高中数学知识点总结(第一章-集合与常用逻辑用语)

第一章集合与常用逻辑用语

第一节集合

一、基础知识

1.集合的有关概念

(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性.

元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中.

(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.

(3)元素与集合的两种关系：属于，记为金；不属于，记为£

(4)五个特定的集合及其关系图：

N"或Ni表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实

数集.

2.集合间的基本关系

(1)子集：一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合8中的元

素，则称人是B的子集，记作人(或83人).

(2)真子集：如果集合A是集合8的子集，但集合月中至少有一个元素不属于A,则称

A是8的真子集，记作AB或BA.

A既要说明A中任何一个元素都属于8,也要说明8中存在一个元素不

属于A.

(3)集合相等：如果AN8,并且8三4,则4=8.

两集合相等：4=BuA中任意一个元素都符合B中元素的特性，B中任意一

个元素也符合A中元素的特性.

(4)空集：不含任何元素的集合.空集是任何集合4的子集，是任何非空集合8的真子

集.记作0.

0W{0},0m0},OW0,0){0}gO},0£{0).

3.集合间的基本运算

(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合8的所有元素组成的集合，称为A与8的

交集，记作4CW,即AC8={4r£A,且工£砌.

(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合8的元素组成的集合，称为4与8的

并集，记作AU8,即AU8={xkeA,或

(3)补集：对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合

4相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作［(M，即［M={Mx£U,且KA}.

求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集“，集合4其实是给定的条件.从全集U中

取出集合A的全部元素，轲下的元素构成的集合即为［匕氏

二、常用结论

(1)子集的性质：4£4，0口入，AQBQA,ACiBEB

(2)交集的性质：AC\A=A,AD0=。，AQB=BC\A.

(3)并集的性质：AUB=8UA,AUB^A,AUA=A,AU0=0UA=A.

(4)补集的性质:AU［bA=U,AC\［uA=0fCtXCM)=A,1Mu。,-0=4.

(5)含有〃个元素的集合共有2”个子集，其中有2”—1个真子集，2”一1个非空子集.

⑹等价关系：An8=A=4q&AU8=A=A38

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件

一、基础知识

1.命题的概念

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫

做真命题，判断为假的语句叫做假命题.

一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模楂两可.

2.四种命题及其相互关系

3.充分条件、必要条件与充要条件

(1)如果〃=q,则〃是q的充分条件：

①A是6的充分不必要条件是指：且加4A;

②A的充分不必要条件是8是指：B=A且在解题中要弄清它们的区别，以免出

现错误.

(2)如果qnp,则〃是q的必要条件；

(3)如果既有pnq,又有q=p,记作〃oq,则p是q的充要条件.

充要关系与集合的子集之间的关系

设A={x|p(x)},8={Mq(x)},

①若AG&则〃是q的充分条件，q是p的必要条件.

②若4B,则〃是q的充分不必要条件，q是〃的必要不充分条件.

③若A=8,则〃是q的充要条件.

二、常用结论

1.四种命题中的等价关系

原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命

题进行证明.

2.等价转化法判断充分条件、必要条件

〃是q的充分不必要条件，等价于非q是非〃的充分不必要条件.其他情况以此类推.

第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

一、基础知识

1.简单的逻辑联结词

⑴命题中的“且卬或皿非9叫做逻辑联结词.

①用联结词“且”把命题〃和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作〃八q；

②用联结词"或''把命题〃和命题q联结起来，得到复合命题"p或q”，记作〃Vq；

③对命题〃的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作非〃❷

❶“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含

义是至少满足一个条件，"或''在集合中的解释为“并集"："非的含义是否定，“非p”只否定

p的结论，“非”在集合中的解释为“补集”.

❷“命题的否定”与“否命题”的区别

(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论.

(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一其一假，而否命题与原命题的真假无

必然联系.

(2)命题真值表:

PqpAqpVq非p

真真真真假

假真假真真

真假假真假

假假假假真

命题真假的判断口诀

“Vg—»•见真即真，一见假即假，〃与非一•真假才目反.

2.全称量词与存在量词

量词名称常见量词表示符号

全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等V

存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某人、有些、某些等3

3.全称命题与特称命题

命题名称命题结构命题简记

全称命题对M中任意一个X,有p(x)成立YxGM,p(x)

特称命题存在M中的一个x(),使p(xo)成立工xoWM,p(xo)

4.全称命题与特称命题的否定

命题命题的否定

PxGM,p(x)3x()^M,非p(xo)