1)=21f>0

pipii

所以cos〈玩方＞=f2＞0

IPAHPBI

若4,P,8三点在一条直线上，则用〃而，

得到*+l)(x—2)—(x—l)x=0,方程无解，所以乙4出?工0

所以“归恒为锐角.

(3)因为四边形A4PQ为菱形，

所以|A*|=|8户即应="2+(/一2)2

化府得到f—2x+l=(),所以x=l,所以尸(1,0)

设0(。力)，因为而=明,所以3-L〃)=(TT),所以,

b=-l

-A2=(0,-2)(1,-1)=2

12.(2021•江苏省前黄高级中学高一月考)如图1,在△人3c中，|福卜2,卜。=1,点。是BC的中点.

图1图2

+

⑴求证：AD=ABAC；

2

(2)直线/过点。且垂直于8C,E为/上任意一点，求证：理•(而-祝)为常数，并求该常数;

(3)如图2,若cosA=5,/为线表人。上的任意一点，求行•(而+定)的范围.

【答案】⑴证明见解析；⑵证明见解析，荏•(福-亚[:⑶[0』.

【解析】(1)AA3C中，延长A£＞到A使得A。到。A长度相等,

连接CR,A/,

•・・D是线段8C的中点,

・•・四边形ACAB是平行四边形，；,AA.=ABiAC,

•・•丽=^丽,.••瓶=g（而+记）.

（2）*：AE=AD+DE^

・•・AE（AB-AC）=^Ab+DE：y（AB-AC）=AbCB+DECB.

VDEYBC,ADECB=Of

•・•亚•（而-恁）=，（而+而）•（而一/）

2

=A（A52-AC2）=|（22-I2）=|.

____0

.,.荏.（私码=5.

（3）AABC中，・.・卜@=2,|同=1,

又cosA=（,而=g（而+硝

22

|科=iJ（AB+AC）=^AS\2ABAC+AC

=；V22+2x2x|xcosA+l2,AD=yf2

A

由⑴同理可证户月十定=2户方，

AF-（+FC）=AF-2FD=2pF||FD|cos00.

设|赤卜工，则|所卜&-夜），

而.例+码=2x（a-x）=2"+缶）=_2戈-用+l（0<x<>/2）,

市•（丽+定）的范围是[0,1].

13.（2021•江苏盐城•高一期中）如图，瓦尸分别是矩形A8CZ）的边8和8C上的动点，且A6=2,AO=1.

（1）若£,尸都是中点，求丽•衣.

⑵若反尸都是中点，N是线段所上的任意一点，求前•丽的最大值.

（3）若㈤厂=45。，求恁.赤的最小值.

1__1

(1)以点力为原点建系，得E(1,1),F(2,5),C(2,1),£/=(1,—耳)，前=(2,1),

：.EFAC=-,

2

——11

(2)由⑴知，设N(x,y),EN=AEF=2(1,--)=(A,--2)=(x-l,y-1),

1—1一1

:.y(l+A,l一一2),0<A<l,AN=(/l+l,—―4+=+,

222

__—,1IS,52,1

AN,NB=(A+1)(—A+1)+(——A+1)(—久—1)=一日月・+%=一］(几一g厂+g

当=时，丽.而最大值］

JJ

(3)设/明/=0,则^^4£=45。一8,

x/2=叵

・,・丽.丽=同福cos45。=2_______］

/母AV2.

cos9cos(45°-0)~Tcos6n•(——cos6+——sing)—(cos26»4-sin6>cos<9)

222

2

=厂------------------------N—j=-------=45/2—4

1+cos20sin10

--------+-----—sin(2(9+45°)+--+-

222222

当且仅当触+45。=90。时6=22.5。，等号成立，故4尸.AE最小值是4&-4.

14.（2021硼北高一期中）如图，在AQ48中，点〃为线段相上的一个动点（不包含端点），且满足丽=义方.

（1）若义=；,用向量丽，丽表示而;

⑵若|丽|=2,|丽|=3,且408=60。，求而•懑的取值范围.

【答案】(1)OP=^OA+-OB；(2)(-16).

44

一

【解析】(1)若4=41，则_A_P_=：1P8,

:.OP-OA=-(OB-OP),

3

.\-OP=OA+-OB,

33

一3一1一

贝|JOP=‘OA+—O8.

44

(2)•/=

:.OP-OA=A(OB-OP),

:.[]+A)OP=OA+AOB,

：.OP=-^—OA^-^-OB,

1+A1+A

•.•I丽|=2,|而|=3,且NAO8=60。

.•.雨•丽=|35||砺Icos60o=3,

：.OPAB=[-^—OA+-^—OB\(OB-OA)

11+%1+A)

1刀24(\%A—；

=------OA+----OB+-----------\OA-

1+A1+2〔1+2I+AJ

-4+92+3-3/16/1-16__7

i+2-i+2--T+7,

•/A>0,/.6———e(-l,6),

:.OPAB的取值范围为（T6）.

【题组二向量在物理中的运用】

1.（2021•山东潍坊•高一期末）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出

发,向河对岸航行.已知船的速度片的大小为同=8km/h,水流速度f的大小为忖卜2km/h,船的速度与

水流速度的合速度为入那么当航程最短时，下列说法正确的是（）

A.船头方向与水流方向垂直B.cos<\\,v2>=--

C.|v|=25/F7km/h

D.该船到达对岸所需时间为3分钟

【答案】B

【解析】由题意可知，^=彳+西，当船的航程最短时，vl^,而船头的方向与E同向,

—_•V）•V-y1

由r=0，可得豆何=一名2COS<H/2>=尸三=一公，A选项错误，B选

4

项正确：

|v=v(+v2|=，(匕+%)=~+2v,-v2+v2~=,4-2x4+64=2VT5(km/h),C选项错误;

该船到达对岸所需时间为60x米二警（分钟）,D选项错误.

故选：B.

2.（2021•全国-高一课时练习）一个物体在大小为10N的力户的作用下产生的位移s的大小为50m,且

力广所做的功W=250&J，则尸与s的夹角等于____.

【答案】J##

4

【解析】设尸与S的夹角为〃，

由W=F・6,得250夜=10x50xcos0，解得：cos0=—.

2

又。0=；.

故答案为：?（或45）

3.（2021•安徽•淮北一中高一月考）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引

体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为400N,则

该学生的体重为______kg（取重力加速度大小为g=l（）m/s2）.

【答案】406

【解析】设两只胳膊的拉力分别为不E，由题意知忻卜园=400,夹角0=60。，L+瓦+豆=0,

两边同时平方，得向2mi+Ef=4002+2x400x400xcos60+4OO2=3x4002,

则恸=上咽=400G\

m=40Gkg.

所以，该学生的体重为4()6kg.

故答案为：4()75

4.(2021•广东•江门市新会第二中学高一月考)河水的流速为2m/s,一艘小船以垂直于河岸方向4遍m/s

的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为m/s

【答案】10

【解析】为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，即：静水速度K斜向上游方向，

河水速度匕=2m/s平行于河岸;

静水速度与河水速度的合速度丫=4>am/s指向对岸.

・••静水速度匕=^V2+V^=796+4=IOm/s.

故答案为：10.

5.(2021•山西临汾・高一月考)有一东西方向的河流(假设河流宽度一样)，一艘快艇从河南岸出发渡河,

快艇航行速度的大小为2m/s,方向为北偏西30。，河水的速度为向正东lm/s,经过20s到达北岸，现快艇

从北岸返回，速度大小不变，方向为正南，从北岸出发返回南岸的时间是.

【答案】10A

【解析】如图所示，

北

由题意知，OA=2m/s,OB=\tn/s»所以OC=,

所以南北两岸的距离为Gx20=2(X/3(.O：

现快艇从北岸返回，速度大小不变，方向为正南,

所以20G+2=10G(S),

即从北岸出发返回南岸的时间是K)GS.

故答案为：10.

6.(2021•江苏通州•高一期中)如图所示，无弹性细绳OA,。8的一端分别固定在A,B处,同样的细绳

OC下端系着一个秤盘，且使得O8_LOC,则OA,OB,OC三根细绳受力最大的是________.

【答案】OA

【解析】

受力最大的是OA,

理由如下：

设OA,OB,。。三根细绳对0所施力分别为九

则4+B+C=6，

设£与书的合力为7,则|4=同，

如图：在平行四边形O3CA中，因为丽,元7,13Cf=OA,

所以|冲画，网>函，

即£>E,问〉|?|=|c|,

所以绳OA受力最大.

故答案为：OA.

7.（2021•全国•高课时练习）某人骑车以速度2向正东方向行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为垢

时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速的大小和方向.

【答案】实际风速的大小是血,，为西北风.

【解析】设实际风速为K由题意可知，此人以速度3向正东方向行驶时，感到的风速为当速度为无

时感到的风速为u-2a，

uuiIuuuILimi

如图，设OA-F，OB--2a，PO-V.

VPO+OA=E4，：.PA=v-a,这就是速度为3时感到的由正北方向吹来的风速.

:可+丽=而，，丽=5-22,这就是速度为2—时感到的由东北方向吹来的风速,

由题意知NP8O=45。，PALBO,84二AO,J为等腰直角三角形,

Him二同=坪，即忖二坪.

・•・乙4Po=45。，PO

，实际风速的大小是及卜.为西北风.

8.（2021•全国•高一课时练习）一个物体受到同一平面内三个力冗耳;耳的作用，沿北偏东45。的方向移动

了8m.已知园=2N,方向为北偏东30°：同=4N,方向为东偏北3（r；园=6N,方向为西偏北60。，

求这三个力的合力户所做的功.

【答案】24向J）.

【解析】以三个力的作用点为原点，正东方向为x轴正半轴，建立直角坐标系，如图所示,

则由已知可得西=(1,6),西=(26,2),西=(一3,36).

所以浙=西+西+西=(26—2,46+2).

又位移方=(4夜,4&),

所以砺漏=(26-2)x4夜+(475+2)x4拒=24#(J).

9.(2021•全国•高一课时练习)质量〃?=2.0kg的木块，在平行于斜面向上的拉力|户|=10N的作用下，沿

倾斜角0=30。的光滑斜面向上滑行Is1=2.0m的距离.(g=9.8N/kg)

(1)分别求物体所受各力对物体所做的功；

(2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？

【答案】⑴拉力20(J),支持力不做功,重力79.6。)；(2)0.4。).

【解析】(1)木块受三个力的作用，重力G，拉力下和支持力M，如图所示.

拉力户与位移s方向相同，所以拉力对木块所做的功为/=巨石=|四K|COS()O=20(J);

支持力N•与位移方向垂直，不做功，所以％=NE=0；重力日对物体所做的功为

H^=G,y=|G||J|cos(900+^)=|^||5|cos(900+^)=-19.6(J).

(2)物体所受各力对物体做功的代数和为卬=卬U+叱、,+1%=043).

10.(2021•广东顺德•高一月考)如图，已知一条河的两岸平行，河的宽度为d,某人从河的北岸出发到河

对岸，河水自西向东流速为闻=】m/s,设某人在静水中游泳的速度为匕，在流水中实际速度为匕.

⑴如果要使此人游得路程最短，且M|=&m/s,求此人游泳的方向与水流方向的夹角〃和匕的大小;

⑵如果要使此人游得时间最短，且同=&m/s,求他实际前进的方向与水流方向的夹角夕和△的大小.

【答案】(l)a=?,|M=lWs：(2)/7=p|v2|=2m/s.

【解析】（1）如果要使此人游得路程最短，只需此人的游泳速度和水流的速度的和速度与对岸垂直，如图,

B

此人游泳的方向与水流方向的夹角a=ZACB,

此时|%|=Jl匕「-同~=\"Vs,a=Z.ACB——

⑵如图，设％与匕的夹角为匕与岭的夹角为尸,

实际游泳的距离为s,

所以例=旦，①门尸=&,

sin夕sinas

d

~.ssin2?d

所以同一sinJ同An。'

sinp

故当％与4的夹角为夕=］时，此人游泳到对岸用时最短,

如图，当间=75〃?/$,由于同=l〃z/s,

故同=7lV||2+lvo|2=2m/s,此时tan0=6,

所以/=方.

11.（2021•黑龙江•哈尔滨三中高一期中）生活中，我们使用的电悌、旗杆、窗帘等都是滑轮原理的应用.

如图所示，对于同一高度（足够高）的两个定滑轮A,8用一条足够长的绳子跨过它们，并在两端分别挂有质

量为町和〃4物体（叫工〃?2）,另在两滑轮中间的一段绳子的点。处悬挂质量为加的另一物体.

⑴