高中数学知识点总结七：三角函数

创想教育个性化辅导讲义

教师姓

名：

;授课日期：

课时数：d2hash班型：口1府1辅导口精品小班

年月

日；星期；

上课时间：

教学计划编号

学生姓名年级科目

课程内容形式□新授课口习题课□知识串讲课□学工方法课口阶段性考试口讲评试卷

第一步：本讲知识要点及考点分析

本讲知识点标题难度分级考纲要求考频分级常考题型及高考占分

难度分级：容易、较易、一般、较难、困难考纲要求：了解、理解、掌握、灵活运用、综合运用

填写说明考频分级：必考、常考、高频、中频、低频常考题型与高考占分：近五年高考试题分析得出

考频分级：必考、常考、高频、中频、低频常考题型与高考占分：近五年高考试题分析得出

第二步：本讲专题知识梳理(教育理念：没有不好的学生，只有不会教的老师！)

三角函数

知识要点

1.①与团(0°0060°)终边相同的角的集合(角团与角团的终边重合)：团

②终边在x轴上的角的集合：回

③终边在y轴上的角的集合:(3

④终边在坐标轴上的角的集合:0

⑤终边在y=x轴上的角的集合:0

⑥终边在团轴上的角的集合:回

⑦若角团与角团的终边关于x轴对称，则角国与角色的关系:0

⑧若角团与角团的终边关于y轴对称，则角团与角团的关系:0

⑨若角圆与角回的终边在一•条直线上，则角团与角团的关系:团

⑩角团与角团的终边互相垂直，则角团与角团的关系:团

2.角度与弧度的互换关系：360°=20180°=01°=0.017451=5730°=57°18'

注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.

、弧度与角度互换公式：lrad=°和57.30°=57°18'.1°=40.()1745(rad)

3.弧长公式：.扇形面积公式：

4、三角函数：设是一个任意角，在的终边JL任取(异于原点的)一点P(x,y)P与原点H勺距离为r,

八则J•，.，.•，•・・

5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）

7.三角函数的定义域：定义域

三角函数

/(x)=sinx{x|xe/?)

f(x)=cosx

/(x)=tanx

x\xe/?ELvk7r+—7r,keZ

2

f(x)=cotx{x|xeR且r手k兀、kwZ、

f(x)=secx

x|xeRKx*k7r+—7r,keZ

2

/(x)=cscx{x|xeR且t工k7r,k^Z}

8,同角三角函数的基木关系式：

tanacota=1cscasina=Isecacosa=I

sin2a+cos2a=1sec2a-tan2a=1esc2or-cot2a=1

9、诱导公式:

“奇变偶不变，符号看象限”

10、三角函数的公式：

（•）基本关系

公式组一公式组二公式组三

sinx

sinv,csc.v=ltanv=sin2.v+cos2.v=1sin(2^+x)=sinxsin(-x)=-sinx

COSA'

cos(2出1+x)=cosxcos(-x)=cosX

cosx

cosx,secv=1coe1+tan2x=sec2.rtan(2既+x)=tanxtan(-x)=--tanx

sin.r

cot(2^+x)=cotxcot(-A)=--cotX

tanv,cotv=11+cot2.v=csc?x

公式组四公式组五公式组六

sin[;r+x)=-sinxsin(2^-x)=-sinxsin(^-.v)=sinx

cos(^+x)=-cosxcos(2^--.r)=cosxcos(4一x)=-cosx

tan(^+A)=tanxtan(2^--x)=-tanxtan(^--x)=-tanx

cot(^+x)=cotxcot(2^-x)=-cotxcot(^-A)=-cotx

（二）角与角之间的互换

公式组一公式组二

cos(a+/?)=cosacos/?-sinasinpsin勿=2sinacosa

cos(a-/?)=cosacosQ+sinasin0cos勿=cos~ar-sina=2cos-a-\=1-2sin-a

-2tana

sin(a+/)=sinacosp+cosasinptan2a=-------------

l-tan-a

・a.11-cosaa,/I+cosa

sin。-/?)=sincrcos(3-cosorsinpSin~2="V-2-C°ST="V-2―

tan（a+tan（2^tan//«_+Jl-cosa二sina=1一cosa

1-tanatan/?T-Vl+cos<z-1+cosa-sina

/小tan。Tan/?

tan（a一1）=------------

1+tanatan0

公式组三

,2a

2tan-l-tanw—2tan-

_______2_2

sina二=cosa=---------IclllCl-

,7a.2a.2a

I+lan1+tan—1-tan—

222

.--,瓜+

\**6-V2ICtan15°=8175'=2-J3tan75=cot15=2+、G

sin15'=cos75=------------sin75=cosl5=-------------

4

公式组四

aa+,a-P

sina+sin°-2sin^cos———cosa+cos/?=2cos-----cos....-

..々（AP.a-fl22

cos……2si—sinf

sina-sinp=2cos---sin---

公式组五

sin（^7T+a）=uosczsin（T乃一a）=cos。tang7r+a）=-cot（z

11.三角函数图像性质

①由与团的单调性正好相反；回与回的单调性也同样相反「•般地，若团在回上递增（减），则团在团上递减（增）.

②尸忖nx|与y=|cos.q的周期是不.

③），二sin（on:+w）或y=cos（（ar+e）（。工0）的周期丁二=.

团假周期为20（0,如图，翻折无效）.

@0的对称轴方程是回（0）,对称中心（团）；团的对称轴方程是团（0）,对称中心（0）;团的对称中心（回）.

y=cos2x—^^y=-cos（-2.v）=-cos2x

⑤当tana-tan=I,a-\-p=k^+—（kwZ）；tana-tan/?=-1,a-J3=k^+—（keZ）.

22

⑥国与回是同一函数，而回是偶函数，则

y=（<uv+夕）=sui（6uv++g开）=±cos（tuv）-

⑦函数回在团上为增函数.（X）［只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域，回为增函数，同样也是错误

的］.

⑧定义域关于原点对称是因具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：-是定义域关于原点对称

（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：团，奇函数:同）

奇偶性的单调性：奇同偶反.例如:团是奇函数，团是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）

奇函数特有性质：若团的定义域，则团一定有团.（团的定义域，则无此性质）

▲

⑨丫=sinW不是周期函数；>=忖1）可为周期函数（7=不）；

），=co职是周期函数（如图）；），=|COSA|为周期函数（T二%，i

回的周期为团（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如:

y=f（x）=5=f（x+k）,keR.

⑩y=acosa+/?sin°=Ha工b，sin（a+e）+cos0=2有y/u£+b2>|jj.

a'

12.三角函数图像变换

三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等.

函数y=Asin（3X+6）的振幅|A|,周期以频率团相位团初相回（即当x=0时的相位）.（当A>0,3

>0时以上公式可去绝对值符号），

由y=sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|>1）或缩短（当OV|A|<1）到原来

的|A|倍，得到y=Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换.（用y/A替换y）

由y=sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0<|w|<1）或缩短到原来的（3

倍，得到y=sin3x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换.（用3x替换x）

由y=sinx的图象上所有的点向左（当小>0）或向右（当。<0）平行移动I01个单位，得到y=sin

（x+6）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移.（用x+④替换x）

由y=sinx的图象上所有的点向上（当b>0）或向下（当b<0）平行移动IbI个单位，得至Uy=sinx+b的

图象叫做沿y轴方向的平移.（用y+（-b）替换y）

由旷=4口的图象利用图象变换作函数y=Asin（u）x+（D）（A>0,u）>0）（xGR）的图象，要特别注意：当

周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。

难点解析

一、反三角函数.

L反三角函数：⑴反正弦函数（3是奇函数，故（3,0（一定要注明定义域，若胤没有团与团一一对应，故团无反函

数）

0,同13.

⑵反余弦函数团非奇非偶，但有团，团.

①团团,0.

②回是偶函数，团非奇非偶，而回和团为奇函数.

⑶反正切函数:团，定义域0,值域（加，（3是奇函数，

0,03.

0,画.

⑷反余切函数:外定义域0,值域（闭），13是非奇非偶.

0,国.

①同盟.

②回与回互为奇函数，回同理为奇而团与团非奇非偶但满足且

二、三角恒等式.

组一,、、

sin2n+lasin3a=3sintz-4sin3asin2a-sin2ft=sin（a+^）sin（a-/?）

cosacos2acos4a...cos2a=——

2,,+sinacos3c?=4cos3a-3cosa=cos2/?-cos2a

组二

aaaaasina

cos--cos—cos—cos-cos—=-----------

n7*24«a

《,「、――,小〃)

>cos(x+kdJ)=cosx+cos(.v+")+・•,+cos(.¥+nd)=-s-i-n-(-(--"-+---l-)-"-)-c--o-s--(-x--+---"--

&sind

0./,八../八.，八sin((w+l)J)sin(x+??J)

/sin(x+kd)=sinx+sm(x+△)+•••+sin(x+na)=---------------------------

代Jt=<)sind

tan(a+/?+/)-tana+tan尸+tany-tanatan力tany

1-tanatan0-tan0tany—tanytana

组三三角函数不等式

sinx<x<tanX,XG((),—)/⑶=把上在(0,乃)上是减函数

2x

若鹭则近

若A+3+C=4,贝！Jx2+,)-2+22>2cosA+2xzcosB+2xycosC

第三步：例题精讲(必考题型、常考题型、典型题型)

山东(17)已知函数回，其图象过点(般后).

(I)求°的值；

(II)将函数团的图象上各点的横坐标缩短到原来的胤纵坐标不变，得到函数团的图象，求函数团在［0,胤上的

最大值和最小值.

新课标(9)已知w>0,函数f(x)=sin(wx+团)在(团，兀)单调递减。则At的取值范围是

CA)<C)(O,i)((»(0；21

(1；(18)已知a.b.c分别为AABC三个内角A,B,C的对边E

⑵求A

⑶若a=2,Z\ABC的面积为5'求b,c

浙江(4)设胤则“团”是“回”的

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件

(11)函数/(x)=sin(2x--)-2&sin2x的最小正周期是___________________

4

<18)在2\ABC中，角A.B.C所对的边分别为a,b,c.已知国

⑴求sinC的值；

(II)当a=2.2sinA=sinC时.求b及c的长.

陕西3.对于函数，下列选项中正确的是(B)

(A)f(x)在(，)上是递增的(B)的图像关于原点对称

(C)/(X)的最小正周期为27(D)/(X)的最大值为2

13、17.如图，A,E1B是海面上位于东西方向相聚5(3+0)海回里的两个观测点，现位于A点北偏东45°,B

点北偏西60°且与B点相距回海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达

到D点需要多长时间？

14、江苏10、定义在区间团上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的