高中数学基本知识基本思想基本方法

高中数学

基本知识•基本思想•基本方法

一、集合和简易逻辑

1.必须弄清集合的元素是什么，是函数关系中自变量的取值？

还是因变量的取值？还是曲线上的点？…；

2.数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要尽可能地借助

数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、

形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；

3.一个语句是否为命题，关键要看能否判断真假，陈述句、反诘

问句都是命题，而祁使句、疑问句、感叹句都不是命题；

4.判断命题的真假要以真值表为依据。原命题和其逆否命题是等

价命题，逆命题和其否命题是等价命题;一真俱真，一假俱

假，当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的

真假；

5.判断命题充要条件的三种方法：（1）定义法；（2）利用集合间

的包含关系判断，若，则A是B的充分条件或B是A的必要条

件：若，则A是B的充要条件：（3）等价法：即利用等价关系

判断，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运

用等价法;

6.(1)含n个元素的集合的子集个数为2、真子集(非空子集)

个数为2。一1；

(2)ADB=AoAUB二B;

(3)C/(AUB)=C/AAC/B,C/(AriB)=C/AUC/B;

二、函数：研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

1.复合函数的有关问题

(1)复合函数定义域求法：若已知f(x)的定义域为[a,b],其

复合函数f[g(x)]的定义域由不等式aWg(x)Wb解出即可；若己

知f[g(x)]的定义域为口，求知X)的定义域,相当于x£口时,

求g(x)的值域(即f(x)的定义域);

(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定；

2.函数的奇偶性

(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)(一x)二;

(2)定义域含零的奇函数必过原点(可用于求参数)；

(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f()=0或(f(x)

NO);

(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶

性；

(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称

的单调区间内有相反的单调性；

3.函数图像(或方程曲线的对称性)

⑴证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心

(对称轴)的对称点仍在图像上；

(2)证明图像C1和C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称

中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然；

(3)曲线Cl:f()=0,关于(一)的对称曲线C2的方程为f(y

一)=0(或f(一,—)=0);

(4)曲线C1()=0关于点()的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b

—y)=0;

(5)若函数(x)对xWR时，f()(a—x)恒成立，贝lj(x)图像关于直

线对称；

(6)函数(x—a)和(b—x)的图像关于直线对称；

4.函数的周期性

⑴(x)对x£R时,f(x)(x—a)或f(x—2a)(x)(a>0)恒成立,

则(x)是周期为2a的周期函数；

(2)若(x)是偶函数，其图像又关于直线对称，则f(x)是周期为

2Ia|的周期函数；

(3)若(x)奇函数，其图像又关于直线对称，则f(x)是周期为4

Ia|的周期函数;

(4)若(x)关于点(a,0),(b,0)对称,则f(x)是周期为2的周期

函数；

(5)(x)的图象关于直线(aWb)对称，则函数(x)是周期为2的

周期函数；

(6)(x)对x£R时，六)=一£6)(或£()二，则(x)是周期为2

的周期函数；

5.方程(x)有解。k£D(D为f(x)的值域)；

62f(x)oa2[f(x)],;aWf(x)oaW[f(x)];

n

7.(1)lognb=log,,b(a〉0Wl>0£);

(2)1a(a>0Hl>0#l);

(3)1ab的符号由口诀“同正异负”记忆；

(4)aaN(a>0^1>0);

8.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇

偶性。

9.判断对应是否为映射时，抓住两点：(1)A中元素必须都有象

且唯一：(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B

中可以有相同的象；

10.对于反函数，应掌握以下一些结论：(1)定义域上的单调函

数必有反函数；（2）奇函数的反函数也是奇函数；（3）定义域为

非单元素集的偶函数不存在反函数；（4）周期函数不存在反函数;

（5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性；（5）（x）和l（x）

互为反函数，设fix）的定义域为A,值域为B,则有f[l（x）]（x

eB）l[f（x）]（xeA）.

11.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必

有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴

和所给区间的相对位置关系；

12.恒成立问题的处理方法：（1）分离参数法；（2）转化为一元

二次方程的根的分布列不等式（组）求解；

13.依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类

参数的范围问题：；

14.掌握函数『二Q'*"=a+-■-—（力-GC/0）;y=A+£（c）0）的图象和性

x+cx+cx

质;

ax+bh-ac

函y=----=a+----)

x+cx+c

(b-#0)

数

定

(-cc,-c)U(C,+8)(-00,0)U(0,+OO)

义

域

值(-8,4)。(〃,+8)(YO,-]U[2«\+00)

域

奇

非奇非偶函数奇函数

偶

性

当＞0时：在(-CO,-右],[后,+30)上

单分别在单调递增；

(-oo-c),(c,+oo)上单调在［-血0),(0,&］上单

调

递减；调递增；

性当〈0E寸：

分别在

(-oo-c),(c,+oo)上单调

递增；

1,由求，｛注意验证al是否包含在后面的公式中，若不符合

要单独列出。一般已知条件中含和的关系的数列题均可考虑用上

述公式；

2.等差数列

｛4“｝=d（d为常数）=2a”=〃“+1+an_x[n>2,〃eN*）

2

<=>an=〃〃+/?=sn=An+Bn;

2n

3.等比数列｛an｝<=>an=an，1-an+1（n>2,n€N）<=>an=a1q

4.首项为正（或为负）的递减（或递增）的等差数列前n项和的

最大（或最小）问题，转化为解不等式解决；

5.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n项和公式，在用

等比数列前n项和公式时，勿忘分类讨论思想：

6.等差数列中，（n-m）d,;等比数列中，；；

7.当（m、n、p、q《N*）时，对等差数列｛｝有：；对等比数

列（｝有：；

8.若｛｝、｛｝是等差数列，则｛｝（晨b、a是非零常数）是等差数列；

若｛｝、｛｝是等比数列，则｛｝、｛｝等也是等比数列；

9.等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如

a曲56789…）仍是等差（或等比）数列；

10.对等差数列｛｝，当项数为2n时，S偶一5奇=；项数为2n—1

时，S奇一S偶=“中（n£N*）；

11.若一阶线性递归数列-1（kWOWl），则总可以将其改写变形

成如下形式：（n，2）,于是可依据等比数列的定义求出其通项

公式；

四、三角函数

L三角函数符号规律记忆口诀：一全正，二正弦，三是切，四

余弦；

2.对于诱导公式，可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；

3.记住同角三角函数的基本关系，熟练掌握三角函数的定义、图

像、性质；

4.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正余弦定理，处理

三角形内的三角函数问题勿忘三内角和等于1800,一般用正余

弦定理实施边角互化;

5.正弦型函数y=Asin(w+°)的对称轴为才=竺三2_t(kez)»

CD

对称中心为；类似可得余弦函数型的对称轴和对称中心；

6.(1)正弦平方差公式：2A—2()(A-B);(2)三角形的内切圆

半径；(3)三角形的外接圆直径2

五、平面向量

1.两个向量平行的充要条件，设(xll)(x22),为实数。(1)向量

式：a〃b(bWO);(2)坐标式:a〃b(bWO)xly2—x2yl=0;

2.两个向量垂直的充要条件，设(xll)(x22),(1)向量式：a±

b(bHO)0;(2)坐标式：a±lx21y2=0;

3.设(x“)(X22),M•abcosO凶抽；其几何意义是•等于a的长度和

b在a的方向上的投影的乘积；

4.设A(xl2)>B(x22),则S/=；

5.平面向量数量积的坐标表示：

(1)若(X11)(X22),则JX21y2；卜4=、(与一工2)2+(%一%)2；

(2)若()，则同=乒了；

六、不等式

1.掌握不等式性质，注意使用条件；

2.掌握儿类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指

数、对数不等式)的解法，尤其注意用分类讨论的思想解含参数

的不等式；勿忘数轴标根法，零点分区间法；

3.掌握用均值不等式求最值的方法，在使用2(a>0>0)时要符

合“一正二定三相等”；注意均值不等式的一些变形，如；

七、直线和圆的方程

1.设三角形的三个顶点是A(X”)、BQC(X33)，则/的重心

G为(1+1+/必+为+月).

3'3

2.直线lnn=0和12:W0垂直的充要条件是AIA21B2=0；

3.两条平行线尸0和2=0的距离是；

4220表示圆的充要条件：中0且0且D22—4〉0；

5.过圆x222上的点M(x00)的切线方程为:x002;

6.以A(xl,y2)、B(x22)为直径的圆的方程是(x—xl)(x—x2)+(y

—yl)(y—y2)=0;

7.求解线性规划问题的步骤是：(1)根据实际问题的约束条件列

出不等式；(2)作出可行域，写出目标函数；(3)确定目标函数

的最优位置，从而获得最优解；

八、圆锥曲线方程

1.椭圆焦半径公式：设P(x00)为椭圆(a〉b〉0)上任一点，焦

点为Fl(,0)2(c,0),则(e为离心率);

2.双曲线焦半径公式：设P(xOO)为双曲线(a>0>0)上任一点,

焦点为Fl(,0)2(c,0),则:

(1)当P点在右支上时，；

(2)当P点在左支上时，；(e为离心率)；

另：双曲线(a>0>0)的渐进线方程为；

3.抛物线焦半径公式：设P(xOO)为抛物线y2=2(p>0)上任意一

点，F为焦点，则；y2=2(p<0)上任意一点，F为焦点，则；

4.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题；

5.共渐进线的双曲线标准方程为为参数，W0)；

6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式，

一般地，若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为，A、B

两点分别为A(xl,yl)、B(x22),则弦长

=表8-y|=J(i+表)+%)2-4y),2],这里体现了解析几

何“设而不求”的解题思想；

7.椭圆、双曲线的通径(最短弦)为，焦准距为，抛物线的

通径为2p,焦准距为p;双曲线(a>0,b>0)的焦点到渐进线的

距离为b:

8.中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为22

=1;

9.抛物线y2=2(p>0)的焦点弦(过焦点的弦)为，A(xl1)、B(x22),

则有如下结论：(1)=xl2;(2)yly2=-p2,xlx2=;

10.过椭圆(a〉b〉O)左焦点的焦点弦为，则，过右焦点的弦；

11.对于y2=2(pW0)抛物线上的点的坐标可设为(,yO)，以简

化计算；

12.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设

A(xl,yl)、B(x22)为椭圆(a>b>0)上不同的两点，M(xOO)是的

中点，则；对于双曲线(a>0,b>0),类似可得：；对于y2=2(p

W0)抛物线有=

13.求轨迹的常用方法：

(1)直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F()=0,是

求轨迹的最基本的方法；

(2)待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲

线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待

定系数，代回所列的方程即可；

(3)代入法(相关点法或转移法)：若动点P()依赖于另一动点

Q(xll)的变化而变化，并且Q(xll)又在某已知曲线匕则可先用

x、y的代数式表示xl.yl,再将xl.yl带入己知曲线得要求的轨

迹方程;

(4)定义法：如果能够确定动点的轨迹液足某已知曲线的定义,

则可由曲线的定义直接写出方程；

(5)参数法：当动点P()坐标之间的关系不易直接找到，也没

有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量(参数)表示,

得参数方程，再消去参数得普通方程。

九、直线、平面、简单几何体

1.从一点。出发的三条射线、、，若NN,则点A在平面N上的射

影在N的平分线上；

2.己知:直二面角MN中..M,.N,N,Z,异面直线和所成的角为

,则

3.立平斜公式：如图，和平面所成的角是，在平面内，和的射

影成，设N，则；

4.异面直线所成角的求法：

(1)平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另

一条的平行线；

(2)补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方

体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线

间的关系：

5.直线和平面所成的角

斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别

是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜

线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产

生线面角的关键；

6.二面角的求法

（1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在

两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真

观察图形的特性；

（2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线,

用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；

（3）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线

作平面和两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，

二面角的平面角所在的平面和棱垂直；

（4）射影法：利用面积射影公式S射=5原，其中为平面角

的大小，此方法不必在图形中画出平面角；

特别:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使

之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。

7.空间距离的求法

（1）两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线，所以一般

先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算；

（2）求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解;

（3）求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来

作，因此，确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线，转化

为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求解；

8.正棱锥的各侧面和底面所成的角相等，记为，则S侧底；

9.已知:长方体的体对角线和过同一顶点的三条棱所成的角分别为

见夕,几因此有2a2£2,二1；若长方体的体对角线和过同一顶点的三

侧面所成的角分别为则有72/片2；

10.正方体和长方体的外接球的直径等和其体对角线长；

11.欧拉公式：如果简单多面体的顶点数为V,面数为F,棱数为E.

那么一2；并且棱数£=各顶点连着的棱数和的一半=各面边数和

的一半；

12.球的体积公式，表面积公式；掌握球面上两点A、B间的距

离求法：（1）计算线段的长，（2）计算球心角N的弧度数；（3）

用弧长公式计算劣弧的长；

十、排列组合和概率

1.排列数公式式⑴（2）…（+1）=谷（mW、n£N*）,当时为全排

列⑴⑵…3.2.1;

2.组合数公式：（mWn）,

3.组合数性质:

4.常用性质：(1)!;即(l<r这n);

5.二项式定理：(1)掌握二项展开式的通项：

(2)注意第r+1项二项式系数和第r+1系数的区别；

(1)6.二项式系数具有下列性质：

⑵和首末两端等距离的二项式系数相等；

若n为偶数，中间一项(第+1项)的二项式系数最大；若n

为奇数，中间两项(第和+1项)的二项式系数最大；

(3)C：+C"C：+…+C：=2〃;C：+C"..=C：+C：+,..=2'T；

7(x)二(尸展开式的各项系数和为f(1);奇数项系数和为；偶数项

的系数和为；

8.等可能事件的概率公式：(1)P(A)=；(2)互斥事件分别

发生的概率公式为：P()(A)(B)；(3)相互独立事件同时发生的

概率公式为P()=P(A)P(B)；(4)独立重复试验概率公式(k)=(5)

如果事件A.B互斥，那么事件A和、和及事件和也都

是互斥事件；(6)如果事件A.B相互独立，那么事件A.B至少有

一个不发生的概率是1—P()=1—P(A)P(B)：(6)如果事件A.B

相互独立，那么事件A.B至少有一个发生的概率是1—P()

=1-P()P();

理科选修内容基本知识

十、概率和统计

1.理解随机变量，离散型随机变量的定义，能够写出离散型随

机变量的分布列，由概率的性质可知，任意离散型随机变量的分

布列都具有下述两个性质：(1)201,2,…；(2)pl2+…=1;

2.二项分布：记作〜B(),其中为参数：并记；

3.记住以下重要公式和结论：

自••••••

X1X2

PP1・♦♦•••

P2

(1)期望值EJ=XiPi+X2P2+…++…；

(2)方差储=(x「E"pi+(X2-EG2p2+...+(x「EG2p”+...；

(3)标准差恒=7^；旦吒+b)=aEg+b\D(叱+b)=crD^；

(4)若］〜B(),则EJ=,DJ=,这里1-p;

4.掌握抽样的三种方法：(1)简单随机拍样(包括抽签法和随

机数表法)；(2)系统抽样，也叫等距离抽样；(3)分层抽样，常

用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形：

5.总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个

基本思想方法，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确,

要求能画出频率分布表和频率分布直方图；

6.正态总体的概率密度函数：式中是参数，分别表示总体的

平均数和标准差；

7.正态曲线的性质：（1）曲线在x=时处于最高点，由这一

点向左、向右两边延伸时，曲线逐渐降低；（2）曲线的对称轴位

置由确定；曲线的形状由确定，越大，曲线越矮胖；反过来曲线

越高瘦；（3）曲线在x轴上方，并且关于直线对称；

8.利用标准正态分布的分布函数数值表计算一般正态分布的

概率P（xl<<x2），可由变换而得，于是有P（xl<<x2）=；

9.假设检验的基本思想：（1）提出统计假设，确定随机变量服从

正态分布；（2）确定一次试验中的取值a是否落入范围；（3）

作出推断：如果,接受统计假设；如果a，由于这是小

概率事件，就拒绝假设；

十一、极限

1.和自然数有关的命题常用数学归纳法证明，其步骤是：（1）

验证命题对于第一个自然数n=nO（k2nO）时成立；（2）假设时成

立，从而证明当1时命题也成立，（3）得出结论。数学归纳法

是一种完全归纳法，其中两步在推理中的作用是：第一步是递

推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可。第二步证明时

要一凑假设，二凑结论；

2.数列极限(1)掌握数列极限的直观描述性定义；(2)掌握数列

极限的四则运算法则，注意其适用条件：一是数列{}{}的极限

都存在；二是仅适用于有限个数列的和、差、积、商，对于无限

个数列的和(或积)，应先求和(或积)，再求极限；(3)常用的

几个数列极限：(C为常数)；，(<1为常数).(4)无穷递

缩等比数列各项和公式(0<);

3.函数的极限：

(1)当x趋向于无穷大时，函数的极限为a

(2)当xf/时函数的极限为aolimf(x)=lim/(x)=a：

XT.%

(3)掌握函数极限的四则运算法则；

4.函数的连续性：(1)如果对函数f(x)在点0处及其附近有定义,

而且还有，就说函数f(x)在点xO处连续；(2)若f(x)和g(x)

都在点xO处连续,则f(x)土g(x)(x)g(x),(g(x)W0)也在点xO处

连续；(3)若u(x)在点xO处连续，且f(u)在uO(xO)处连续，则

复合函数f[u(x)]在点xO处也连续；

5.初等函数的连续性：①指数函数、对数函数、三角函数等都属

于基初等函数,基本初等函数在定义域内每一点处都连续;②基本

初等函数及常数函数经有限次四则运算和复合后所得到的函数,

都是初等函数.初等函数在定义域内每一点处都连续;③连续函数

的极限运算:如果函数在点xO处有极限，那么；

十二、导数

L导数的定义：f(x)在点xO处的导数记作；

2.根据导数的定义，求函数的导数步骤为：

(1)求函数的增量

(2)Ay=/(x+&)-/(幻;⑵求平均变化率包=/("))—八处；

AvAx

(3)取极限，得导数;

3.可导和连续的关系：如果函数(x)在点xO处可导，那么函数(x)

在点xO处连续；但是(x)在点xO处连续却不一定可导；

4.导数的几何意义：曲线y=f(x)在点P(xO(xO))处的切线

的斜率是相应地，切线方程是

5.导数的四则运算法则：

6.常见函数的导数公

式：C'=0(C为常数);(x11')'=mx111''(meQ);(sinx)'=cosx;

(cos^=-sinx;(ex)r=ex;(ax)=a'lna;(lnx)'=—;(log^/=—log^;

xx

7.复合函数的导数：

8.导数的应用：

(1)利用导数判断函数的单调性：设函数y=f(x)在某个区间

内可导，如果那么f(x)为增函数；如果那么f(x)为减函数;

如果在某个区间内恒有那么f(x)为常数；

(2)求可导函数极值的步骤：①求导数；②求方程的根；③

检验在方程根的左右的符号，如果左正右负，那么函数(x)

在这个根处取得最大值；如果左负右正，那么函数(x)在这个根处

取得最小值；

(3)求可导函数最大值和最小值的步骤：①求(x)在()内的极值;

②将(x)在各极值点的极值和f(a)、f(b)比较，其中最大的一

个为最大值，最小的一个是最小值。

十四、复数

1.理解复数、实数、虚数、纯虚数、模、辐角、辐角主值、共貌

复数的概念和复数的几何表示；

2.熟练掌握、灵活运用以下结论：(1)且(£外；(2)复数是实数

的条件：①金0(eR)；@ze；(§)ze220；

3.复数是纯虚数的条件：①是纯虚数=0且bW0(£R);②z是

纯虚数<=>z+1=0(zWO):③％是纯虚数ozTO;

4.解答复数问题，要学会从整体的角度出发去分析和求解(整体

思想贯穿整个复数内容)。如果遇到复数就设(ER),则有时会给

问题的解答带来不必要的运算上困难，若能把握住复数的整体

性质，充分运用整体思想，则能事半功倍;

5.复数的代数形式及其运算：(1)复数的加、减、乘、除运算按

以下法则进行，设zl..・・z・・..(e

R...1.z..(..b..(・・d)i.zl..(),

()=O+()1；ZI4-Z2=(Z2^0);

6.几个重要的结论：

6.运算律仍然成立：(1)

7.进行复数的运算时，常要注意或适当变形创造条件，从而

转化为关于计算问题,注意以下结论的灵活应用：

8.|z|=1<=>zz=1<=>z=—；

Z

文科选修内容基本知识

十、抽样方法、总体分布的估计和总体的期望和方差

1.掌握抽样的二种方法：(1)简单随机拍样(包拈抽签符和随

机数表法)；(2)分层抽样，常用于某个总体由差异明显的几部

分组成的情形；

2.总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基

本思相方法，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要

求能画出频率分布表和频率分布直方图；

3.总体特征数的估计：(1)学会用样本平均数去估计总体平

均数；(2)学会用样本方差

去估计总体方差及总体标准差；(2)学会用修正的样本方差去估计总体方差

,会用去估计；

十一、导数及应用

L导数的定义：f(x)在点xO处的导数记作；

2.根据导数的定义，求函数的导数步骤为：

(1)求函数的增量△y=/(x+Av)-/(x);

(2)求平均变化率"=；

AxAr

(3)取极限，得导数;

3.导数的几何意义：曲线y=f(x)在点P(xO(xO))处的切线

的斜率是相应地，切线方程是

4.常见函数的导数公式：

5.导数的应用：(1)利用导数判断函数的单调性：设函数y=f

(x)在某个区间内可导，如果那么f(x)为增函数；如果那

么f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有那么f(x)为常数；

(2)求可导函数极值的步骤：①求导数；②求方程的根；③检

验在方程根的左右的符号，如果左正右负，那么函数(x)在这个

根处取得最大值：如果左负右正，那么函数(x)在这个根处取得最小

值；

(3)求可导函数最大值和最小值的步骤：①求(x)在()内的极值；②

将（x）在各极值点的极值和f（a）、f（b）比较，其中最大的一个为最

大值，最小的一个是最小值。

中学数学重要数学思想

一、函数方程思想

函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间

的关系，从而解决问题的一种思维方式，是很重要的数学思想。

1.函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表

达出来，并研究这些量间的相互制约关系，最后解决问题，这就是

函数思想；

二、2.应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是一关键步骤,

大体可分为下面两个步骤：（1）根据题意建立变量之间的函数

关系式，把问题转化为相应的函数问题；（2）根据需要构造函

数，利用函数的相关知识解决问题；（3）方程思想：在某变化

过程中，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值，这时常

常列出这些变量的方程或（方程组），通过解方程（或方程组）

求出它们，这就是方程思想；

三、3.函数和方程是两个有着密切联系的数学概念，它们之间相互

渗透，很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函

数的问题也需要用方程的方法的支援，函数和方程之间的辩证

关系，形成了函数方程思想。

四、数形结合思想

数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一，对于所研究的代数

问题，有时可研究其对应几何的性质使问题得以解决（以形助数）；

或者对于所研究的几何问题，可借助于对应图形的数量关系使问题

得以解决（以数助形），这种解决问题的方法称之为数形结合。

1.数形结合和数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性，发

挥数的思路的规范性和严密性，两者相辅相成，扬长避短。

2.恩格斯是这样来定义数学的：“数学是研究现实世界的量的关系和

空间形式的科学:这就是说：数形结合是数学的本质特征，宇宙间

万事万物无不是数和形的和谐的统一。因此，数学学习中突出数形结

合思想正是充分把握住了数学的精髓和灵魂。

3.数形结合的本质是：几何图形的性质反映了数量关系，数量关系

决定了几何图形的性质。

4.华罗庚先生曾指出：“数缺性时少直观，形少数时难入微；数形结

合百般好，隔裂分家万事非J数形结合作为一种数学思想方法的应

用大致分为两种情形：或借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或

者借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系.

5.把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中，历年高考的解

答题都有关于这个方面的考查（即用代数方法研究几何问题）。而以

形为手段的数形结合在高考客观题中体现。

6.我们要抓住以下几点数形结合的解题要领：

（1）对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求

解即可；

五、（2）对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函

数的图象求解（函数的零点，顶点是关键点），作好知识的迁

移和综合运用；

六、（3）对于以下类型的问题需要注意：可分别通过构造距离

函数、斜率函数、截距函数、单位圆x22=l上的点及余弦定

理进行转化达到解题目的。

七、分类讨论的数学思想

分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一

研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，

给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。

1.有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分

类讨论的原因大致可归纳为如下几种：

（1）涉及的数学概念是分类讨论的；

（2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的;

（3）求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；

（4）数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结

果的；

八、（5）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策

略来解决的。

九、2.分类讨论是一种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用。

根据不同标准可以有不同的分类方法，但分类必须从同一标准

出发，做到不重复，不遗漏，包含各种情况，同时要有利于

问题研究。

十、化归和转化思想

所谓化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手

段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将

复杂的问题通过变化转化为筒单的问题，将难解问题通过变换转化

为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题。

立体几何中常用的转化手段有

1.通过辅助平面转化为平面问题，把已知元素和未知元素聚集在一

个平面内，实现点线、线线、线面、面面位置关系的转化：

2.平移和射影，通过平移或射影达到将立体几何问题转化为平面问

题，化未知为已知的目的;

3.等积和割补;

4.类比和联想；

5.曲和直的转化；

6.体积比，面积比，长度比的转化；

7.解析几何本身的创建过程就是“数”和“形”之间互相转化的过程。

解析几何把数学的主要研究对象数量关系和几何图形联系起来，把

代数和几何融合为一体。

中学数学常用解题方法

1.配方法

(1)配方法是指将一代数形式变形成一个或几个代数式平方的

形式，其基本形式是：2.高考中常见的基本配方形式有:

(2)a22=(a+b)2-2ab=(a)2+2;

(3)(2)a2+b2+=;

(4)(3)a2+b22=(a+b