高中数学复习系列-数列常见题型总结

高中数学复习系列一数列（常见、常考题型总结）含答案

题型一：求值类的计算题（多关于等差等比数列）

A）根据基本量求解（方程的思想）

1、已知S„为等差数列｛〃”｝的前〃项和，4=9,为=-6,S“=63,求〃；

2、等差数列｛4｝中，。4=10且。寸%，4。成等比数列，求数列｛《｝前20项的和§20.

3、设｛%｝是公比为正数的等比数列，若q=l,%=16,求数列｛〃〃｝前7项的和.

4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37,中间两数之和为36,求这四个

数.

B）根据数列的性质求解（整体思想）

1、已知S〃为等差数列｛*｝的前〃项和，6/6=100,则S“=；

2、设S“、7；分别是等差数列｛%｝、｛册｝的前〃项和，*=口=，则兽=______.

T”〃+3b5

3、设S〃是等差数列｛*｝的前n项和，若幺=[则==（）

的9S$

4、等差数列｛〃“｝,｛么｝的前〃项和分别为S”，7；,若其则?=（）

Tn3〃+1bn

5、已知S〃为等差数列｛/｝的前〃项和，=/n,=n（nm）,则S,“+“=.

6、在正项等比数列｛%｝中，+2〃必+4%=25,则4+%=_____-。

7、已知数列｛5｝是等差数列，若4+%+4（）=17,4+%+综+…+生+%+《4=77且4=13,则

k=_________。

8、已知S”为等比数列｛%｝前〃项和，=54,名〃=60,则$3,=.

9、在等差数列｛%｝中，若$4=1下8=4,则《7+48+《9+〃2。的值为（）

1（）、在等比数列中，已知4+4（）=。3工0）,49+生（）=〃，则出9+4oo=-

11、已知｛/｝为等差数列，《5=8,。“=20,则由5=

12、等差数列｛凡｝中，已知兴二:，求率.二_____________________.

工3S]6

题型二：求数列通项公式：

A）给出前几项，求通项公式

l,0JA…一

1,3,6/（）,15,21,…，

3,-33,333,-3333,33333……

B）给出前n项和求通项公式

2M

1、（1）S„n=2n+3n'；（2）5n=3+1.

2、设数列｛4｝满足4+3%+3?/+…+3L&=-(HGN"),求数列｛a,｝的通项公式

C)给出递推公式求通项公式

a、⑴已知关系式勺川=。“+/(〃)，可利用迭加法或迭代法；

an=(〃”一《I)+(4i-。〃_2)+(4-2-an-3)+…+(%—/)+卬

例：已知数列｛%｝中，4=2,4=可“+2〃-1(〃22),求数列｛q｝的通项公式；

b、已知关系式。用=〃”"(〃)，可利用迭乘法—……生

an-\an-2ar-3。2

例、已知数列｛4｝满足：-^=—(n>2),«1=2,求求数列｛〃”｝的通项公式；

%〃+1

c、构造新数列

1°递推关系形如“。川=〃a〃+q”，利用待定系数法求解

例、己知数列｛%｝中，卬=1,=2%+3,求数歹ij｛%｝的通项公式.

2°递推关系形如“，两边同除“向或待定系数法求解

例、=1,%”=2%十3",求数列｛/｝的通项公式.

30递推已知数列［“｝中，关系形如“。”+2=〃•《山+。凡”，利用待定系数法求解

例、已知数列｛%｝中，4=1,%=2,册+2=3外”一2an,求数歹ij｛a„｝的通项公式.

4°递推关系形如“一〃〃小qwO),两边同除以〃

例1、已知数列｛af,｝中，alt--=2atlan_Sn>2),a1=2,求数歹ij｛%｝的通项公式.

例2、数列｛%｝中，q=2'=*-(〃£'+),求数列｛〃〃｝的通项公式.

4+%

d、给出关于S”和4的关系

例1、设数列｛〃,,｝的前〃项和为S“，已知q=S“+3”(〃£N+),设a=S〃-3”，

求数列也,｝的通项公式.

例2、设S”是数列｛〃”｝的前〃项和，a=l,S；=〃S“2).

⑴求“”｝的通项；

C

⑵设％二—^,求数列也,｝的前〃项和求.

2/2+1

题型三：证明数列是等差或等比数列

A)证明数列等差

C

例1、己知S”为等差数列｛*｝的前〃项和，2=3L(〃£N)求证：数列也“｝是等差数列.

例2、已知数列｛斯｝的前〃项和为，，且满足a“+2S”-S〃_尸0(〃N2),。尸L求证：｛*｝是等差数歹ij；

2S”

B)证明数列等比

例I、设｛小｝是等差数列，儿：求证：数列｛儿｝是等比数列；

例2、设S”为数列｛4｝的前〃项和，已知仇7〃一2"=1)S〃

⑴证明：当人=2时，｛/一〃・2"T｝是等比数列；⑵求｛q｝的通项公式

例3、已知数列｛〃“｝满足4=1,«2=3,%+2=3%+]-2a”(〃£N”).

⑴证明：数列｛。向一是等比数列；⑵求数列｛q｝的通项公式：

⑶若数列｛〃｝满足4"4犷...43=(4+1卢(〃eN)证明｛2｝是等差数列.

题型四：求数列的前n项和

基本方法：

A)公式法，

B)拆解求和法.

例1、求数列｛20+2〃-3｝的前〃项和S”.

例2、求数列1—,2—,3—4---)»••,的前n项和S.

2482”

例3、求和：2X5+3X6+4X7+—+n(n+3)

C)裂项相消法，数列的常见拆项有：一一一!—)；,\=V^T7-VJ?;

n(n+k)knn+k+l

例1、求和：S=1H------1---------1-…-l---------------

1+21+2+31+2+3+…+〃

例2、求和：-7=---1--7=---产+-7=---尸■1---1[--------7=•

J2+1J3+J2《44--\/3J/2+1+J/2

D)倒序相加法，

V2

例、设/(X)二一^,求：

|+X

⑴/Q)+/(1)+/(+)+/(2)+/(3)+/(4)；

⑵/(由)+-)+…+/G)+/④+/(2)+…+/(2009)+/(230).

E)错位相减法，

例、若数列｛明｝的通项/=(2〃-1)-3”,求此数列的前〃项和S..

F)对于数列等差和等比混合数列分组求和

例、已知数列｛a｝的前n项和SF12n-R求数列｛|&|｝的前〃项和T“

题型五：数列单调性最值问题

例1、数列｛%｝中，4=2〃-49,当数列｛〃”｝的前〃项和S”取得最小值时，〃=.

例2、已知S”为等差数列｛〃“｝的前〃项和，25,4=16.当〃为何值时，S”取得最大值；

2

例J3、数列｛〃“｝中，an=3/?-28,74-1,求〃“取最小值时〃的值.

2

例4、数列｛明｝中，an=/?-7/?+2,求数列｛〃.｝的最大项和最小项.

例5、设数列｛〃”｝的前〃项和为5“.已知4=。，c.=S”+3"，/IGN*.

(I)设”二S“—3”，求数列低｝的通项公式；(II)若％山2%,A?GN\求。的取值范围.

例6、已知S”为数列｛*｝的前〃项和，％=3,S“S〃T=2%(〃22).

⑴求数歹![〃｝的通项公式；

⑵数列｛%｝中是否存在正整数左，使得不等式《>。皿对任意不小于女的正整数都成立？若存在，求最小的正整数3

若不存在，说明理由.

例7、非等比数列｛q｝中，前〃项和斗=一；⑷一1A,

(1)求数列｛%｝的通项公式；

I