高中数学第二章随机变量及其分布3.1离散型随机变量的均值学案新人教A版选修2-

离散型随机变量的均值

1.理解离散型随机变成的均假和方差的意义和性质.会根据高腋用随机变址的分布列求出均(代及方式.(立观想象、数

学

习学运算)

目

标2.掌握两点分化二项分作的均值和力差的求法.(教学抽象、数学运⑴

3.会利用离散徵随机变址的均值和力差解决•些相关的实际问题.(数学建模、数学运算)

基础认知-自主学习

1.离散型随机变量的均值是怎样定义的？有怎样的意义和性质？2.两点分布

导思

和二项分布的均值公式有怎样的形式？

1.离散型随机变量的均值及其性质

(D离散型随机变量的均值或数学期望：

一般地，若离散型随机变量X的分布列为

XX)X2•••Xi•♦•Xn

••♦・♦♦

PPiP2PiPn

①数学期望E(X)=Xlpl+X2P2~|-------!~XiPi~l----------FXrpn.

②数学期望的含义：反映了离散型随机变量取值的平均水平.

⑵均值的性质：

若Y=aX+b,其中a,b为常数，X是随机变量，

①Y也是随机变量；②E(aX+b)=aE(X)+b.

♦思考

(1)离散型随机变量的均值与样本平均值有什么区别与联系？

提示：①区别：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个

随机变量，它随样小抽取的不I可而变化.

②联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值.

(2)离散型随机变量的均值能否离开其分布列而独立存在？

提示：不能，离散型随机变后的计算离不开分布列.

2.两点分布、二项分布的均值

(I)两点分布：若X服从两点分布，则E(X)=R

(2)二项分布：若X〜B(n,p),则E(X)=pp.

♦思考

(1)两点分布可以看作特殊的二项分布吗？两者的均值有何联系？

提示：二项分布试验中，若试验的结果有。和1时，可以看作两点分布，故二项分布的均值

中当n=l时，其均值即为两点分布的均值.

⑵试证明二项分布的均值E(4)=np.

提示：因为PG=k)=C：pYl—p)ni=c：pkq"-k,

所以EQ)=OXC：pV+lXC；p，qn~，+2XC"p2qn-24--+kXC"炉十一+…+nXC：p''q(，.

又因为京=心口(；：k)厂=(「1)!，(：；「—'(1)]!=nC：1\所以

E(g)=npX(C：_ip°q…+C：TpqnM------k

r，k-lk-1(n-l)-(k-l)।I«n-1n-lQ\/i\n-1

Cn-(Pq+•••+&_]pq)=np(p+q)=np.

所以E(C)=np.

<<基础小测f

1.辨析记忆(对的打“，错的打“X”)

(1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化.(X)

(2)随机变量的均值反映样本的平均水平.(X)

(3)若随机变量X的数学期望E(X)=2,则E(2X)=4.(V)

⑷随机变量X的均值E(X)=X'+"+…f”.(X)

n

提示：(1)随机变量的数学期望E(X)是个常量，是随机变量X本身固有的一个数字特征.

(2)随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平.

(3)由均值的性质可知.

(4)因为E(X)=X]P1+X2P2+・・・+XnPn.

2.若X的分布列为下图，则E(X)=()

X01

1

Pa

5

,.1414

【解析】7+a=l,所以a=£,E(X)=0X-+a=a=-.

3.(教材练习改编)节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没

有卖出的鲜花以每束1.6元处理.根据前5年节日期间对这种鲜花需求量，(束)的统计(如

下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是________元.

€200300400500

P0.35

【解析】节日期间这种鲜花需求量的均值为E（€）=200X0.20+300X0.35+400X0.30+

500X0.15=340（束）.

设利润为n,则q=5；+1.6X（500-0-500X2.5=3.4C-450,所以E（n）=3.4E（；）

-450=3.4X340-450=706（元）.

答案：706

能力形成-合作探究

类型一求离散型随机变量的均值(直观想象、数学运算)

角度1离散型随机变量均值的性质

【典例】已知随机变量X的分布列为:

X-2-1012

\_1

PIT

43520

若Y=-2X,则E(Y)=.

【思路导引】注意随机变量Y与随机变量X之间的关系，再利用离散型随机变量均值的性质

求

【解析】由随机变量分布列的性质，得

7+〈+7+m+*=1,解得，所以E(X)=(-2)XJ+(—1)x1+0Xg+ix|

430ZUb4DOO

+2xJ=一磊.由Y=-2X,得E(Y)=-2E(X),即E(Y)=—2x(一青=77-

ZU3U\JU,lb

答案：7Z

lo

变式探究

1.本例条件不变，若Y=2X—3,求E(Y).

17

【解析】由公式E(aX+b)=aE(X)+b,E(X)=--得,E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3=

2X((一1引7A-3=一162.

2.本例条件不变，若Z=aX+3,且E(g)=一2,求a的值.

【解析】因为E(g)=E(aX+3)=aE(X)+3

1711

=­a4-3=---,所以a=15.

JU乙

角度2

【典例】1.某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中1()环得0分.已知他击中

10环的概率为0.8,则射击一次得分X的期望是()

A.0.2B.0.8C.1D.0

【思路导引】1.可依据期望的定义直接求解.

【解析】1.选B.因为P(X=l)=0.8,P(X=0)=0.2,

所以E(X)=1X0.8+0X02=0.8.

2.袋中有4个红球，3个白球，从袋中随机取出4个球.设取出一个红球得2分，取出一

个白球得1分，试求得分X的均值.

【思路导引】2.可先求随机变量的概率分布列，再求均值.

【解析】2.得分X的所有可能取值为5,6,7,8.X=5时，表示取出1个红球3个白球，

C；C；4

此时P(X=5)=F-=-；

X=6时，表示取出2个红球2个白球，

r2r2ior3r1

此时P(X=6)=3A=—；X=7时，表示取出3个红球1个白球，此时P(X=7)=+

C7eDC7

12•

35'

C：1

X=8时，表示取出4个红球.此时P(X=8)=k=—.

C735

所以X的分布列为

X5678

418121

P

35353535

…4,18.12,144

所以E(X)=5X记+6X-+7X-+8X-=不.

解题策略

1.求随机变量X的均值的方法和步骤

(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值.

(2)求出X取每个值的概率P(X=k).

⑶写出X的分布列.

(4)利用均值的定义求E(X).

2.若给出的随机变量€与X的关系为€=aX+b,(a,b)为常数，求E(，)的两种思路：

一是先求出E(X),再利用公式E(aX+b)=aE(X)+b求三(，).二是利用X的分布列得到€

的分布列，关键由X的取值计算&的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(&).

题组训练

1.某班有"的学生数学成绩优秀，如果从班中随机找出5名学生，那么其中数学成绩优秀

的学生数1〜B(5,I],则E(T)的值为(

)

15

【解析】选D.因为E(g)=5X1=-,

5

所以E(—W)=—E(g)=-7.

2.(2020•浙江高考)一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放

回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为，，则P(3=0)=；E(4)=.

【解析】由题知，随机取出红球的概率为；，随机取出绿球的概率为牛，随机取出黄球的概

率就，

€的取值情况共有0,1,2,P(1=0)=[+[x|=1,

,「、1I.I21,1111“、111,111

P(€=1)=-x-+-x-x-+-x-x-=-,P(l=2)=-x-x-+-x-x-+

乙JJ乙乙J乙J乙J乙乙J乙

111,1211…、1.1

5x-x-+-x-X-=-,所以E(，)=1X^H-2X-=1.

答案：I1

3.某地最近出台一项机均车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机

会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止.如

果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9,求

在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的均值.

【解析】X的取值分别为1,2,3,4.

X=l,表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P(X=l)=0.6.X=2,表明李明在第一次

考试未通过，第二次通过了，

故P(X=2)=(1-0.6)XG.7=0.28.

X=3,表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，

故P(X=3)=(1—().6)X(1—0.7)X0.8=0.()96.

X=4,表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P(X=4;=(1-0.6)X(1-0.7)X(1-0.8)

=0.024.

所以李明一年内参加考试次数X的分布列为

X1234

P

所以X的均值为E(X)=1XO.6+2X0.28+3X0.096+4X0.024=1.544.

I口副【补偿训练】

1.已知随机变量&和n,其中n=12&+7,且E(n)=34,若&的分布列如下表，则m

的值为()

€1234

11

P

4mn12

则E(n)=12E(g)+7,

即E(n)=12(lX；+2Xm+3Xn+4X，]+7=34.

511

所以2m+3n=a①，又彳+m+n+—=1,

21

所以m+n=~②，由①②可解得m=-.

JJ

2.若X是一个随机变量,求E(X-E(X))的值.

【解析】因为E(aX+b)=aE(X)+b,而E(X)为常数,所以E(X—E(X))=E(X)—E(X)=0.

类型二两点分布和二项分布的均值(数学抽象、数学运算)

题组训练

1.若随机变量&〜B(n,0.6),且E(5)=3,则P(&=1)的值为()

•15

H

【解析】1.选C.因为€〜B(n,0.6),所以E(，)=nX0.6,故有0.6n=3,解得n=5.P(g

=D=C；M

2.(2021•兰州高二检测)某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1000粒,对于没

有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为L则X的数学期望为.

A.100B.200C.3001).400

【解析】2.由题意可知，不发芽的种子数记为Y服从二项分布，即Y〜B(10()0,0.1),所

以E(Y)=1000X0.1=1CO,

所以X的数学期望E(X)=2XE(Y)=200.

答案：200

3.某运动员投篮命中率为p=0.6.

(1)求投篮1次时命中次数X的均值.

(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的均值.

【解析】3.(1)投篮1次，命中次数X的分布列如表：

X01

P

则E(X)=0.6.

(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布,

即Y〜B(5,0.6),贝ijE(Y：)=np=5X0.6=3.

解题策略

1.常见的两种分布的均值

设P为一次试验中成功的概率，则

(1)两点分布:E(X)=p；(2)二项分布：E(X)=np.

熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度.

2.两点分布与二项分布的辨析

(D相同点：一次试验中要么发生，要么不发生.

(2)不同点：①随机变量的取值不同，两点分布中随机变量的取值为0,1,二项分布中随机

变量的取值为x=0,1,2,…，n.

②试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验.

【补偿训练】

“ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小

时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款(不接受挑战)，并且不能重复参加该活动，若被邀

请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外

3个人参与这项活动.假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响.

(1)若某被邀请者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑

战的概率是多少？

⑵假定(1)中被邀请到的3个人中恰有2个人接受挑战，根据活动如定，现记X为接下来被

邀请到的6个人中接受挑战的人数，求X的分布列和均值.

【解析】(】)因为每个人接受挑战和不接受挑战是等可能的，所以每个人接受挑战的概率是

|，不接受挑战的概率也是J.设事件M为“这3个人中至少有2个人接受挑战”，则P(M)

=c；X图2/+c；xg|3=1.

(2)因为X为接下来被邀请的6个人中接受挑战的人数，所以X〜B1,,P(X=O)=C°

X©6$,

P(X=D=C：x(3X。5/,

P(X=2)=C：xgj2xQ)4=g,

P(X=3)=C：X(33xQj34.

P(X=4)=CX@4X02.

p(X=5)=喧X@/,

P(X=6)=CfiX(g)=—,所以X的分布列为

X0123456

131551531

P

64326416643264

3]55|53

所以E(X)=OX;?Y+1XTT+2X—+3X-1-+4X—+5XTT+6X—=3.

o4cZbllbbloZ04

类型三均值的应用(数据分析、数学运算)

【典例】随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三

等品20件，次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1

万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.

(D求X的分布列.

⑵求1件产品的平均利润(即X的均值).

(3)经过技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%,一等品率提高为70%,如果

此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？

四步内容

条件:随机抽取200件，已知各个等级产品的件数和

理解

利润数.

题意

结论:求分布列、平均利润和三等品率.

根据利润的意义

写出X的J卜伍歹IJ

思路写出X的取值

探求利用期望

求出均值E(X)

回答问题

(DX的所有可能取值有6,2,1,—2.

P(X=6)=烯=0.63,P(X=2)=天=0.25,P(X

乙\/乙\八，

204

=1)=而5=°,2)=去加=0.02.故X的

乙V/J乙\J\J

分布列为：

X621-2

P0.630.250.10.02

15

写(2)E(X)=6X0.63+2X0.25+1X0,l+(-2)X

表0.02=4.34.

达(3)设技术革新后的三等品率为了，则此时1件产品

的平均利润为E(X)=6X0,7+2X(l-0.7-0.01

—7)+1Xi+(—2)XO.01=4.76—z(0QW

0.29).依题意，E(X)》4.73,即4.76一44・73,

解得才W().03,所以三等品率最多为3%.

注意书写的规范性：

①X的所有可能取值有6,2,1,—2.

②正确表达出E(X)>4.73是关键.

题后在写出分布列时，正确求出随机变量的取值是解决

反思此类题的关键.

解题策略

i.实际生活中的均值问题

均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测、消费预测、工程方案的预测、

产品合格率的预测、投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计.

2.概率模型的三个解答步骤

(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些.

(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值.

(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论.

。跟踪训练1

I.甲、乙两台自动车床生产同种标准件，&表示甲车庆生产I000件产品中的次品数，«1

表示乙车床生产1000件产品中的次品数，经一段时间考察，g,n的分布列分别是：

0123

P

n0123

p0

据此判定()

A.甲比乙质量好B.乙比甲质量好

C.甲与乙质量相同D,无法判定

【解析】选A.E(，)=0E0.7+1X。1+2X01+3X01=0.6,

E(n)=oxo.5+1X0.34-2X0.2+3X0=0.7.

因为E(n)>E(g),故甲比乙质量好.

2

2.某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为可，

O

2

中奖可以获得2分：方案乙的中奖率怎，中奖可以获得3分；未中奖则不得分.每人有且

只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品.

(D若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X,求XW3的概率.

(2)若小明、小红两人都选择方案中或都选择方案乙进行抽奖，则他们选择何种方案抽奖，

累计得分的数学期望较大？

99

【解析】(1)由已知得小明中奖的概率为不，小红中奖的概率为两人中奖与否互不影响，

O0

记“这2人的累计得分XW3”为事件A,则事件A的对立事件为“X=5”，

22411

因为P(X=5)=-X-=-,所以P(A)=1-P(X=5)=/.所以这两人的累计得分XW3

o□!□!□

的概率为去

(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X”都选择方案乙抽奖中奖的次数为“，

则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X),选择方案乙抽奖累计得分的数学期

望为E(3X2).

由已知得片〜B(2,3,%〜B(2,|),

9494

所以E(X])=2X^=-,E(X2)=2X-=-.

oio

所以E(2XJ=2E(X])=鼻>E(3X2)=3E(X?)==.

因为E(2XJ>E(3)Q,所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大.

学情诊断•课堂测评

1.若随机变量X的分布列如下表，则E(X)=()

X012345

P2x3x7x2x3xX

11c20

A.而B.