高中数学新教材必修第二册第六章向量教案全高中数学新教材必修第二册第六章向量教案全部

第六章平面向量及其应用

6.1平面向量的概念

一、教学目标

1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平

行句量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.

2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数景的本质区别，培养学生数学抽象、逻辑推

理、直观想象等数学素养。

二、教学重难点

1.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.

2.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.

难点突破：借助原有的位移、力等物理概念米学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向

量、共线向量等概念.

三、课前准备

1.了解物理学中的矢量和标量；

2.了解有向线段的定义

四、教学过程

1、情景引入

一辆摩托车在公路向东向东快速行驶了一段距离,产生了一段位移,距离和位移一样吗？

【答案】摩托车行驶的路线实际上是有方向、有长短的量，距离和位移不一定一样.m

2、探索新知

(1)向量的实际背景与椒E念

问题1：位移与距离这两个量有什么区别？

【答案】距离只有大小，是标量；位移既有大小，又有方向，是矢量，。

向量与数量的定义：

只有大小，没有方向的量叫做数量(在物理学中称为标量).既有大小，又有方向的量叫做向量(在物理

学中称为矢量)；

注意：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小；而向量既有大小又有方向，向

量是不能比较大小的.

练习：判断下列量不是向量的选项是()

A.距离B.速度C.力D.密度

【答案】选AD

（2）向量的表示

问题：由于实数与数轴上的点一一对应，数量可以用数轴上的一个点来进行表示，那么向量是如何表示

呢？

有句线段的定义

以A为起点，B为终点，则线段AB具有方向，把这样具有方向的线段AB叫做有向线段.

如图，以A为起点、B为终点的有向线段记作AB.

线段AB的长度也叫做有向线段而的长度，记作|族|.

问迤：•条有向线段由哪些要素所确定？

【答案】起点、方向、长度.

向量的几何表示

（I）几何表示法：用有向线段的长度表示向量的大小，箭头

表示向量的方向。

A/行占'

（2）用字母等表示；

①用有向线段字母表示：AB（A为起点、B为终点）；

②用小写字母表示：4、B、c；（印刷用a,书写用4）

注意：

用有向线段表示向量时,起点的位置可以是任意的，所以向量与起点无关，规定数学中的向量具有自

由性.

4.句量的模

向量:茄的大小称为向量标的长度（或模），记作|君|或记住|）|。

思考：向量的模的取值范围？

【答案】非负数。

5.零向量：长度为。的向量叫零向量，记作6.

思考：6与。的含义与书写区别.

单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.

思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？

【答案】以原点为圆心，1为半径的圆

注意：（1）零向最的方向是任意的，单位向量的方向具体而定.

（2）向量是不能比较大小的，但向量的模（是非负数）是可以进行大小比较的.

（三）.相等向量与共线向量

1.平行向量定义：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量：②我们规定0与任一向量平行.

思考：若4,bHe,则〃〃c?

【答案】若时，则不成立

2.相等向量定义：

长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

说期：（I）零向量与零向量相等，但是两个单位向量不一定相等；（3）向量是否相等只与大小和方向

有关，与起点无关.

3.共线向量与平行向量关系：

如图所示,因为任一组平行向量都可移到同一直线上（向量具有自由性，与有向线段的起点无关），所

以平行向量就是共线向量.

a

b1r。_b_J_______

c»-CO~二7

巩固训练：填空：（对下列选项对的打4错的x）

（1）平行向量一定方」句相同（）

（2）不相等的向量一定不平行（）

（3）与零向量相等的向量必定是零向量？（）

（4）与任意向量都平行的向量是零向量？（）

（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是平行向量？（）

（6）两个非零向量相等的当且仅当长度相等且方向相同（)

（7）共线向量一定在同一直线上（)

【答案】(1)x(2)x(3)Y(4)7(5)7(6)7(7)x

例1.如图，设。是正六边形ABCDEF的中心，

（1）写出图中的共线向量；

（2）分别写出图中与向量苏、而、历相等的向量.

解：（1）3,通,方。厚是共线向量;3,5c,EO,而是共线向量;

OC,K,~ED,而是共线向量；

(2)OA=CB=DOiOB=DC=EQOC=AB=ED=FO；

例2.如图所示，4x3的矩形（每个小方格都是单位正方形），在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试

问:

8

（1）与前相等的向量共有几个；

（2）与人》方向相同且模为3^的向量共有几个;

分析:根据共线向量和相等向量的定义、以及模的计算和对正方形的对角线即可.

解:由题意可知，因为每个小方格都是单位正方形，

所以每个小正方形的对角线的长度为近且都与几平行，则八%=422+22=2夜,

（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量,

则与相等的向审:共有5个，如图1：

（2）与方向相同且模为34的向量共有2个，如图2.

BB

图1图2

点睛:本题考查共线向量和相等向量的定义，以及向量的模的计算，考查分析问题的能力和数形结合思想.

五、课堂小结

1.向量的概念；

2.向量的表示：代数表示、几何表示；

3.研究向量的两个方面：

大小：零向量、单位向量：

方向：共线向量、平行向量；

大小与方向：相等向量、相反向量

4.数学思想方法：数形结合、分类讨论(注意对。的讨论)。

六、课后作业

习题6.12,3题

六、课后反思

本节课是“平面向量及其应用”的起始课，依据数学课程改革应关注知识的发生和发展过程的理念，

因比在向量概念的引入过程中，从物理的角度创设问题情景，使学生明白研究向量不仅是数学本身发展的

必然，更是研究客观世界的需要，从而产生强烈的求知欲望。最后乂通过物理问题如何用数学的方式加以

解决，为学生理解向量的数量积以及向量在实际问题中的应用埋下伏笔。教学中还需注意以下三个方面：

(1)通过平面向量的概念形成让学生体会“平面向量具有集形与数于一身的特征；

(2)引导学生抓住大小与方向两个方面，让学生去发现结论，再由学生或师生共同完善概念。使学生

感受知识自然形成的过程，同时也培养了学生的创新意识。

6.2.1向量的加法

一、教学目标

1.理解向量加法的概念及向量加法的几何意义；

2.熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，会作已知两向量的和向量;

3.理解向量加法运算律，并能熟练地运用它们进行向量计算。

4.通过对向量加法的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养。

二、教学重难点

1.两个向量的和的概念及其几何意义：

2.向量加法的运算律。

三、教学过程：

1、情景引入

在大型生产车间里，一重物被天车从A处搬运到B处，如图所示.它的

实际位移43,可以看作水平运动的分位移AC与竖直运动的分位移AO的合位移.A

问题1：根据物理中位移的合成与分解，你认为而，AD,AC之间有什么关系？

【答案】AB=AC+AD.

【答案】=+.

2、探索新知

（1）向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。表示：AB+BC=AC.

规定：零向量与任一向量3,都有Z+6=0+£=£.

说明：①共线向量的加法：京_____[_»£+心

->ABC

②不共线向量的加法：如图（1）,已知向量Z,b,求作向量£+

作法：在平面内任取一点0（如图（2））,作函=£,7B=B,则砺=£+日.

（1）⑵"8

<2）.向量加法的法则:

三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。

表示：苏+而=方.【II诀】尾首相接首尾相连。

平行四边形法则：以同一点A为起点的两个已知向量B为邻边作UA3C3,则

则以A为起点的对角线衣就是3与5的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行

四边形法则。

【口诀】共起点，和为对角线。

小组合作探究：

问邈|：若向量"和B共线，它们的加法与数的加法有什么关系？你能否做出向量Z+B吗？

【答案】(1)当［和B同向时，a+b=AB+~BC=AC.

(2)当。和了反向时，a+b=AB+BC=AC

o

问题2：|2十石|,|"|,|加之间具有什么样的关系。

【答案】当】和「反向或不共线时，仃+而＜1。+而；当Z和右同向时，日+川=|»+曲。综上，

问题3：向量的加法能否像数的加法也满足交换律和结合律呢？

【答案】如图所示：在平行四边形A8C。中，~AC=~AB+~BC=a^b,

AC=AD+DC=h+a,所以4+1=Z+〃。

在弱(2)中，^D=AB+BC4-C5=AC+CD=(«+^)+C,

AD=AB-vBC^CD=AB+BD=a^{b^,所以，

(a+1)+c=a+(B+c),

运算律：

交换律：a+b=b-\-a.结合律：(a+5)+c=a+(3+c).

4.例题分析：

例1.化简下列各式：

（I）P5+OP+BO；

（2）（AB+MB）4-BO^OM；

0）AB+BC+CD+DE.

解⑴而+灰+丽=（而+丽+丽=丽+丽=0；

⑵（而+痴）+前+丽=（荏+丽）+（切7+^^）

=AO+OB=ABx

i3）AB+BC^CD^-DE=AC^CD^DE=AD+DE

=AE.

例2.如图，点0是平行四边形ABCD两条对角线的交点，则下列两个等式一定成立的是哪个？

________________DC

①AB+AD=AC；②BO+OC=DA./

解：立丽二校产①正确；//

BO+OC=BC=AD,故②错，吴

注意：向量求和，注意“首尾顺次相连”；向量加法的结果还是向量AB

例工小雨滴在无风时以4m/s的速度匀速下落.一阵风吹来，使传少雨滴以3m/s的速度「.”八移动.那

么小雨滴将以多大的速度落地？方向如何？

（提示:

解：如图，设OA表示小雨滴无风时下落的速度，表示风的速度，以0A,0B为邻边作平行四边形0ACB,

■■■■

则0c就是小雨滴实际飞行的速度.在RtZXOAC中，|OA|=4m/s,|AC|=3m/s,所以|℃|=5m/s.

3

且tanZAOC=",即NAOC=37°.

所以小雨滴实际飞行速度为5m/s,方向约为东偏南53。.

四、小结：1.理解向量加法的概念及向量加法的几何意义：

2.熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则以及向量加法的运算律。

3.|O+B区|+由

五，作业।习题3.16,7,9题

6.2.2向量的减法运算

课题：平面向量的减法

一、教学目标

1.掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，

2,掌握相反向量.能熟练地掌握用二角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量,了解向量方程,并

会用几何法解向量方程.

3.通过对向量减法的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养。

二、教学重难点：

1.句量减法的三角形法则.

2.对向量减法定义的理解.

三、教学过程：

1.复习回顾

首先•起回顾•下求解向量和的向量加法的平行四边形法则与三角形法则，本节课我们将学习向量的

减法.

2、探索新知

(I)向量减法的定义：

向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a—b=a+(—b).

求两个向量差的运算，叫向量的减法.

说明：①与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量；

②零向量的相反向量仍是零向量；

③任一向量和它相反向量的和是零向量.

(2)作法

如图所小，以平面内的一点作为起点作a,b,则两向量终点的连线段，并指向a终点的向量表小a一

b.

说明：向量减法可以利用相反向量转化为向量加法，

b与a-b尾首相接，首尾相连，得至

例题分析:

例1.如图，已知向量a,b,c,d,求作向量a—b,c—d.

解：作法：如图，在平面内任取一点0,作6X=a,0B=b,

0C=c,56=d.作前，DC,则献=a-b,DC=c-d

例2.如图，。是平行四边形ABC。的两条对角线的交点，则下列等式不正确的是（）

A.DA-DC=ACB.~DA+DC=DO

c.OA-OB+AD=DBD.AO^OB+BC=AC

解:对于A，方一反=瓦，故A错误；对于8,DA+~DC=DB^故8错误；对于C,

OA-OB+AD=BA+AD=BD^故。错误。故选:ABC

例3.如图，四边形Q4O8是以向量方=7砺=很为边的平行四边形，又丽=g就,

CN=^CD,试用3、B表示丽

IfD

c

OA

解:YBM=LBC,BC=CA,:.BM=LRA,

36

=-BA=-(OA-OB)=-(a-b).

666

.•.西=砺+的4+小一力拚落

-CN=-CD,CD=OC,

3

______2___2____22

/.ON=OC+CN=-OD=-(OA+OB)=-a+-b.

3333

----------------------22-15-11-

MN=ON-OM=—a+—b——a——b--a——b.

336626

四、小结：1.理解向量减法的概念及向量减法的几何意义;

2.熟练掌握向最减法的三角形法则以及向量减法的运算。

五、作业：习题6.2.2.

6.2.3向量的数乘运算

一、教学目标

1.让学生理解向号数乘的含义及向后数乘的运算律；

2.让学生能由实数运算律类比向量运算律，并目.验证强化对知识的形成过程的认识，正确表示结果；

3.理解两向量共线（平行）的充要条件，并会判断两个向豉是否共线。

二、教学重点

L实数与向量积的定义及几何意义.

2.向量共线的充要条件及其应生。

三、教学过程：

1、情景引入

质点从点。出发做匀速直线运动，若经过1s的位移对应的向量用3表示，那么在同方向上经过2s的

位移所对应的向量可用23来表示。

问题1：这里，23如何表示？-23如何表示？

已知非零向量Z,求作Z+Z和（-l）+（F.

aaa-a-a

0ABEDC

如图：OB=a+a=2a,CE=（-a）+（-a）=-2a.

问题2：这里，23是何种运算的结果？

2、探索新知

引出实数与向量的积的定义：

一般地，实数4与向量£的积是一个向量，记作力£,它的长度与方向规定如下：

（1）\Aa\=\A\\a\；

（2）当；1>0时，的方向与£的方向相同；当时，2£的方向与Z的方向相反；

当；1=0时，43二。.（让学生自己解释其几何意义）

实数％与向量3相交，叫做向量的数乘

问题：通过几何意义，让学生尝试验证下列实数与向量的积的是否满足下列运算定律

2.实数与向量的枳的运算律：

（1）〃〃〃）=（"/）〃（结合律）；①

（2）（%+〃）。=2£十〃£（第一分配律）；②

（3）2（a+b）=Aa+Ab（第二分配律）.③

例1.已知向量。和向量坂，求作向量一2.5。和向量2。-3五。

“\

解：如下图【作法】

(1)如图所示，向量一2.5Z的长度是3的长度的2.5倍，方向与2相反，即而=一2.5>

(2)以0为起点，分别作方=22,OD=3b,连结DC,则友=2--3九

例2计算：(1)4(3-万)-3(2+2万)；(2)2(2a+6^-3c)-3(-34/+4^-2c)

分析：根据实数与向量的向量的线性运算的法则去解题.

解：(1)a-\Ob；(2)13工.

问题：向显数乘勺实数乘法有哪些相同点和不同点？

生答：(1)向量的数乘与实数的乘法的区别：

相同点：这两种运算都满足结合律和分配律.

不同点：实数的乘法的结果(积)是一个实数，而向量的数乘的结果是一个向量.

(2)向量线性运算的结果是一个向量，运算法则与多项式运算类似.

例3.判断下列各题中的向量是否共线：

一一2一一一1一

(1)。=4白——b=e\---62；

1510

(2)4=61+62,b=2e\-2e2,且自，及共线.

解：(1)当3=0时，则另二。，显然日与G共线.

当。声0时，b=e\----ei=—(4e,——弓)=一。，与。共线.

1()41524

(3)当V,&中至少有一个为零向量时，显然B与3共线.

当高，一均不为零向量时,设一=几工2

6/=(1+2)^2>b=(22—2)6*2

若2=—I时..«=0.显•然5与〃共线.

若2工一1时，b-—~-a.

1+2

与Z共线.

例4.设百,工2是两个不共线的向:S,已知通=2a+三2,而二4+3&,CD=2ei-?2,

若4,B,D三点共线,求A的值。

解：BD=CD-CB=^2el-e2)-^el-i-3e2)j=el-4e2

•.•4,B,。三点共线，，而与丽共线，即存在实数4,使得而=4而，

即是2臼IRe”=4c2).

2=2

由向量相等的条件，得，一“，，攵=一8.

[k=-4A

四、小结:

1.实数与向量积的定义；

2.理解实数与向量积的几何意义；

3.实数与向量的积的运算律.

五、作业：习题

6.2.4向量的数量积

一、教学目标：

1、知识与技能：

通过物理中“功”的实例，理解平面向量数量积的含义，掌握平面向量数量积的性质.

2、过程与方法：

经历从物理背景的分析，抽象概况出概念的过程，培养学生归纳概括、类比迁移的能力；经历通过不

同的方式探究、发现平面向量数量积性质的过程，体会从特殊到一般、分类讨论、数形结合的数学思想方

法.

3、情感、态度、价值观：

通过师生互动，生生互动的教学活动过程，形成学生的体验性认识，体会各学科之间的密切联系，感

受知识的形成过程，提高数学学习的兴趣，形成独立自主的钻研精神和合作学习的科学态度.

二、教材分析：

重点：平面向量数量积的概念和性质.

难点：平面向量数量积的性质的发现.

三、教学策略：

启发式和问题探究相结合。

四、教学过程:

（一）创设情境展示背景

如图小车在力F的作用下移动了一段位移是S,力和位移的夹角为仇从物理的角度来看其实质是什么？

OO

（二）分析背景形成概念

群答：力对物体做功，力对物体做功，

问题1：图中力对物体所做的功是多少？

W=FScose

（可能学生回答卬=闰画,引导学生回答图中的力对物体所做的功是多少？）

这里的e是什么？

生1：力和位移的夹角

问题2：影响力对物体所做的功的因素有哪些？

群答：力F、位移s、力和位移的夹角e

问题3：像力F、位移S这些量在物理上我们称做什么量？大家I可答看看

群答：矢量

问题4：很好！类比矢量在数学上我们把既有大小又有方向的量称为什么量？

群答：向量

问题5：那我们用数学的眼光来看这是向量的一种什么运算？我们看等式的左边是什么量?

群答：标量

问题6：在数学上我们称为什么量？

群答：数量

从求功的运算中，能否抽象出某种数学运算？（课件展示）

生5.abcosO

问题7：下面大家注意了，像这种向量运算前面我们学习了好几种，对不对？有向量的加法、减法、

数乘.这些运算的结果都是什么量？

群答：向量

这种运算的结果是数最，跟以往不同。我们今天这节课就是从力的做功公式出发来引进向最的一种新

的运算，你能否给这种运算起个名称？大家想想看，取什么名字好！

牛.6：向量的积

问题7：太好了，这里的确是向量的积的运算。有没有人对这种运算有其他名字？

生8：向量的数量积

问题9：太棒了!大家觉得好不好！。。。。从结果来看是一个数量。还有吗？

生9:平面向量的数量积.

师:简直太牛了！

（由力对物体做功公式类比得出平面向量的数量积）

师：我们知道功运算中除了力和位移，还有一个夹角8物理上称为力和位移的夹角，在数学上我们称为

向量的夹角，卜面我们来看书本给出的向量夹角的定义：

向量的夹角：

已知两个非零向量［和耳，作加二），获二B，则/4。6二夕

叫做向量3与日的夹角.

问迦10：两个非零向量的夹角的范围是什么？

（课件展布）

当且仅当两非零向量［、B同方向时

生io：夕=0°

当且仅〃，各反方向时，6=：

生11：。=180°

以上统称为"〃书

当0=，称〃与〃垂直，记作QJ■匕.

规定：0°<^<180°

试一试：

如绿：求

（1）AB与灰7的夹角;

的夹角。

答案为：（1）6=60°，（2）6=120°

向量的夹角注意点：1.向量要共起点

2.角的范围

3.几个特殊角

下面正式给出向量数量积的定义：

已知两个非零向量7和以它们的夹角为凡则数量iZllMvos。叫做3与坂的数量积（或内积），

记作2・石,a-b=|6/1|51cos0.（板演a•万=|£|出|cos®（Z和石不为非零向量）

问题11；向量的数量枳定义中£和B为何要是非零向量？

探究:零向量与其他向量有没有数量积？应如何定义？能否找出其物理模型？

（可以从0=（）或者零向量与其他向量的交角没有定义。）

规定：零向量与任何向量的数量积为0,

比较探究

两个向量的数量积与数乘向量有什么区别？cosO（6%a与Z的夹角）

两个向量的数量积是一个实数，它的符号由的符号所

决定；而数乘向量是一个向量。

2书导上的区别：符号；・”在向量运算中既不能省略，也不能用“X”代替。

跻秫:0•京0a,20,hO

（三）概念应用探究性质

例1.已知向量］与向量B的夹角为8,口=2,恸=3,分别在下列条件下求I/

（1）6/=135°：（2）a//b^（3）alb

解：（1）ab-cos^=2x3xcosl35°=-372；

（2）当向量［、g同方向时0=0°,则［7=6

（3）当g反方向时，6=180°，则73=6

当］_LB时,夕=90°,则2£=0.

数量积的性质：

己即3石是两个非零向量.

(1)^_LZ?<=>^-Z?=O（2）/二杆或口二后

(3)cosG，B)二备

（邛年那I

小组合作讨论：

⑴如果a,5满足aq=0,试讨论。与短否垂直。,

生答：〃=。或者归=。或者〃

（2）如果a,百茜足a4±0,试讨论a与访勺夹角情况■>

生答：若［3>0,则［与各同向或者夹角为锐角；若>族<0,则［与g反向或者夹角为钝角;

变式1：已知卜卜2,W=3,Z$=_3，求夕

生板演：>B=MWcose；cos8==1=一1

11ab2

0°“4180°

••

••・9=120°

变式2：已知口=2,恸=3,求）的勺范围

生板演：ab=abcosO；

..0吆"180°

二.cos，G［-6,6］

练习2：在1A3CD中，已知同=4,|码=3,4X4〃=60；求：

（l）AD>BC;（2）AB*CD;（3）ABeDA

（四）归纳理解学以致用

反馈练习

1.已知,卜2,£$=3，6=60°，求任

—♦—♦

HICl'b

答案：r=Fi与

'।rzcos60

2.在A44c中，若赤.在＜0,则AA3C的形状为

答案：钝角三角形

3.已知正A4AC的边长为2,BC=a^CA=bAB=c,则工石+元2+

答案：-6

（五）回顾反思拓展延伸

1.本节课你学了哪些知识？在思想方法上有哪些收获？

2.哪些问题你最易出错，现在深有体会吗？

6.3.1平面向量基本定理

一、教学目标

1.理解平面向量基本定理及其意义;

2.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达：

3.通过学习平面向量基本定理，让学生体验数学的转化思想，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象

等数学素养。

二、教学重难点

1.平面向量基本定理及其意义；

2.平面向量基本定理的理解。

三、教学过程：

1、情景引入

在物理中，我们学习了力的分解，即一个力可以分解为两个不同方向的力，试想平面内的任一向量是

否可以分解为其他两个向量的和？

可以

如图，以a为平行四边形一条对角线作平行四边形，四边形确定吗？

A不一定能确定

小组合作探究：

问题1:如图所示，设是同一平面内两个不共线的向量，Z是这一平面内与都不共线的向量,

在平面内任取一点（），作5入=工,为元=3将"按W,［的方向分解，你有什么发现？

【答案】如图，a=OC=OM^ON=\ex+ZJ1

问题2：当a是零向量时，a还能用a=4q十4/表示吗？

【答案】可以，取4=o,4=0,则Z=o[+o[

,—•—♦——•—•—•

问题3：若向量4与弓或/共线，那么a还能用"=4,这种形式表示吗？

【答案】若向最[与]共线，取4=0,则Z=41+o1。

若句量〃与6共线时，取4=0.则4=0«|+462。

问邈4.设是同一平面内两个不共线的向量，则[麻；和耳进行表示是否唯一？

【答案】假设a=Mq+//2e2,v«=A1^1:.\ei+4/=从/+/z2e2,

「.(4—M妈+(%—〃2)，2=。4—4=0,且"一出=。，

：.4="[,且4=〃2，源％和e2进行表示唯一。

2、探索新知

平面向量基本定理：

如果的，.是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量〃，有且只有一对实数

—♦...，•

4,4,使。=4巧+4&2。我们把不共线向晨修应2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

说明：(1)基底不唯一，关键是不共线；

—_*—

⑵由定理可将任一向量〃在给出基底，应2的条件下进行分解；

⑶基底给定时，分解形式唯一；

例1.如图，班而不共线，且9=7而«£/?),用54为表示了。

解：因为AP=/A6(/e尺)所以OP=OA十A尸二04十/A4

=dA+t(OB-OA)=OA+tOB-tOA

—(1—f)OA+fOB

重要结论：如果夕、A、8三点共线，点()是平面内任意一点，若而=/l5Z+〃无，则几十〃=1。

变式训练:设DE分别是A43。的边A氏3C上的点，AD=-AB,BE=±BC,若

23

方g=4瓶+4/（44为实数），则4+&的值为

Ec

【答案】

2

【解析】易知诙=丽+丽=-7^B+-BC=-AB+-(AC-AB\=--AB+-AC,A2,=--,

2323、7636

4=一，4+4二—

例2.如图所示，在AB。。中，C是以A为中点的点8的对称点，0D=2DB»0c和04交于点E，设

OA=a,OB=b-

0C

（I）用［和B表示向量反、DC；

（2）若0g=儿），求实数；l的值.

___5-4

【答案】(1)OC=2a—b10c=2。—b；(2)A=-

5

__2__2

【蟀析】（1）由题意知，A是线段BC中点，且35=二丽=一尻

33

OC=OA+AC=OA+8A=OA+OA-OB=2a-h^

DC=OC-OD=[2a-b')-b=2a-bx

(2)vEC-OC-OE=(2a-b\-Aa=(l-X)a-b,

____5—

由题可得EC7/OC，且。C=2a-§b,

2-A=2k2=-

____(5-15

设反=々成，即(2-X)口-5=%2a--b，则有＜।5,，解得•

\3)-1=—kk=。

3

5

4

因比，4=—.

5

例3.证明：三角形的三条中线交于一点.

【解析】如图所示，设AD、BE、CF分别为aABC的三条中线，令凝二。,

AC=b.^BC=b-a.

且:则有而=而+丽=a+^b-a)=^a+b).

设G在AD上,

BE=AE—AB」/?—a.

2

BG-AG-AR=2RD-AB=%+b）-h-

3333

；（%-。）=；跖.

•JX*J

，G在BE上.

同理可证而=1否，即G在CF上.

故AD、BE、CF三线交于同一点.

四、小结

1.平面向量基本定理;

2.基底；

3.掌握平面向量基本定理的简单应用

五、作业

习题6.3.1

6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

一、教学目标

1.理解向最的坐标表示法,掌握平面向最与一对有序实数一一对应关系；

2.会用坐标表示平面向量；对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的关系转化来用坐标表示；

3.通过对平面向量的正交分解及坐标表示的学习，培养学生数学抽象、数学运算等数学素养。

二、教学重难点

1.平面向量的正交分解，平面向量的坐标表示；

2.对平面向量的坐标表示的理解。

三、教学过程：

1、复习回顾平面向量基本定理

—*—*―

如果卬6是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量〃，有且只有一对实数

—•—♦，•»■•

4,4,使。二^《十冬电。我们把不共线向量与弓叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

说明：（1）基底不唯一，关键是不共线；

———

⑵由定理可将任一向量a在给出基底令/的条件下进行分解；

⑶基底给定时，分解形式唯一；

2、探索新知

平面向量的正交分解：

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解。

问题1：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数（为）'）表示，那么，每一个向量可否也用一对实数

来表示？

答:在直角坐标系中，分别取与x轴、），轴方向相同的两个不共线向量i、/作为基底，对于平面内的一个向

量a,由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x,），使得。二刀+）力则把有序数对（x,y）,叫做向量。

的坐标.记作。=（x,y）,此式叫做向量的坐标表示.

作向量0A=a,设。人所以G八=（"，y）。

说明：（1）对于办，有且仅有一对实数（'）'）与之对应；

（2）两向量相等时，坐标一样；

⑶7=(1,0),)=(0,1),0=(0,0)

（4）从原点引出的向量方的坐标（.）'）就是点A的坐标.

例1.如图，用基底,,,分别表示向量2、石、工

解：由图知：々=27+2/=(2,2)；

3=-27+2/=(—2,2)：

C=-27-2；=(-2,-2).

7=27—27=(2,—2)

OA=

°得到万，则求丽的坐标.

例2.如果将绕原点0逆时针方向旋转120

解:由题意知A是30°角的终边与以点。为圆心的单位圆的交点,B点是将0A绕原点。逆时针方向旋转120

终边与以点（）为圆心的单位圆的交点.由三角函数的定义，

,..36冗

设终边0A与x轴所形成的角为0，・'•lana=一斤=丁,。二工，

30

因为『斗二、,|0A|=|0B|,所以点B的坐标为（cos^sin当即

。3。6622

变式训练：已知向量°A=（5/2）,将砺绕原点按逆时针方向旋转90°得到赤，则砺=1）

A（-5,13）B.（-542）c.（T253）D（-12,5）

解：向量次二（5,12）,

将方绕原点按逆时针方向旋转90°得到砺，点B的坐标（72,5）,如图:

所以砺=（-12,5）.故选：D.

四、小结：1.平面向量的正交分解；

2.正确理解平面向量的坐标意义;

五、作业：习题6.3.2

6.3.3平面向量的加、减运算的坐标表示

一、教学目标

1.掌握平面向量加、减运算的坐标表示；

2.会用坐标求两向量的和、差；

3.通过对平面向量加、减运算的坐标表示以及运算学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算等数

学素养。

二、教学重难点

1.平面向量加、减运算的坐标表示；

2.对平面向展的坐标表示的理解。

三、教学过程：

1、复习回顾平面向量基本定理

如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量〃，有且只有一对实数

—♦...•

4,4,使办今。我们把不共线向量勺右叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

说明：（1）基底不唯一，关键是不共线；

⑵由定理可将任一向量〃在给出基底与/的条件下进行分解：

⑶基底给定时，分解形式唯一；

问题1：向量用坐标表示的基本原理是什么？

设/、J.是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若a=xi+yj,则a=（x,y）.

2、探索新知

小组活动探究：

问题2：若。=（工］,）［）3=（9,必），你可以推导出。+5,。一3的坐标吗？

—>—♦♦—♦♦—•.-♦

生答：4+。二（人/+y/）十（八2/十%/）二（七十人2）'十（y十

即a十〃=(百十巧，y十必)同理可得以一〃=(z—/，y—乃)。

重要结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。

例1.已知4=(2,1)3=(一3,4),求々+1,4-3的坐标。

解：Z+6=(2,1)+(-3,4)=(-1,5)；11(2,1)-(-3,4)=(5,-3)；

问题3：如图，已知向量而，且点A(M，X),8*2,%)，你能推导出施的坐标吗？

生答：43=。3-。4=(%,必)一*1，%)=(工2一E，)'2一)'|)・

重要结论：(1)一个向量的坐标等于表示它的有向线段的终点坐标减去始点坐标；

(2)两个向量相等的充要条件是这二个向量的坐标相等。

例2：如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),试求

顶点D的坐标.

W6.3-13

解：设顶点。的坐标为“，)').

••丽=(一1一(一2),3-1)=(1,2)DC=(3-x,4-y)

•，，

由而=成，得(1,2)=(3_工,4_)，)

1=3-x(x=2

.2=4-y.y=2

・・,顶点。的坐标为(2,2)

变式训练1：已知点A(0,1),D(3,2),向量蔽=(4,3),则向量6=()

A.(-7,-4)B.(7,4)

C.(-1,4)D.(1,4)

答案：A

变式训练2：已知平行四边形ABCD中,A(0,0),B(5,0),D(2,4),对角线AC,BD交于点M,则DM的坐标

是()

C.V-2)D.V2)

答案：A

四、小结：

1.掌握平面向量加、减运算的坐标表示；

3.能用平面向量的坐标及其加、减运算解决•些实际问题。

五、作业：习题6.3.3

6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示

一、教学目标

1.掌握向量数乘运算的坐标表示；

2.会根据向量的坐标，判断向量是否共线；；

3.通过对平面向量数乘运算的坐标表示的学习，培养学生数学抽象、数学运算等数学素养。

二、教学重难点

1.句量数乘运算的坐标表示，根据向量的坐标，判断向量是否共线；

2.句量运算的坐标表示的理解及应用向量共线的充要条件证明三点共线和两直线平行的问题。

三、教学过程：

IN复习回顾

(I)若a=(X］，X),/?=(X2，y2)，则4+匕=(%|+/2，X+%)〃一8=(N一工2，)'1一必)。

(2)已知向量而，且点4匹小)，8(%,%),而=(%一不必一,).

2.探索新知

问迤1.已知Z=(X,)，)，你能推导出的坐标吗？

生答:因为。=(jv,y),所以忘=4(心+)\/)=4¥»+办\/即37=(公,加)。

重要结论：’无数与向量的积的坐标等用这个'支数乘以原来向量的相应坐标.

例1.已知。=(2,1)了=(一3,4),求3。+4g的坐标。

变式训练1：已知向量。=(1,2),力=(2,3),c=(3,4),且c=Ma+22。，则九，的值分别为()

A.-2,1B.1,-2

C.2,-1D.-l,2

九+27.2=3,

解：由题意得(3,4)=4(1,2)+22(23)=(九+次，2A1+3/2).由

2Ali342=4,

21=—1.

解得故选：D

Az=2.

变式训练2：若向量”（LD,b=（l,-D,"（T，2）,则"等于（）

13尸31

A.——a+—bB.——a+—br

2222

3113

C.—a——rbD.—a——rb

2222

【答案】D

【解析】因为白=（1,1）,5=（1,—1）忑=（一1,2）,tSc=A,a+/Lib»则有（-1,2）=（丸+4乂一〃），即

一1-3-

所以c=—。—b,故选：D.

22

问邈2.设1=(4乂)3=(工2，%)，若向量Z3共线(其中各工6),你能推导出这两个向量的坐标应满足

什么关系？

生答：向量Z范共线的充要条件是存在实数；I,使用坐标表示为

>,i=4y2

问题3.你能将这两个等式合并成一个式子吗？

生答：工1%一工2)1=0，

重要结论：向量平行(共线)的充要条件的两种表达形式：

①。〃B(B工0)<=>