高中数学圆锥曲线方程知识点总结

§8.圆锥曲线方程知识要点

一、椭圆方程

1.椭圆方程的第一定义：平面内与两个定点Fi.Fz的距离的和等于定长定长通常等于2a,且2a>FR

的点的物迹叫椭圆；

1①椭圆的标准方程：i.中心在原点,焦点在x轴上：上+匚=](//-0).

a2b1

ii.中心在原点,焦点在y轴上：zi+2i=1(«>/,>0)-

a2b2

注：A.以上方程中的大小。>b>0,其中从=a2-c2；

2222

B.在二+5=1和与+三=1两个方程中都有。>〃>0的条件，要分清焦点的位置.，只要看产

a-b~h-

和)3的分母的大小；

②一般方程：Ax2+By2=1(4A0,8a0).

③椭圆的标准方程：£+A=l的参数方程为I"=一象限。应是属于OYJYX.

a2b2[y=/?sin02

⑵椭圆的性质

①顶点：(±a,O)(O,±Z?)或(0,士“)(士b,0).

②轴：对称轴：x釉，>轴；长轴长久，短轴长2A.

③焦点：(-c,O)(c,O)或(0-c)(0,c).

④焦距；巴尸21=2c,c=Ja2-b

⑤准线：x=±U或），=±Q.

cc

⑥离心率：e=£（0Yey1）.a>c>0,，（）<eV1,且e越接近1,c就越接近〃，从而〃就越小，

a

对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0,c就越接近于0,从而〃越接近于。，这时椭圆越接近于圆；当且

仅当。〃时，c=0,两焦点重合,图形变为圆,方程为x2+/=a2;

⑦焦点半径：

i.设P（Xo，>o）为椭圆W■+本■=1（。Ab>。）上的-■点，尸1，尸2为左、右焦点，则|p尸］|=。+'0，归户21=。一监）n

ii.设P（Xo，No）为椭圆鸟+耳=1（）八0）上的一点，入尸2为上、下焦点，则归田=々+/0，|尸尸2|=1-吸=>

b~ci

由椭圆第二定义可知：［pF.=^（x0+—）=a+f.v0（.r0^0）,|/?F2|=e（--x0）=e.xt-a（xQ>-0）归结起来为"左加右

减”.

注意：椭圆参数方程的推导：得"（〃©（«。，〃而防一方程的轨迹为椭圆.

⑧通径：垂直于X轴且过焦点的弦叫做通径.坐标：

craa

⑨焦点三角形的面积：若P是椭圆：0+4=1上的点.为焦点，若々尸2=夕，则"尸尸2

a2b2

的面积为庐⑦心用余弦定理与|PFj+|PQ|=2a可得;若是双曲线，则面积为*col，

9

（3）

（4）共离心率的椭圆系的方程：椭圆三+二=1（心/>0）的离心率是0=£（。=必芸），方程

a2b2a

4/是大于0的参数，。>人》0）的离心率也是。=£我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.

Jh2a

2.

3.椭圆的第二定义：平面内到定点F的距离和它到一条定直线LF不在L上的距离的比为常数

eOvev1的点的轨迹叫做椭圆:其中定点F为椭圆的焦点,定直线L为椭圆焦点F相应的准线；

二、双曲线方程

I.

2.双曲线的第一定义:平面内到到两个定点RE的差的绝对值等于定长定长通常等于2a,且2a<FFz

的点的轨迹叫做双曲线；II11=2a;

PFX\-\PF2

⑴①双曲线标准方程：4-4=0)X-4=1(以力a0).

a?b1a2b2

一般方程：AV2+Q'2=K>4C^O).

⑵①i.焦点在*轴上:

准线方程x=±C渐近线方程:

顶点:(a,O),(-a,O)焦点:(c.O),(-f,O)»0或］.1=0

C

ii.焦点在.y轴上:

顶点：(0,-幻,(0,〃).焦点：(O,c),(O-c).准线方程：y=±—.渐近线方程：2±±=0或

cab

x—asec0x—btan0

»。，参数方程:或,

y=bianOy=asec

②轴x,y为对称轴，实轴长为2a,虚轴长为2b,焦距2c.

③离心率e-—.

a

夕

④准线距"2两准线的距离；通径二二.

ca

⑤参数关系c2=a2+b2,e=—.

a

22

⑥焦点半径公式：对于双曲线方程5r-二v二1

a-b-

分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下隹点

“长加短减”原则：与椭圆隹半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号

A.定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线;定义式：a=b；

B.等轴双曲线的性质：1渐近线方程为：），二士x；2渐近线互相垂直;

C.注意到等轴双曲线的特征〃=则等轴双曲线可以设为：工2一）户二；1（/1=（）），当/1>0时交

点在x轴，当2<。时焦点在），轴上;

⑷共规双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共规双曲

线.与互为共枕双曲线，它们具有共同的渐近线：

a2h2a2b24a2-4h=2°-

⑸共渐近线的双曲线系方程：士-三二〃％。。）的渐近线方程为£-==0如果双曲线的渐近线为

/b2a2b-

£±2=0时，它的双曲线方程可设为£-==44=0）.

aba1b1

例如：若双曲线一条渐近线为），=3工且过M3,-义），求双曲线的方程

解：令双曲线的方程为：（人孙工0）,代入（3,4）得.与二1.

2.双曲线的第二定义:平面内到定点F的距离和它到一条定直线LF不在L上的距离的比为常数ee>l

的点的轨迹叫做双曲线;其中定点F为双曲线的焦点,定直线L为双曲线焦点F相应的准线；

三、抛物线方程

1抛物线的概念

平面内与一定点F和一条定直线/的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F不在定直线）上;定点

F叫做抛物线的焦点，定直线/叫做抛物线的准线；

方程y2=2px（〃>0）叫做抛物线的标准方程;

注意：它表示的抛物线的焦点在X轴的正半轴上，焦点坐标是F“，0,它的准线方程是x=-K；

22

2抛物线的性质

设〃>0,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:

图形

隹八、、占/.、、

准线方程

范围

对称轴X轴、轴

顶点0,0

离心率

焦半径

通径2P2P2p2p

焦点弦X1.X2-PX1+X2-Pyp

注：

①通径过焦点且垂直于坐标轴的线段为2p,这是过焦点的所有弦中最短的.

x=2p/或

了2=2/xv或/=2py的参数方程为<

y=2m

四、圆锥曲线的统一定义

1.圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线/的距离之比为常数e的点的轨迹.

当0Y6Y1时,轨迹为椭圆；当6=1时，轨迹为抛物线；当0A1时，轨迹为双曲线；当6=0时，轨迹为圆

e=—,当c=0,a=力吐弦长公式|A目=J1+/1^|-x2|=J(1—42々］

2.椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

椭圆双曲线抛物线

1.到两定点&下2的距离之

1.到两定点为下2的距离之差的

和为定值2a2a>|FR|的点

绝对值为定值2aO<2a<|FiF|的

的轨迹2与定点和直线的距离相等的

定义点的轨迹

2.与定点和直线的距离之点的轨迹.

2.与定点和直线的距离之比为

比为定值。的点的轨

定值e的点的轨迹.e>l

迹

点集：｛M11MF1+1MF1点集：｛M11MF,1-1MF1.点集｛M11MF1-点M到直

轨迹条件22

=2a,1FM1<2a).=±2a,11>2a｝.线1的距离｝.

图形

方标准x2y2x2y2

-zp-+■f=1a>b-j—-1a>0,b>0

程方程a~b~crb~

参数卜二”rt为参数

方程［），=2pt

范围—axa,—byb|x|a,yRx0

中心原点30.0原点00.0

a,0,一a,0,0,b,0,一

顶点a,0,—a,00,0

b

x轴,y轴；x轴,y轴；

对称轴X轴

长轴长2a,短轴长2b实轴长2a,虚轴长2b.

焦点

Eic,(),FLC,()FiC,(),F2—c,()

0

T

x=±—x=±—

Cc2

准线

准线与焦点位于顶点两侧，

准线垂直于长轴，且在椭圆准线垂直于实地，且在两顶点的

且到顶点的距离相等.

外.