高中数学常用公式及知识点北师大版

北师大版教材

高中数学

常用公式及知识点记

忆检测

（必修1必修5及选修2-1）

目录

必修1......................................................................................3

必修2......................................................................................7

必修3.......................................................................................10

必修4.......................................................................................13

必修5.......................................................................................18

选秀2-1..............................................................................22

后记........................................28

必修1

§集合

1.集合的基本运算

AnB=（iEeA,且z£B｝；41）3=｛川%6八,或力€3｝；54=｛川］£17,且1CA｝

2..集合的包含关系：ACA：0=A；

3.识记重要结论：AfB=AoA^B,A^B=A^A^B;

Cu（A\JB）=CuAnCuB；Cu（AC｝B）=CuA\JCuB

4.对常用集合的元素的结识

①A二｛x|x2+3x-4=0｝中的元素是方程d+3x—4=0的解，A即方程的解集；

②8=｛x|f+x—6W0｝中的元素是不等式/+工一6《0的解，B即不等式的解集；

@C=｛y\y=x2+2x-lO<x<5］中的元素是函数），=V+2x-l,0Kx<5的函数值，

C即函数的值域；

2

@D=|x|=iog2（x+2x-1）|中的元素是函数y=k）g2（Y+21一1）的自变量，O即函

数的定义域：

⑤知二人工尸可丁=？%—?｝中的元素可当作是关于x,j，的方程的解集，也可当作以方程

），二2%一3的解为坐标的点，M为点的集合，是一条直线。

5.集合｛4，4，…，〃”｝的子集个数共有2"个；真子集有2〃-1个；非空子集有2”-1

个；非空的真子集有2〃-2个.

6.方程/(幻=0在火,右)上有且只有一个实根，与f(k})/(A)<0不等价，前者是后者的

一个必要而不是充足条件.特别地，方程ar?+公+。=0(。工())有且只有一个实根在

(匕，鼠)内，等价于)<0,或/(占)=0且匕<一上■<」~工，或f(k、)=0且

2a2

7.闭区间上的二次函数的最值问题：

二次函数f(x)=ax2+bx+c(a/0)在闭区间［p,q］上的最值只能在x=-上~处及区间的

2a

两端点处取得，具体如下：⑴当a>0时，①若x=-2e［p,司，则

2a

=/(-y-X/W^x=max{/(〃)，/(/}；：.........................：

2〃;二次函数在闭区间上必有；

②—与［〃,司"⑴皿=max{/(p)J⑷},|最值，求最值问题用“两见I

/(x).=min{/(〃),/(9)}.L------------------------」

⑵当a<0时,①若x二一/£DM］，则/(x)min=min{f(p)9f(q)}，

②若x=任［〃，司，则/(x)a=max{/(p),/(g)},/Wndn=niin{/(/?),/(</)}.

8.。"(司=心［/(矶,而

9.由不等导相等的有效方法：若aNb且aWb,则。二尻

§函数

1.函数的单调性

(1)设内工工2那么

(%一马)[/(/)—f(马)]>。<=>皿-/⑺〉。0/(x)在上以上是增函数:

(X,/(*)—/(*)<0。/(幻在M力]上是减函数.

Xi~X2

⑵设函数)=/(不)在某个区间内可导，假如ra)>o,则/(外为增函数；假如

f\x)<0,则f(x)为减函数.

⑶单调性性质：

①增函数+增函数;增函数；②减函数+减函数;减函数；③增函数-减函数二增函数；④减函

数-增函数=减函数；

注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交

集。

2.复合函数单调性的判断方法：

⑴假如函数/⑴和g(x)都是减函数(增函数)，则在公共定义域内，和函数是(x)+g(x)

也是减函数(增函数)；

⑵对于复合函巍=〃g(x)的单调性，必须考虑=/(〃)与

〃的单调性，从而得力，=/〔&(x)巾勺单调性。小结：同增异

减。研究函数

y=f(")〃=g(x)y=f[g(x)]

的单调性，定

增函数增函数增函数

增函数减函数减函数义域优先考

减函数

增函数减函数虑，且复合函

减函数减函数增函数

3.函数的奇偶性(注：奇偶函数大前提：定义域必须关于原点对称)

⑴若/(幻是偶函数，则/(x)=/(—x)=/(W)；偶函数的图象关于y轴对称；偶函数

在x>0和x<0上具有相反的单调区间。

⑵定义域含零的奇函数必过原点(可用于求参数)；奇函数的图象关于原点对称；奇函数

在x>0和xvO上具有相同的单调区间。

⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式:/(X)土/(一X)=0或者：((j=±l(/(x)^O)

⑷奇偶函数的图象特性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过

来，假如一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；假如一个函数的图象关

于y轴对称，那么这个函数是偶函数.

⑸多项式函数P(x)=++4的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数=P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.

多项式函数P(x)是偶函数oP(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

4.函数y=/(x)的图象的对称性：函数y=/(x)的图象关于直线x=a对称

<=>+x)=f(a-x)<=>f(2a-x)=f(x).

5.两个函数图象的对称性

(1)函数)，=/*)与函数y=f(-x)的图象关于直线x=0(即)，轴)对称.

(2)函数)，=/(x)与函数y=-/*)的图象关于直线y=0(即X轴)对称.

(3)指数函数)，=M和y=log,1的图象关于直线y=x对称.

6.若将函数>=/5)的图象右移。、上移。个单位，得到函数)，=/(工一。)+匕的图象；

若将曲线/(羽)，)=0的图象右移。、上移〃个单位，得到曲线/“一凡)，-6)=0的图象.

7.互为反函数的两个函数的关系：f(a)=b<^=a.

8.几个常见抽象函数模型所相应的具体函数模型

(1)正比例函数/(x)=kx,f(x+y)=f(x)十/(>•),fO)=k.

⑵指数函数/(x)=a\f(x+y)=f(x)f(y),f(x-y)=/(x)+/()，)J⑴=a工0.

x

(3)对数函数f(x)=log“x,f(xy)=/(x)+=f(x)+/()，),.

(4)基函数/(x)=r,/too=/(x)/(y),/(D=a.

(5)余弦函数f(x)=cosx,正弦函数g(x)=sinx,f(x-y)=f(x)f(j)+^(x)^(y)，

/(0)=1.

9.对于y=x,y=x2,y=/,y=x2,y=-的图象，了解它们的变叱情

况.如右下图:

10.几个函数方程的周期(awO)

(Dy=/(x)对xeR时，

/(%)=/(…)，则

/*)的周期为。的周

期函数

⑵/(x+a)=/(x-a)

或/(X-勿)=〃x)(a>0)

恒成立，则)，=/("是周期为2。的周期函数

⑶若丁=/(力是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则是周期为2何的周期函数

⑷若y=/(x)是奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则是周期为4时的周期函数

⑸y=f(x)对XER时，/(x)+/(x+a)=0,或/(X+Q)=———(/(x),0),则

fW

y=f(x)的周期2时的周期函数

11.函数图像变换

向男或向-网5<的移-岛-|-白粒fy=/(五)+/?图象

y=/(x+0)图象

向左(6>0)或向行(4><0)移I小I单4；A

y=/(x)图象

班的级坐标率囱本来的A倍一y=*("图象

横坐标不变

点.的横坐标恋为本来的」£3一倍.y=f(wx)图象

纵坐标不变

12.分数指数鬲：(1)而=叱(。>0,机,〃EN*,且〃>1);

।

(2)a"=——/W(>0,m.nwN",且〃>1).

6

13.根式的性质：(1)(标)"=。；(2)当〃为奇数时,a；当〃为偶数时,

\l'a"=|a|=«a,a>0

-a.a<0

14.有理指数塞的运算性质

(1)a'•a'=(a>0,i\seR)■,(2)(ar)'=a"(a>0,r,swR);

(3)(ab)r=arbr{a>0,Z?>0,r€/?).

15.指数式与对数式的互化式：log,N=boab=N(a>0,awl,N>0).

losN

16.对数的换底公式：log〃N=——(a>0,且awl,6>0,且mwl,N>0).

log,”。

n

推论log”,,,b"=—logqh(。>0,且4>1,且〃2¥1,〃wl,N>0).

17.对数有关性质：

⑴log,。的符号有口诀“同正异负”记忆；

⑵log”a=l：

⑶log”1=0；

⑷对数恒等式：/区d=N(a>0,aw1,N>0)

m

⑸logab=m-logub；

⑹设函数/(%)=log,”(a/+0x+c)(a00),记△=〃-4〃c.若f(x)的定义域为R,则

〃>(),且△<();若/(力的值域为R,则。>(),且420.对于〃=()的情形，需要单独检

查.；

18.⑴对数函数)，=log“X(4>0,4W1)的图像和性质分析：

a的符号a>\0<6f<1

1

]y

图像J

o

定义域(o,-4-00)

值域

单调性在(0,+8)上是增函数在(0,+8)上是减函数

过定点(1,0)

时，；时，；

函数值的分布情况0<xv1y<00vxv1y>0

x>1时，y>0x>l时，y<()

⑵指数函数y=a'(a>0,aw1)的图像和性质分析:

定义域,+oo)

值域(<>,+00)

单调性在(一，代。)上是增函数在(YO,+OO)上是减函数

过定点(0,1)

函数值的分X>()时，>?>1;x>()时，0<y<1；

布情况x<0时，0<y<lx<0时，y>\

19.平均增长率的问题

假如本来产值的基甜数为N,平均增长率为〃，则对于时间x的总产值y,有

y=N(l+p)[

必修2

§立体几何初步

1.常用公理和定理

公理1：假如一条直线上的两点在一一个平面内，那么这条直线在此平面内.

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

公理3：假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直

线.

公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.

定理：①空间中假如两个侑的两条边分别相应平行，那么这两个角相等或互补.

②平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.

③一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.

④一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直.

⑤一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直.

⑥一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平

行.

⑦两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线互相平行.

⑧垂直于同一个平面的两条直线平行.,

⑨两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平螃吃

2.三余弦定理（最小角定理:立平斜公式）

设AB与平面a所成的角为4,AC是a内的任一条.

直线，且AC与AB的射影AB所成的角为“，

AB与AC所成的角为9.则cos。=cos4cos2.如右图⑴。图⑴

S.

3.面积射影定理：S=--.（平面多边形及其射影的面积分别是S、S,它们所在平

cos。

面所成锐二面角的为。）.如图（2）。8

4.已知：长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为

a、。、y,因此有cos?a+cos??+cos?7=1：若长方体的体对（彳二

线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为a、。、y,则有

222

cosa+cos/?+cos/=2o（线线面12）

图⑵

5.棱锥的平行截面的性质：

假如棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面枳与底面面

积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（相应角相等，相应边相应感比例的多边形

是相似多边形，相似多边形面积的比等于相应边的比的平方）U；相应小棱-锥与X小棱锥的侧

面积的比等于顶点到截面距离与楂锥高的平方比.）

4

6.①球的半径是R,则其体积旷=一4/?3,其表面积

3

S=4TTR2；②球的半径（R）,截面圆半径（，），球

心到截面的距离为（d）构成直角三角形，因而有关

系：r=^R2-d2,它仅是计算球的关键所在，如图⑶.

困⑶

7.球的组合体

（1）球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

（2）球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切

球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.

8.柱体、锥体的体积

V^=-Sh（S是柱体的底面积、力是柱体的高）；匕制=」S/z（S是锥体的底面

次1牛3班33

积、”是锥体的高）.

§解析几何初步

1.斜率公式

①女二止乂（小西方）、

P2（x2,y2）,xA^x2）=tancr。0万）；②直线）=依+〃的

W一%

一般两点斜截距

一个方向向量为（1,左）

2.直线的五种方程

（1）点斜式y-y=%（工一%）（直线/过点6（F，力），且斜率为Z）.

（2）斜截式），二依一〃（b为直线/在y轴上的截距）.

（3）两点式'~"'（）”%）（（（%,y）、（%工％））.

以一yx2-x,

（4）截距式-+-=1（^8分别为直线的横、纵截距，。、〃00）

ab

（5）一般式A¥+3y+C=0（其中A、B不同时为0）.

3.两条直线的平行和垂直

⑴若(：y=左1工+々，/2\y=k2x+b2,则有.

①4||A=Kw优：②/[±/2＜=＞kyk2=—1.

(2)若4：4天+4〉+。1=0,/2：4工+82)'+。2=°，且人1、A?、Bi、B?都不为零，

①=a=②4_L，2=A4+4层=o；

A?B、C?

(3)直线]:Ax+3)，+C=()中，若A=0,3/0,则/垂直于丫自―北-A-c-n—c-驷/垂

右谯希(畋)ift\

直于x轴。

4.四种常用直线系(具有共同特性的一族直线)方程

(1)定点直线系方程：通过定点6(%,%)的直线系方程为＞一孙二女"一/)(除直线

x=x0)，其中々是待定的系数；通过定点兄(％,%)的直线系方程为

A(x-x0)+B(j-%)=0,其中A,8是待定的系数.

(2)共点直线系方程：通过两直线乙：4工+与)，+G=0,，2：4工+32》+。2=0的交点的

直线系方程为(4不十&)，+£)+4(41+纥＞+。2)=。(除/2)，其中人是待定的系数.

(3)平行直线系方程：直线＞，="+人中当斜率k一定而b变动时，表达平行直线系方

程.与直线AY+8y+C=()平行的直线系方程是At+8)，+；l=0(/lw()),人是参变

量.

⑷垂直直线系方程：与直线Ar+8)，+C=0(A#0,BK0)垂直的直线系方程是

Bx-Ay+A=0,入是参变量.

5•点到直线的距离

d=曲7+①&+5(点PK，%),直线3Ax-+By+C=O).

yJA2+B2

6.圆的三种方程

(1)圆的标准方程(X—。)2+()，一〃)2=,；(？)圆的一般方程

X2+/+DX+£>^+F=0(D2+E2-4F>0).(3)圆的直径式方程

(x-X1)(x-x2)+(y-)'1)(y-y2)=0(圆的直径的端点是他/)、B(xvy2)).

7.点与圆的位置关系

点P(/，)b)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系有三种若

d=J(4一改)尸十(V一为了,则">厂=点?在圆外；"=〃U>点?在圆上；△<厂=点

P在圆内.

8.直线与圆的位置关系：直线Ax+8y+C=O与圆。-。)2+()，一32二,2的位置关系有

三种:d>ro相离<=>A<O;t/=r<=>相切oA=0;J</<=>相交o△>0.其中

_\Aa+Bb+C\

dJ-2+/

9.两圆位置关系的鉴定方法：设两圆圆心分别为6,02,半径分别为n,r2,\O}O2\=d

外离o4条公切线；d=/十3o外切o3条公切线

-r2\<d<rx+r2o相交<=>2条公切线;d=|/(-^|<=>内切o1条公切线；

0<d<吊-』o内含<=>无公切线.

10.圆的切线方程：已知圆V+y2=产.过圆上的4(%,%)点的切线方程为

xox+yoy=r-t

1L空间直角坐标系中点的坐标及距离公式：3.设A(*,y1,z),B(x2,y2,z2),则

|AB|=|阴二JOB-叫=展2-%)2+(%-。丫+G-zj2.

必修三

§记录

1.抽样方法重要有：①简朴随机抽样(抽签法、随机样数表法)经常用于总体个数较少

时，它的重要特性是从总体中逐个抽取；②系统抽样，经常用于总体个数较多时，它

的重要特性就是均衡成若干部分，每一部分只取一个；③分层抽样，重要特性分层按

比例抽样，重要使用于总体中有明显差异。它们的共同特性是每个个体被抽到的概率

相等。每层样本数量与每层个体数量的比与样本容量与总体容量的比相等或相近。

即：

每部分抽取的个体数_样本容量或者生

该部分的个体总数一总体中的个体数”N「N

2.简朴随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较

适用

类别共同点各自特点联系

范围

单

简(1)抽样过程总体个数

机

随从总体中逐个抽取

中每个个较少

抽

样体被抽到

将总体均提成几部在起始部分

的也许性总体个数

分，按预先制定的规则样时采用简

相等较多

系统(2)每次抽出在各部分抽取随机抽样

抽样个体后不总体由差

分层抽样时采

再将它放将总体提成几层，异明显的

分层用简朴随机抽

回，即不分层进行抽取几部分组

抽样样或系统抽样

放回抽样成

3.总体分布的估计：用样本估计总体的方法就是把样本的频率作为总体的概率。••般地.

样本容量越大，这种估计就越精确，规定能画出频率分布表和频率分布直方图.

4.用样本的数字特性估计总体的数字特性

中位数：算出来可避免极瑞数据，代表着数据总体的中档情况。(假如总数个数是奇数的

话，按从小到大的顺序，取中间的那个数；假如总数个数是偶数个的话，按从小到大的顺序，取

中间那两个数的平均数)

众数：一般来说，一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数。

例如：1,2,3,3,4的众数是3。

但是，假如有两个或两个以上个数出现次数都是最多的，那么这儿个数都是这组数据的

众数。

例如：1,2,2,3,3,4的众数是2和3。

尚有，假如所有数据出现的次数都同样，那么这组数据没有众数。

例如：1,2,3,4,5没有众数。

样本平均数：/二%十小十七十…十工"

样本方差：S2=-十(七一x)+…+(%

n

22

样本数据X],X2,…，Xn的标准差5=-x)+(x2-X)H----F(XM—x)~]

5.回归直线»=法+。必过样本平均点(I,其中人为斜率，如〃<0,则变量无每增

长1个单位时，变量y平均减少1个单位；线性回归方程方程为$=尿+。系数公式:

一儿"__

1)=丹--------,a=y-bx。

k2-2

/=1

§算法初步

1.①画出计算22+42+6?+…+1(X)2的程序框图,如图⑴；

图(1)图(2)图(3)

⑤某城市缺水问题比较

突出，为了制定节水管

理办法，对全市居民某

年的月均用水最进

行了抽样调查，其中4

位居民的月均用水量

分别为：内,…，Z（单位：

吨）。根据如图所示

的程序框图，若

%,工2，%3,5分别为1，

1.5,1.5,2,则输出

的结果s为.

④假如执行下面的程序

框图，如图⑷，输入

N=5,则输出的数等于—

⑤阅读下面的程序框图

（5）,运营相应的程序后，

则输出S的值为.

§概率

1.等也许性事件的概率:

m事件A包含的基本事件数m

P(A)==（古典概率公式）

试验的基本事件总数〃

"八一构成事件4的区域长度（面积或体积）,“面底灰八十、

0.一试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）0何概率,、式

必修4

§三角函数

1.⑴终边相同的角的集合：｛刈力=2+2版•，丘Z卜

⑵角度与弧度的换算：

18()

180="rad,1=」—(rad),lrad=

180V7不；

⑶弧长与扇形的面积公式：弧长/二同〃，扇形面积5=4〃=3升尸.

22

⑷常见三角不等式

①若xe(0,&),WJsinx<x<tanx；②若xw(0,2),PM1<sinx+cosx<V2；

22

|sinx|-4-1cosx|>1.

2.常用三角函数不等式及相关等式的解集:

⑴①sinx>cosx的x集合是

IJT_,3TC_,.

'x—+2k冗<x<—+IkTr.keZ；

44

②sinx=cosx的x集合是

x|X=—+£Z»；

③sinxvcos九的x集合是

I37r-,71Alir

x-------+215<x<—F2k冗、ksZ\。

144

(2)①卜inx|>|cosM的X集合

是，x|—+A:^-<x<—+GZ>；

,44

②bin.=|cosX的工集合是

x=2-+k兀,keZ>

4

③卜inx\<|cos的人集合是'x\-^+k^<x<—^k^,KeZ><,

4I

3.（1）对于“sin2+cosa,sina-cosa,sinacosa”三个式子，己知其中任意一个式子

的值，可求出其余二式的值。

⑵三角函数的诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限，，”

形似角中的角。不管多大，都看作锐角；形似角在原名称、原象限中的符号作为等式右边

的符号;

1800+。2x90°+asin(l80°+a)=-sina

注意：总共两套

180°-。)2x90°-a)sin(18O°-a)=sina,

900+。lx90°+asin(9O°+c)=cosa,诱导公式（一套

90°-a1x90°-asin(90°—c)=，

是函数名不变；

2700+a3x90°+asin(270°+a)=~cosa,

另一套是函数名

270。-a3x90°-asis(2700-a)=-c°sa

3600+a4x90°+asin(360°+a)=sinex.,必须改变）；对

360°-a4x90°-asin(360°-tz)=_s)a,

-a0x90°-asin(-a)=一sina,

4.三角函数的周期公式

函数y=Asin(〃zr+。)，xRR及函数y=Acos(3+p),xRR(A,夕为常数，且

AW0,3>0)的周期7=——；函数y=Atan(69x+°),cox+(p^k/r+—,keZ(A,

(o'2

TT

3,e为常数，且AWO,2>0)的周期T=—.

(i)

5.①类正弦函数y=Asinfwx+。）的图像的变换：两种办法殊途同归。

住v=cinY（¥鹿为9TT乩闭I乂IEH）的因传

I

法V柚班如初、外圉待,七如亡胪、楮巫京仲必成，藤帽到未业的次

得v=«in（＞）Y的因像

得v=sinfx+而、的图像

沿X轴平移|二（个单位（左加右减）

描巫粽仙心口。编、打到木宓的历，•CD'

得v=cinrG）Y4-办的图像得V=QinfG）Y+㈤的图像

加巫琉仙X•或缩卜刎太点MA住

阳巫粽仙"前编南至I木巾的A住

得），=Asi〃（wu-+。）的图象，先在一个周期闭区间上再扩充

②类正弦函数y=AWz（KN+0）+〃（A＞（））的参数计算：振幅4=凶\）温

b_〉max+），min

/F

注意：对于类余弦函数），=ACOS（69X+°）也有以上①②相应的结论。

7.正弦函数和余弦函数的图像和性质

函y=sinxy=cosx

数

y=sinxyi

图y=cosx稣

/1、-呼"1、3y2

像工/左o-0弓2„T

定

义

R

域

值

域[-1>']

JT

x=—+2&",攵£Z时，

2

最

乂侬二1为=2匕T,AEZ时，ymax=1

值

x=（24+1）乃,ZeZ时,y=-1

x=--+?k兀、%£Z时，min

2

%in=T

单

xe——+2k/r.—+2k/r（k^Z）.函x«2履;（2攵+1）乃］（攵wZ）时，减函数

调22」''时，增IAA

性T尹2”考+2同（八Z）时，减xw［（2A-1）乃,224,］（4wZ）时,增函数

奇

偶

奇函数偶函数

性

周

期

最小正周期为2"

性

对对称轴：x=k兀,keZ

称对称轴：K=%+k兀、ksZ*

2、一,▼71

性对称中心：（一+4肛0）keZ

对称中心：（左乃,0）keZ.、▲2

8.正切函数的图像和性质

函数y=tanx

31。”

41

号….X,学…

图像■

fo7

定义域x手彳+k兀(kGZ)

值域R

单调性+"馥+时，增函数

奇偶性奇函数

周期性最小正周期为开

k冗

对称性对称中心：（J,0）kwZ

2

§平面向量

1.向量的加减法的代数结构:

(2)OB-OA=AB占占蚌昆昆祥指向汕浦向•&

2.平面向量基本定理

假如日、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任历来量，有且

只有一对实数入1、入2,使得a='e+入;e.（不共线的向量a、&叫做表达这一平面内所

有向量的一组基底.）

3.向量平行与垂直的坐标表达

设。=(X[,y),〃=(42，>2)，且b±0，则。〃人(b^o)<=>X,y2-X2)\=0；

t7!/?<=>x,x2+yiy2=0.

4.a与b的数量积（或内积）：a・b=|a|Iblcos。.其几何意义：数量积a-b等于a的长

度|a|与b在a的方向上的次影|b|cos0的乘积.

5.平面向量的坐标运算

⑴设a=（X],y）,b=（X2，）’2），则a+b=（x+X2，）'i+y2）；⑵设a=（R,弘），b=（j%），则

a-b=（菁一J,一）’2）；⑶设A区,到），B（生必），则

AR=OR-OA=（x2-xiyy2-yi）：⑷设a=（x,y）"e/?•则4a=（2x,2），）：⑸设

a=（jfI,y1）,b=（x2,y2）,则a・b=xlx2+yiy2.

6.两向量的夹角公式：cose=-^=二&+装g---（无（X],x）,b=（x,,），2））・

Jx；+），；、¥+£

7.平面两点间的距离公式：

dAB=|45|=\IABAB=J（＞2-%）2+（y2-M）2（A（x，y）,B（x2,y2））.

8.①线段的定比分公式：

设6（x，y），鸟（七，）’2），P（x,y）是线段66的分点，%是实数，且6P，

则

xi+AX2

1+2o。尸,oOP="）R+（l-i）Og（r=—!—）.

_y+几），21+4---------------------------------1+A,

y~1+2

②中点的向量形式：平面内，设线段A8的中点为C,0为直线A8外任意一点，则

OA+OB

有oc=

X.+为

X=-----

2

设此时A（x,y）,3（x”）,则中点C（x,y）的坐标公式:

）一2

9.三角形的重心坐标公式：ZUBC三个顶点的坐标分别为A（X1,yJ、B（x2,y2）.

C（x3,丫3）,则aABC的重心的坐标是G卢+；+刍，））一：十V）.

10.三角形四“心”向量形式的无攀条件

设。为AA3C所在平面上一点，角A氏C所对边长分别为则

-2-2-2

(1)。为AABC的外心=OA=OB=OC.

(2)。为AABC的重心o0A+0B+0C=0.

(3)。为AABC的垂心o0AO3=O3OC=OCQA.

(4)。为AABC的内心<=>aOA+bOB+cOC=0.

§三角恒等变换

1.同角三角函数的基本关系式：sin26?+cos26>=l,tan。二史吆

cos。

推论：

,101

cos~a=--------；----->taira=—------1

1+iarracosa

cosa=±J----L—,tana=±J一\------1(正负号取决于a所在的象限)

Vl+tan-aVcos-a

2.和角与差角公式

sin(a±/)=sinccos6±cosasin/;cos(tz±p)=cosacosJsinorsinp

/,c、tan«±tan/?

tan(a±/?)=--------------；

14tanatanp

sin(a+^)sin(cz-/?)=sin2a-sin2/3(正弦平方差公式);

asxna+bcosa=\/a2+lrsin(a+(p)(辅助角°所在象限由点(a,。)所在的象限米决定,

rb、

且tanQ=­).

3.二倍角公式：

sin=sincrcosa；cos2a=cos2a-sin2(7=2cos2a-1=l-2sin2«；

万能公式:辅

助

直

角

三

角

形

2tana

t