2025-2026学年安徽合肥一中高三下学期数学3月质检试卷（含答案）

合肥一中滨湖校区高三年级3月质量检测数学一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共计40分.每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知复数z=1−1iA.2B.-2C.2iD.−2.2x−3xA.2,+∞B.C.(1,3.记等差数列an的前n项和为Sn,且S6=SA.12B.34.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，作PM⊥l于点M，若△A.1B.2C.3D.45.已知钝角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A.3,8B.(1,6.已知函数fx是定义在R上的偶函数，y=fx−1A.fx的一个周期为B.fC.fD.i7.已知向量a=2,4,a⋅b=10A.4,2B.2,48.已知a=log97107,A.b<c<aB.a二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.下列有关说法正确的是()A.设随机变量ξ服从正态分布Nμ,2，若PξB.若随机变量X∼B6,C.直线3x+2y−D.双曲线y24−x第10题10.如图,在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=AA1=2,ABA.P、QB.线段BC1为直三棱柱ABCC.三棱锥P−A1QND.直线MN与AC所成角余弦值为311.若fx=sinA.fx的最小正周期是B.fx的对称轴方程为C.存在实数a,使得对任意的x∈R,都存在x1,x2∈−D.若函数gx=2fx+b,x∈0三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.曲线y=2x−4x+13.已知1+2x60+4−x60=a0+a114.已知实数x,y满足3x−2y+y−x=2x四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)某公司研发了一种智能语音客服系统，在测试时，当语音输入的问题表达清晰时，智能语音客服的回答被采纳的概率为56,当语音输入的问题表达不清晰时,智能语音客服的回答被采纳的概率为12.已知语音输入的问题表达清晰的概率为3(1)求智能语音客服的回答被采纳的概率；(2)在某次测试中输入了4个问题，设X表示智能语音客服的回答被采纳的次数，求X的分布列、数学期望和方差.16.(15分)记数列an的前n项和为Sn，已知(1)求an(2)若bn=an+1an+1−1an+2−1，记数列bn的前17.(15分)如图,三棱台ABC−A1B1C1中,CC1⊥(1)证明:平面ABB1A1⊥(2)已知三棱台ABC−A1B1C1的体积大于2，且直线BC1与平面DEC1所成的角的正弦值为18.(17分)在平面直角坐标系xOy中,已知点F1−1,0,F21,0,点M(1)求曲线C的方程;(2)设曲线C的左顶点为E,动直线l与曲线C交于P,Q(i)设直线EP,EQ的斜率分别为k1,k2,且满足k(ii)若直线l经过点F2,且P,N关于原点对称,是否存在直线l,使得四边形OF2QN的面积为94?19.(17分)已知函数fx(1)若a=2，求f(2)∀x∈[0,+∞)，fx≥cos(3)若a=1,x∈[−2π,+∞)时，y=m与y选择题:1234567891011CDCCCBDCABCBCDAD14、15填空题:12、3x-2y-5=013、39详解:8.已知a=log97107,A.b<c<aB.a【答案】Ca=设fx=lnx−1当x>1时,f′x>0∴f107>f∴b<a,又设gx则g′令hx则h′∴hx在1∴当x>7时,∴g′x<0,∴gx故选:C.11.若fx=sinA.fx的最小正周期是B.fx的对称轴方程为C.存在实数a,使得对任意的x∈R,都存在x1,x2∈−D.若函数gx=2fx+b,x∈0【答案】AD由题设fx所以f2x=41由y=cos2x的最小正周期为π,则y=cos2x同理y=21+cos2x+π6的最小正周期为π,则对于fx,令2x+π6=kπ2,则对称轴方程为对任意x有fx∈2,22,∃a∈R,∃x1,x2∈−5π12,0所以afxk∈2a,所以2a<526a≥924由gx=0可转化为fx与y=−b2交点横坐标,而函数有奇数个零点,由图知:6≤−b2≤x1+x所以x1+故选:AD14.已知实数x,y满足3x−2y+y−x=2x−y且由3x−2y+y−x=2x−y=3x−2y+y−x可知, 3x−2y所以2xy9当且仅当9t=4t,即故2xy9x2+3xy15.(13分)某公司研发了一种智能语音客服系统，在测试时，当语音输入的问题表达清晰时，智能语音客服的回答被采纳的概率为56,当语音输入的问题表达不清晰时,智能语音客服的回答被采纳的概率为12.已知语音输入的问题表达清晰的概率为3(1)求智能语音客服的回答被采纳的概率；(2)在某次测试中输入了4个问题，设X表示智能语音客服的回答被采纳的次数，求X的分布列、数学期望和方差.解:(1)设A表示事件“智能语音客服的回答被采纳”；B表示事件“语音输入的问题表达清晰”,由题意可知,PB=所以PA即智能语音客服的回答被采纳的概率为34.6(2)依题意得，X的所有可能取值为0,1,2,3,4，且X∼B4,3PPX=所以X的分布列为11分X01234P256327128276481256EX=16.(15分)记数列an的前n项和为Sn,已知(1)求an(2)若bn=an+1an+1−1an+2−1，记数列bn的前解:(1)因为3a1=2S1+1=2a1+所以3an−3an则an是首项为1,公比为3所以an的通项公式为an(2)易知bn=所以Tn=因为TnSn=所以t的取值范围为14,17.(15分)如图，三棱台ABC−A1B1C1中，CC1⊥(1)证明:平面ABB1A1⊥(2)已知三棱台ABC−A1B1C1的体积大于2，且直线BC1与平面DEC1所成的角的正弦值为1010解:(1)证明:因为CC1⊥平面ABC,所以CC1⊥AB,又因为AB⊥B所以AB⊥平面BCC1B1,又因为所以平面ABB1A1⊥(2)解:在三棱台ABC−A1B1C1中，A1B1=B1C1=所以A1,B1由(1)知AB⊥平面BCC1B1,B1E,C1E得:DE所以∠B1EC1为平面DEC1设CC1=aa>0,点B由VB−h所以10所以a=1或又因为V所以a>127，所以所以在Rt△B1C1E中,cos∠B1EC1=255(备注:本题用建系法也可以解决，可参照上述标准适当给分)18.(17分)在平面直角坐标系xOy中,已知点F1−1,0,F21,0,点M满足(1)求曲线C的方程；(2)设曲线C的左顶点为E,动直线l与曲线C交于P,Q(i)设直线EP,EQ的斜率分别为k1,k2,且满足k(ii)若直线l经过点F2，且P，N关于原点对称，是否存在直线l，使得四边形OF2QN的面积为94?若存在,求出直线解:(1)因为MF1+由椭圆的定义可知M的轨迹C是F1,F2设C的方程为x2a2+y解得a=∴C的方程为x2(2)如图，(i)由E−2,0，设直线直线EP,EQ的斜率分别为k1,k联立x=my+nxy1+kk1kk1k2=3解得:n=−1,则直线l过定点−(ii)满足题意的直线条数有三条,证明如下:由题意可知直线PQ的斜率不为0,设PQ:x=my+可得3m2因为四边形OF2QN的面积为所以S=OF2∥代入①可得y1=−4m3代入②式可得−4m3−4m3当−所以81m3−36m2+76m−令φm=81m3−36m2+76m−48所以φ′m>0,即φm在R单调递增,因为φ0=−48<0,φ当−4m3m2+4−32−2m3m2+4+32=−19.(17分)已知函数fx(1)若a=2，求f(2)∀x∈[0,+∞)，fx≥cos(3)若a=1,x∈[−2π,+∞)时，y=m与y=fx的图象有三个交点，横坐标分别为xp(1)解:当a=2时,可得fx=e令gx=ex+cos当x<0时,ex<1即f′x<0当x≥0时,ex≥1,−sin则gx≥g0=e所以函数fx的单调递减区间为−∞,0,单调递增区间为[(2)解:令hx=可得h′x=ex则m′当0≤x≤π4时,1当x>π4时,ex≥所以当x∈[0,+∞)时,可得即h′x单调递增,h当a≤2时,h′0≥0,则h所以hx≥h0=0当a>2时,存在x0∈0当x∈0,x0当x∈x0,+∞时,当x∈0,x0综上可得,实数a的取值范围为(−∞,2](3)解:当a=1时，fx=ex设f1x=f′设f2x=f1设f3x=f2当x∈[−2π,−π)时,e则f3x在x∈[−2π因为f3所以存在唯一x0∈−2π,−可得f2x在−2π,x0f所以存在唯一的λ∈−2π,−3π且f1x在−2π,λ上单调递