海南省第二学期高三年级新高考数学试题月考试卷

海南省第二学期高三年级新高考数学试题月考试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：木题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.执行如图所示的程序框图，若输入的，=3,则输出的，=()

A.9B.31C.15D.63

2.某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是()

也

箫祝图

2()1()16

一71B.64C.---71—71

333

3.数列｛而｝是等差数列，ai=l,公差d£[L2],且Q4+）0o+〃i6=15,则实数入的最大值为（

75323

B.—C.

219192

171

4.已知。满足sina=—，贝!1cos—+«icosl--aj=()

314J144)

7777

A.B.-C.——D.

189189

函数/（上卷+g+1）的定义域为（）

5.

A.(2,+oo)C.

6.已知函数/(x)=cos(s+。）。＞（）,0＜夕＜]的最小正周期为万，且满足/（工+夕）=/（0—x）,则要得到函

2)

数/（X）的图像，可将函数g（x）=sins的图像（）

A.向左平移专个单位长度向右平移看个单位长度

C.向左平移葛个单位长度向右平移芸个单位长度

D.

12

7.已知实数+则a/,c的大小关系是（）

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b

8.设点A,B,。不共线，则“48—AC_LBC”是“=AC”（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

9.设某大学的女生体事y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（w,y）（i=L

2,n）,用最小二乘法建立的回归方程为S=U.85x・85.71,则下列结论中不正确的是

A.y与K具有正的线性相关关系

B.回归直线过样本点的中心（5,y）

C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kg

D.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重比为58.79kg

13

10.已知〃=log|213,c=log14,则的大小关系为（）

U3JI3

A.a>b>cB.c>a>hC.b>c>aD.a>c>b

（\

11.已知角。的顶点与坐标原点O重合，始边与X轴的非负半轴重合，它的终边过点2-3,-4）,则tan2。+:的

I4J

值为（）

12.己知集合4={1|1082（1-1）<2},8=%,则4:8=（）

A.{2,345}B.{2,3,4}C.{1,2,34}D.{0,1,23,4}

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.平面向量Q与〃的夹角为，同=1,网=1,,贝||3〃-2耳=.

14.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖膈，如图，在鳖膈P—A8C中，用J_平面ABC,

AB.LBC,且AP=AC=4,过A点分别作A£J,废于点E,AF_LPC于点/，连接后尸，则三棱锥P—的

体积的最大值为.

15.若非零向量Z?满足（。6=专，。=6,a+Z?|=S,则|卜.

16.在（6-2）”的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256,则〃=,x项的系数等于.

x

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知函数/（犬）二工一L-lnr.

(1)若人"二不一!一山在戈=玉,玉(不工毛)处导数相等，证明：/(^)+/(^)>3-21n2；

X

(2)若对于任意攵£(-8』)，直线)，二履+〃与曲线)，=/(.()都有唯一公共点，求实数》的取值范围.

18.(12分)2019年6月，国内的5G运营牌照开始发放.从2G到5G,我们国家的移动通信业务用了不到20年的时

间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对5G的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中

随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：

用户分类预计升级到5G的时段人数

早期体验用户2019年8月至2019年12月270人

中期跟随用户2020年1月至2021年12月530人

后期用户2022年I月及以后200人

我们将大学生升级5G时间的早晚与大学生愿意为5G套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系(例如早期体验

用户中愿意为5G套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%).

人数占比

(1)从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G的概率；

(2)从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以Y表示这2人中愿意为升级5G多支付10元或10

元以上的人数，求X的分布列和数学期望；

(3)2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐，能否认为样本中早期体验用户

的人数有变化？说明理由.

19.(12分)已知函数f(x)=aY-(a+l)lnx-1，aeR.

X

(1)当。K1时，讨论函数/*)的单调性；

(2)若。=1,当xe[l,2]时，函数尸())=/*)+3+-!?—W，求函数F(x)的最小值.

xx~X

20.（12分）已知函数/（刈=|五一2|一|2犬+1|・

（1）求不等式/（x）Nl的解集；

（2）若关于人的不等式/（司二3，-2户在区间卜1』内无解，求实数/的取值范围.

x—cos6

21.（12分）在直角坐标系工。\，中，曲线G的参数方程为“一,二以。为极点，*轴正半轴为极轴建立极坐标系,

y-sin0.

设点A在曲线C2：psinO=l上，点8在曲线。3：。=一9（夕>0）上，且.4QB为正三角形.

6

（1）求点A,4的极坐标；

（2）若点P为曲线G上的动点，M为线段4P的中点，求18Ml的最大值.

22.（10分）设S〃为等差数列｛〃“｝的前〃项和，且叼=5,S6+S5=2S4+35.

（1）求数列｛可｝的通项公式；

（2）若满足不等式％•（夜）”+（-1）“75”<0的正整数〃恰有3个，求正实数2的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

根据程序框图中的循环结构的运算，直至满足条件退出循环体，即可得出结果.

【详解】

执行程序框，=3,i=0；/=8,j=l；1=23,j=3；

Z=68,/=7；t=203,/=15；t=60S,Z=31,

满足/>606,退出循环，因此输出i=31,

故选:B.

【点睛】

本题考杳循环结构输出结果，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.

2、C

【解析】

由三视图可知，该几何体是下部是半径为2,高为1的圆柱的一半，上部为底面半径为2,高为2的圆锥的一半，所以,

半圆柱的体积为匕=1x22x/rxl=2不，上部半圆锥的体积为匕=:x!x2;rx22=g,所以该几何体的体积为

2-233

47r10%

1/=匕+匕,故应选C.

33

3、D

【解析】

利用等差数列通项公式推导出入"片薯'由"£口'2],能求出实数入取最大值.

【详解】

;数列｛念｝是等差数列，3=1,公差问1,2],且“4+^10+016=15,

Al+3d+k(l+9d)+l+15d=15,解得入=13—18(1,

l+9d

13-18d15

VdG[l,2],k=-------=-2+——是减函数,

l+9dl+9d

13-18]_

，d=l时，实数入取最大值为入二

1+92

故选D.

【点睛】

本题考查实数值的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

4、A

【解析】

利用两角和与差的余弦公式展开计算可得结果.

【详解】

.1

,/sma=一,

3

汗冗.71.Un.冗.

cos一+acos—cossin—sin(7cos—cosa+sin—sin«

44444

二(^^8sa=^(cos2a-sin2a)=-^(l-2sin2a)=~7

218

故选：A.

【点睛】

本题考杳三角求值，涉及两角和与差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.

5、C

【解析】

[2-x>0

函数的定义域应满足八，-1<x<2.

[lt+x>0

故选C.

6、C

【解析】

依题意可得出=2,且工=0是/")的一条对称轴，即可求出8的值，再根据三角函数的平移规则计算可得;

【详解】

7T

解：由已知得0=2,冗=。是/0)的一条对称轴，且使/(x)取得最值，则(p=-t

—Ttc兀]

f(x)=cos2x+—=cos2_x+5—71——7t,e/(x\)=s•icn2x=cos2x——，

I3jLk12；2jI2)

故选：C

【点睛】

本题考查三角函数的性质以及三角函数的变换规则，属于基础题.

7、B

【解析】

4

根据利用指数函数对数谑数的单调性即可得出.

【详解】

4

解：V1<ln3<一,

3

4Mt64

,"=3-31n3>6,3<a<3§<6，c<[^)=27<3>

••c<a<b.

故选：B.

【点睛】

本题考查了指数函数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

8、C

【解析】

利用向量垂直的表示、向量数量积的运算，结合充分必要条件的定义判断即可.

【详解】

由于点B,C不共线，则

(A6+AC)_L8Co(A6+ACj6C=0o(A8+ACj(AC-AB)=AC?—AB?AC=AB="

AB|=|AC|-；

故”(AB+4C)_LBC”是“卜耳=1AC卜的充分必要条件.

故选：C.

【点睛】

本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，属于基础题.

9、D

【解析】

根据y与x的线性回归方程为y=0.85x・85.7L则

At=0.85>0,y与x具有正的线性相关关系，A正确；

回归直线过样本点的中心(工,》)，B正确；

该大学某女生身高增加1cm,预测其体重约增加0.85kg,C正确；

该大学某女生身高为170cm,预测其体重约为0.85x170-85.71=58.79kg,D错误.

故选D.

10、D

【解析】

由指数函数的图像与性质易得力最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较4和。的大小关

系，进而得解.

【详解】

13

根据指数函数的图像与性质可知()<〃=(生<J，

I⑴

由对数函数的图像与性质可知。=log]J3>1,c=logI314>l,所以〃最小；

而由对数换底公式化简可得a-c=logI213-log1314

=]gl3lg14

一证一氤

_lg213-lgl2-lgl4

Igl2-lgl3

p-|2

由基本不等式可知4c-(Igl2+lgl4)，代入上式可得

-p

r1

,lg213--(Igl2+lgl4)

Igl2-lgl3Igl2-lgl3

i丫

lg213--lgl68

_______/

一Igl2-lgl3

(1>(1

Igl3+-lgl68-Igl3—lg168

二12八2

Igl2-lgl3

(lgl3+lgV168)-(lgl3-lgVi68)

>0

Igl2-lgl3

所以

综上可知a><?>/?,

故选：D.

【点睛】

本题考杳了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题.

11、B

【解析】

424

根据三角函数定义得到tana=7,故【an2a=-=，再利用和差公式得到答案.

37

【详解】

42tuna24

・・•角。的终边过点P(-3,T),・・・tana=2,tan2仁二=一上

31-tai?。7

tan「2a+tan-4---2-4---1-1,

47_E.

/.tan2a+一

I41-tanla-tan—1+-xl1

47

故选：B.

【点睛】

本题考查了三角函数定义，和差公式，意在考查学生的计算能力.

12、B

【解析】

解对数不等式可得集合A,由交集运算即可求解.

【详解】

集合4={工|陛2。-1）＜2}.解得4={却＜工＜5},

B二N,

由集合交集运算可得Ac8={Xlvx＜5}cN={2,3,4},

故选：B.

【点睛】

本题考查了集合交集的简单运算，对数不等式解法，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、屈

【解析】

由平面向量模的计算公式，直接计算即可.

【详解】

因为平面向量。与〃的夹角为所以〃♦〃=（）,

2

所以M一2。卜,9同2+胭2一..a=V13；

故答案为JT5

【点睛】

本题主要考查平面向量模的计算，只需先求出向量的数量积，进而即可求出结果，属于基础题型.

14、竺生

3

【解析】

由已知可得AAE尸、APEF均为直角三角形，且A尸=2及，由基本不等式可得当4£=E/=2时，△AE产的面积最

大，然后由棱锥体积公式可求得体积最大值.

【详解】

由P4_L平面48C,得7M_L8C,

又4BJL8C,且RinA〃=A,PABf贝lj8CJ_AE,

又P8_LAE,贝ljAE_L平面P3C,

于是4E_LE尸，且AE_LPC,结合条件4/_LPC,得PC_L平面AE尸，

均为直角二角形，由已知得A〃=2&,

222

而CAE+EF'）=—AF=2f

244

当且仅当A£=EP=2时，取“="，此归AA£户的面积最大，

三棱锥P-AEF的体积的最大值为：

..IXPFXS.AEF1o片）4拒

VP.AEF=---------.*=-2,2x2=—^―・

33x3

故答案为述

3

【点睛】

本题主要考查直线与平面垂直的判定，基本不等式的应用，同时考查了空间想象能力、计算能力和逻辑推理能力，属

于中档题.

15、1

【解析】

根据向量的模长公式以及数量积公式，得出|〃『+3仍|-4=0,解方程即可得出答案.

【详解】

•.d+b\=7（«+Z?）2=+2d^b+|/?|2=币

b+2xV3xcos—xb+3=7,BP|/?|2+31/?I-4=0

6

解得|。|二1或|〃|二-4（舍）

故答案为：1

【点睛】

本题主要考查了向量的数量积公式以及模长公式的应用，属于中档题.

16、81

【解析】

根据二项式系数和的性质可得〃，再利用展开式的通项公式求含％项的系数即可.

【详解】

由于所有项的二项式系数之和为2”=256,〃=8,

故（G--r的二项展开式的通项公式为加=C；•（一2）「•/三，

.1

令4一日=1,求得〃=2,可得含x项的系数等于4《=112,

故答案为；8；1.

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(I)见解析(II)b>-\nl

【解析】

(1)由题X>0,/'(X)=1+二一,，由f(x)在X=XI,X2(X/X2)处导数相等，得到/'(N)=/'(&)=，％，得

入X

+1-/7Z=0

由韦达定理得'+^-=1,

由基本不等式得X+W=玉•玉>2j豆，得王・工2>4,由题意得

%电

〃%)+/(%2)=毛毛Tn(xw)-1,令f=玉>4,则与七一-1=1-ln，-1,令

t?(r)=r-lnr-l(f>4),,利用导数性质能证明g(，)>g(4)=3-2ln2.

1,1.

八、-*,i,iz«X-----llLV—/?入X---------\v\X-b

(2)由/(x)=6+3得-二X,令"工)二X，

XX

利用反证法可证明证明"(X)<1恒成立.

由对任近皿)，旗但只有一个解，得3)为…上的递增函数，，叱。士。得

22

b>-----lnx+1,令〃7(x)=-----liu+l(x>0),由此可求Z?的取值范围・・

XX

【详解】

⑴/(r)=1+4r~~

X

2—+1—/«=0

令r(x)=r(w)=〃7,得'V

1

——+1-〃2=0

11,

由韦达定理得一+—=1

即%+玉=%•/>2,5小,得西•々>4

丁•/(%)+/(%2)=(百+々)---+----(1叫+11^2)

\xia)

=%%-1Mxxj-i

令f=不多>4,则=/-ln/-l,令8(1)=/-1皿-1(/>4),

贝i」g'(f)=l—l>0(f>4),得g(/)>g(4)=3-21n2

(ID由/(犬)=履+〃得_“一(一睡一”

K-

X

1,f

Ax-------Inx-/?

令〃(力---------，

x

贝!Jx-O+,/z(x)->^x>,xf+co,%(x)-1

下面先证明〃(x)<l恒成立.

若存在再£(0,y),使得〃(不)之1,・・,xf0+,〃(x)->e,且当自变量工充分大时，九3「丁欣”C，

所以存在百e(0,xo),%w(%,~KO),使得力(%)<1"仇)<1,WA=max{〃(x),〃(X2)}<l,则打人与y=/z(x)

至少有两个交点，矛盾.

由对任意攵£(一8,1),/?(6二%只有一个解，得力(6为(o,y)上的递增函数，."⑺；1nx+610

JC

22712—r

得----lnr+1,令〃z(x)=-------lar+l(x>0),贝！=F——=—,

AX人X

得〃N，〃(x)3=M2)=Tn2

【点睛】

本题考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力属难题.

18、(1)0.8(2)详见解析(3)事件。虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02,所以认为早期体验用户没有发生

变化，详见解析

【解析】

(1)由从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G,结合古典撒型的概率计算公式，

即可求解；

(2)由题意X的所有可能值为0』,2,利用相互独立事件的概率计算公式，分别求得相应的概率，得到随机变量的分

布列，利用期望的公式，即可求解.

(3)设事件。为“从这1。00人的样本中随机抽取3人，这二位学生都已签约5G套餐”，得到七概率为2(。)，即可

得到结论.

【详解】

(1)由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G的概率估计为样本中早

期体验用户和中期跟随用户的频率，即27震30=@8.

100()

(2)由题意X的所有可能值为04,2,

记事件4为“从早期体验用户中随机抽取1人,该学生愿意为升级5G多支付10元或10元以上”，

事件8为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G多支付10元或10元以上”，

由题意可知，事件A,3相互独立，且尸(A)=l-40%=().6,P(B)=l-45%=0.55,

所以尸(X=0)=P(AB)=(1-0.6)(!-0.55)=0.18,

P(X一1)一+P(AB)+P(AB)=P(A)(1。(8))I(1P(A)P(8)

=0.6x(I—0.55)+(1—0.6)x0.55=0.49,

P(X=2)=P(AB)=0.6x0.55=0.33,

所以X的分布列为

X012

P0.180.490.33

故X的数学期望£(X)=0x0.18+1x0.49+2x0.33=1.15.

r3

(3)设事件。为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐％那么。(。)=不衿才0.02.

dooo

回答一：事件。虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02,所以认为早期体验用户没有发生变化.

回答一：事件。发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加.

【点睛】

本题主要考查了离散型随机变量的分布列，数学期望的求解及应用，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清

楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学

期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.

19、(1)见解析(2)尸(©的最小值为尸(2)=；-21n2

【解析】

(1)由题可得函数八刈的定义域为(0,+8),

“、4+1।-（67+l）X4-l（X-1）（6LV-1）八、

/（A）=«--------+—=------------；---------=----------；-------（ZA>0）,

XX『X

当awo时，cix-1<0,令尸。）<0,可得x>1；4fM>0,可得0cx<1,

所以函数/(X)在(0,1)上单调递增，在(1,转)上单调递减;

当0<々<1时，令尸(x)v0,可得Ivxv'；令/'(x)>0,可得Ovxvl或

aa

所以函数/(x)在(OJ),(士+0。)上单调递增，在(1,，)上单调递减;

aa

当4=1时，尸")2。恒成立，所以函数/*)在(0,+8)上单调递增.

综上，当时，函数在(0,1)上单调递增，在。,内)上单调递减；当Ovacl时，函数/(X)在(0,1),(l.+oo)

a

上单调递增，在上单调递减；当。=1时，函数/*)在(0,+8)上单调递增.

a

412312

(2)方法一：当4=1时，F(x)=f(A")H17^=X-21nX4----17T，xw[l,2],

XXXXJTX

2r-?

设g(x)=x-21nx,xe[l,2],贝ijg，Q)=1，==WO,

XX

所以函数的x)在[1,2]上单调递减，所以⑵=2-2ln2,当且仅当X=2时取等号.当犬€工2]时，设上=/,

x

17I7

则此匕』],所以士十3-彳=3/+/_2之

2xx'x3

]1io

设版r)=3f+7-2/,/e[—,1],则力'。)=3+力-6产=-6«一一)2+—,

266

所以函数“⑺在[；[]上单调递减，K/^)=|>0,//(1)=-K0,

所以存在fowg」)，使得〃&)=0,所以当时，h\t)>0；当时，〃'⑺<0,

所以函数万“)在(；J°)上单调递增，在11)上单调递减，

13133123

因为〃6=9〃⑴=2,所以W)N*)=j所以±+3-彳4,当且仅当x=2时取等号.所以当x=2时,函

2222xx~2

37

数F(x)取得最小值，且F(x)min=2-21n2+^=^-21n2,

7

故函数尸(X)的最小值为:-21n2.

4I2312

方法二；当。=1时，F(x)=/(x)i।,「X21nxi〜，iXG[1,2],

Xx~XXx~X

2326_(丫-l)(F-炉-4T—6)

113

令g(x)=]3_4工_6,XG[1,2],则g(t)=3%2-2x-4=3(x——)2---

33

所以函数g'(x)在［1,2］上单调递增,

又山⑴二-3,/(2)=4,所以存在/w(l,2),使得g'(1)=0,

所以函数g(x)在［1,%)上单调递减，在L.2］上单调递增，

因为仪1)=-1。<。，冢2)=-10<0,所以当xeU，2］时，g(x)<0恒成立,

所以当xeU,2］时，F'(x)WO恒成立，所以函数”(幻在［1,2］上单调递减，

所以函数尸(幻的最小值为F(2)=2-21n24-13+^1--2^=^7-21n2.

20、(1)［-2,0］；(2)(—00,—)(2,-HX>),

2

【解析】

(1)只需分xN2,-i<x<2,工<一!三种情况讨论即可；

22

(2)/*)>3/-2/在区间卜1,1］上恒成立，转化为〃耳由>3，一2巴只需求出〃x).即可.

【详解】

(1)当x之2时，/(x)=-x-3<-5,此时不等式无解；当一;《x<2时，/(x)=-3x+l,

11

—«x<2］I［<—I

由’2得—WxW0；当x<—时，f(X)=x+3,由，2得—2Wx<—,

-3x+l>l［A+3>1

综上，不等式的解集为［-2,0］；

(2)依题意，〃x)>3r—2〃在区间卜川上恒成立，则3"2/，当一心上<一；时，

/(T)=X+3G［2,1);当一;<.rWl时，/(-r)=-3.x+lG［-2,1j,所以当时，〃。皿=-2,

由3f—2产v—2得2>2或/<一:，所以实数/的取值范围为(—,一:)。(2,+00).

ZL

【点睛】

本题考查绝对值不等式的解法、不等式恒成立问题，考查学生分类讨论与转化与化归的思想，是一道基础题.

21、(1)A|^~\»B2,一£；(2),+省.

I6jI6；2

【解析】

(1)利用极坐标和直角坐标的互化公式，即得解;

(2)设点M的直角坐标为",)，)，则点P的直角坐标为将此代入曲线G的方程，可得点M在以

。导为圆心，；为半径的圆上，所以|BM|的最大值为|8Q|+g,即得解.

【详解】

(1)因为点A在曲线G：e=-£(o>°)上，.AO3为正三角形,

所以点4在曲线。=工(0>