高中数学讲义-微专题43 线性规划

微专题43线性规划-----作图与求解

一、基础知识

I、相关术语：

（1）线性约束条件：关于变量X,），的一次不等式（或方程）组

（2）可行解：满足线性约束条件的解（％），）

（3）可行域：所有可行解组成的集合

（4）目标函数：关于X,），的函数解析式

（5）最优解：是目标函数取得最大值或最小值的可行解

2、如何在直角坐标系中作出可行域：

（1）先作出围成可行域的直线，利用“两点唯一确定一条直线”可选取直线上的两个特殊点

（比如坐标轴上的点），以便快速做出直线

（2）如何判断满足不等式的区域位于直线的哪一侧：一条曲线（或直线）将平面分成若干区

域，则在同一区域的点，所满足不等式的不等号方向相同，所以可用特殊值法，利用特殊点

判断其是否符合不等式，如果符合，则该特殊点所在区域均符合该不等式，具体来说有以下

三种情况：

①竖直线1二。或水平线y=可通过点的横（纵）坐标直接进行判断

②一般直线y=依十）（心工0）：可代入（0,0）点进行判断，若符合不等式，则原点所在区域

即为不等式表示区域，否则则为另一半区域。例如：不等式工-2），+340,代入（0,0）符合

不等式，则x—2），+3V0所表示区域为直线工一2,，+3=0的右下方

③过原点的直线丁=区（4工0）：无法代入（0,0）,可代入坐标轴上的特殊点予以解决，或者

利用象限进行判断。例如：y＜x：直线y=x穿过一、三象限，二、四象限分居直线两侧。

考虑第四象限的点x＞0,yv0,所以必有yWx,所以第四象限所在区域含在yWx表示的区

域之中。

（3）在作可行域时要注意边界是否能够取到：对于约束条件/（乂），）＞0（或尸（x,y）＜0）

边界不能取值时，在图像中边界用虚线表示；对于约束条件/（x,y）之（）（或尸（x,），）＜（））

边界能取值时，在图像中边界用实线表示

3、利用数形结合寻求最优解的一般步骤

（1）根据约束条件，在平面直角坐标系中作出可行域所弋表的区域

（2）确定目标函数z在式子中的几何意义，常见的几何意义有：（设。力为常数）

①线性表达式一一与纵截距相关：例如z=or+b，，则有》二一且工十三，从而z的取值与

bb

动直线的纵截距相关，要注意的符号，若人>0,则z的最大值与纵截距最大值相关；若

b〈0,则z的最大值与纵截距最小值相关。

②分式一一与斜率相关（分式）：例如z=£二2：可理解为z是可行域中的点（x,y）与定点

入CI

（。2）连线的斜率。

③含平方和一一与距离相关：例如z=（x—ay+（yy：可理解为z是可行域中的点

（x,y）与定点）距离的平方。

（3）根据z的意义寻找最优解，以及z的范围（或最值）

4、线性目标函数影响最优解选取的要素：当目标函数直线斜率与约束条件直线斜率符号相同

时，目标函数在线斜率与约束条件在线斜率的大小会影响最优解的选取。

x>0

y>0

例如：若变量乂），满足约束条件,则z=3x+4v的最大值等于_____

3x+2y<\2

x+2y<S

作出可行域如图所示，直线3x+2y=12的斜率勺=一|,直线x+2y=8的斜率区二一；，

FI标函数的斜率攵=-|,所以|七|<附<|修，所以在立移直线时，H标函数直线的倾斜程

度要介于两直线之间，从而可得到在A（2,3）取得最优解。但在作图中如果没有考虑斜率间的

联系，平移的直线比x+2y=8还要平，则会发现最优解在

8（0,4）处取得，以及若平移的直线比3x+2），=12还要陡,

则会发现最优解在。（4,0）处取得，都会造成错误。所以在

处理目标函数与约束条件的关系时，要观察斜率的大小，并

确定直线间“陡峭”程度的不同。

（I）在斜率符号相同的情况下：越大，则直线越“陡”

（2）在作图和平移直线的过程中，图像不必过于精确，但斜率符号相同的直线之间，陡峭程

度要与斜率绝对值大小关系一致，这样才能保证最优解选取的准确

（3）当目标函数的斜率与约束条件中的某条直线斜率相同时，有可能达到最值的最优解有无

数多个（位于可行域的边界上）

（4）当目标函数的斜率含参时，涉及到最优解选取的分类讨论，讨论通常以约束条件中同符

号的斜率作为分界点。

二、典型例题：

x+2y>0

例1：若变量满足约束条件，工-），《（）,则z=2x-y的最小值等于（）

x-2^+2>0

A.--B.-2C.--D.2

22

思路：按照约束条件作出可行域,可得图形为一个封5v/

闭的三角形区域，目标函数化为：y=2x—z,则z的3-

最小值即为动直线纵横距的最大值。目标函数的斜率/

大于约束条件的斜率，所以动直线斜向上且更陡。通55x

过平移可发现在A点处，纵假距最大。且-3-

-4~

x+2y=0（-5L

A:i?解得A-1,一，所以z=2x—>

x-2y+2=0k2）

的最小值z田=2-（-1）--=--

答案：A

x+y-2>0

例2：设变量满足约束条件<工-），一240,则目标函数z二:x+2y的最小值为（）

）21

A.2B.3C.4D.5

思路：作出目标函数的可行域，得到一个开放的区域，目标函

1z

数y=一一天+—，通过平移可得最优解为

22

1rx+）'—2=0/、——

A'\=>4（1』），所以Zmm=3

/、廿K

答案：B

X<1

例3：若变量x,y满足,则2=/+）/的最大值

x+y+2>0

为（）

A.MB.7C.9D.10

思路：目标函数z=x?+J?可视为点到原点距离的平方，所

只需求出可行域里距离原点最远的点即可，作出可行域，观察

得最远的点为A（l,—3）,所以2皿二|。4「=10

答案：D

2x-y-2<0

例4：设变量满足约束条件・x—2y+220,则

Af+y-l>0

5=24的取值范围是（）

X+1

31「11「1

A.1,—B.—,1C.[1,21D.—,2

2]\_2JL」\_2

思路：所求s=可视为点（％V）与定点（—1,—1）连线

的斜率。从而在可行域中寻找斜率的取值范围即可，可得

在（⑷处的斜率最小，即编二等《，在⑼

y+11

处的斜率最大，为心”结合图像可得s=—的范围为一,2

-o-(-i)x+1|_2

答案：D

x+y>0

例5：若实数X,），满足条件•工一），+120,则|x—3y|的最大值为

0<%<1

（）

A.6B.5C.4D.3

思路：设z=x-3y,则可先计算出z的范围，即可求出囱的最大值：y=^x-^z,则最

优解为A（l,-1）5（1,2）,所以z«—5,4],则|z1nm=5

答案：B

x-4y+3<0

例6：设。为坐标原点，点M的坐标为（2,1）,若点N（x,y）满足不等式组•2x+y-12W0,

A->1

则使OMON取得最大值的点N的个数有（）

A.1B.2C.3D.无数个

x+y>0

^x-2y+2>0,若z=2x—y的最大值为2,则实数

tnx-y<0

m等于（）

A.-2B.-1C.ID.2

思路：本题约束条件含参，考虑先处理常系数不等式，

作出图像，直线），=〃氏为绕原点旋转的直线，从图像

可观察出可行域为一个封闭三角形，目标函数y=2x-z,若z最大则动直线的纵截距最小，

,X—2y+2=0（22m）

可观察到A为最优解oA:\?=4------,------,则有

y=mx\2m-12m-1>

2OHI

z=2--------------=2,解得：m=\

2m-12tn-1

答案：C

小炼有话说：当线性约束条件含参数时，一方面可先处理常系数不等式，作出可行域的大致

范围，寻找参数变化时，可行域的共同特征；另一方面对含参数的直线确定是否过定点，在

变化中寻找区域的规律。找到共同的最优解所满足的方程，便可根据最值求出参数

X<]

例8：在约束条件，x-y+〃J2()下，若目标函数z=—2x+y的最大值不超过4,则实数〃7

x+y-\>0

的取值范围是()

A.(-6,6)B.[(),百]C.卜百,()]D.[-

思路：先做出常系数直线，动直线工-)，+62=。时注意到

11V>0,斜率为常数1,且发现国成的区域恒为一个三角形。

目标函数y=2x+z,通过图像可得最优解为

fx+)'—1=0J1W1।'

，=>A------,------,所以

x-y+m^=022)

1-m21+m'3、13)1

Zmax=一2F=—m~----,则一疗一一44解得:me-

2------2------2222

答案：D

x-y>0

例9：若变量满足约束条件・x+y«2,若z=or+y的最大值为4,则。=()

y>0

A.3B.2C.-2D.-3

思路：如图作出可行域，目标函数为y=—ar+z,由于。决定直线的方向，且约束条件中的

直线斜率有正有负。所以先考虑。的符号：

当一。>0=。vO时，此时与y=x的斜率进行比较：

若一1,则z的最大值为0,不符题曲；

若Ov—avln—lvqvO,则最优解为代入解得

a=3与初始范围矛盾，故舍去；当一av0=a>0时，左线与

工+y=2斜率进行比较：

若一。〈一1二>。>1,则最优解为8(2,0),代入解得。=2,符合题意

若。=1,可得z的最大值为2,不符题玄，舍去

若0>—〃>—l=0vavl,则最优解为A(l』)，代入解得。=3与初始范围矛盾，舍去

综上所述：a=2

答案：B

小炼有话说：(1)目标函数的直线陡峭程度不同，会导致最优解不同，所以当斜率含参时，

可在约束条件中寻找斜率与目标函数斜率同号的直线，则这些直线的斜率通常是分类讨论的

分界点。

(2)本题也可分别假设可行域3个顶点为最优解，求出a的值，再带入验证。

3x-y-2<0

例10：设式,丁满足约束条件,x-y20,若目标函

x>(),y>0

数z=ax+by[a>0力>0)的最大值为2,则千+[的最

小值是()

258

A.—B.-C.2D.4

63

思路：先做出可行域，目标函数

n7

z=ax+by=>y=—x+—，由。>()力>()可得直线的斜率为负，所以由图像可得最大值

bb

111(\1Y(人。、c

在(1,1)处取得，即2诙=。+〃=2,所以一+—=——+—(«+/7)=—2d---1—>2

ab2\,abj21ab)

答案：C

小炼有话说：本题判断出斜率为负是解题的关键，从而能迅速通过平移直线得到最优解，而

后与均值不等式结合求出最值

三、历年好题精选

x+y-2>()

1、(2016,衡阳联考)如果实数满足条件,则z=一^的最小侑为工，

--x+a2

y-2<0

则正数。的值为

x

2、(2014,温州中学三月考)已知实数尤y满足，则一的最小值是

y

x+5y>4-

m-nx+y>0

3、若点（1,1）在不等式组-〃y-4K（）所表示的平面区域内，则加2+〃2的取值范围是

ivc>3y-3m

x-y>0

整爰的取值范

4、（2016,南昌二中四月考）已知实数X,），满足，x4-y-5<0,则

「21

y2—xH—

44

围是________

x-y-2<0

5、设实数满足,x+2y-520，则〃=上一土的取值范围为（）

y

y-2<0x）

2x+y>4

6、设实数满足《x-yN-l,则2=工+丁为（）

x-2y<2

A.有最小值2,最大值3B.有最小值2,无最大值

C.有最大值3,无最小值D.既无最小值，也无最大值

x>0

），2x,则工+2），+3的最小值是（）

7、设X,），满足约束条件：•

X+1

4x+3y<12

A.2B.3C.4D.5

x+y-2>0

8^（2016,湖南师大附中月考）若实数x,y满足<y-x-1<0,设〃=x+2y,u=2x+y,

x<\

则人的最大值为（）

V

57

A.1B.—C.—D.2

45

x-），<0

9、（2015,北京）若满足<x+y<1,则z=x+2丁的最大值为（）

x>0

3

A.0B.1C.D.2

2

4x+5y>8

10、（2015,广东）若变量满足约束条件/,则z=3x+2y的最小值为（)

0<y<2

3123

A.——B.62.—D.4

55

x-l>0

则上的最大值为________

11、(2015,新课标1）若兀y满足约束条件•x-y<0,

X

x+y-4<0

答案：3

x-^+1>0

12、（2015,新课标II）若九y满足约束条件<x-2yW0，则z=x+y的最大值为

x+2y-2<0

x-y>0

13>（2015,山东）已知满足约束条件<x+y«2,若z=ar+y的最大值为4,则。=

^>0

A.3B.2C.-2D.-3

x+y-2>0

14、(2014,北京）若满足约束条件<kx-y+2>0,且2=），一%的最小值为々，则左

y>0

的值为（)

11

A.2B.-2C.-I).一一

22

习题答案：

1、答案：1

解析：根据约束条件画出可行域，可知时，Zmm=,即一L=J_n〃=l

y=\mln21+。2

2、答案：4

2

解析：设2=土，则有/=zy,则可知抛物线与不等式可行域有公共点，作出可行域，如图

y

可知当y=x-\与抛物线相切时，此时z取得最小值，联立方程

―="2M|Z=O,所以判别式A=Z2—4Z=0=Z=4

y=x-\

9

3、答案：—,61

10

tn-+y>0m-/7+1>0

解析：将（1,1）代入（2九丫-〃），一4«0可得：

♦2m一〃一440,作出可行域，+可视为

tix>3y-3m3/77+/2-3>0

点（也〃）到原点距离的平方。结合图像可知：（5,6）到原点距离最大，即（，/+〃2）2=61原

点到直线36+〃-3=0的距离为之叵，所以（〃/+/）=—

10''minIQ

135

4、答案:~9'3

22

(x+»+)，22xy

解析：z1+=1+——其中攵=2可视为（乂y）与（0,0）

x2+2y2x2+2y2X

1+22

x

连线的斜率，作出可行域，数形结合可得：直线），="与

尸%在笫一象限相切时‘人取得最大值’解得」日皿,

3X

9一

2N2I313

z=1+-----7=1+------,而Z£0,2]时，2k+—e2-9一

k

1+2《2k+；一

5、答案：C

vr1

解析：令/二2，作出可行域，可知，可视为（工），）,（0,0）连线的斜率，/F一,2

x3

且〃=，一！1为/£-,2关于，的增函数，所以〃£_83

t3一3'5

6、答案：B

解析：作出可行域（为开放区域），再平移直线），=-x+z即可得到z在（2,0）处达到最小值,

即zmin=2，但没有最大值

7、答案：B

解析：u=x+2y+3=]+2.21l,则Z=工里可视为可行域中的点（X,），）与（-1,-1）连

X+1X+IXI1

线的斜率，作出可行域可得：A:e[l,5],所以〃的最小值为3

8、答案：C

13

u2vx^oy+oy13Iv

解析：方法一：-=上x+上=—Z-2-=-+-•—!—,其中-为可行域中的点

v2x4-y2x+y222.—+[

v

与原点（0,0）连线斜率攵的倒数，作出可行域可知：）1G[1,3],所以土£

71,从而可计算

.u

出一£

V

2v-u

x=-----