高中数学人教新课标必修一B版教案基本初等函数(I)单元教学设计

人教B版，必修1,基本初等函数(I)单元教学设计

一、教材分析

1、本单元教学内容的范围

第三章的主要内容是指数函数、对数函数和累函数这三种函数模型.本章共分四大节，共14课时.

第一大节3.1指数与指数函数分2小节(3.H-3.12)共4课时.该节首先引入整数指数累和分数指数

幕的概念.在初中已经学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念的基础上，本节复习了正整数指数

累、零指数、负整数指数累的概念，并且复习了正整数指数塞的运算法则.有了这些知识，本章将指数事

的概念和运算性质逐步扩充到有理指数幕以及实数指数幕.接着通过两个具体的例子引入了指数函数，

并对指数函数的图象和性质进行了研究.

第二大节3.2对数与对数函数分3小节(3.2.1-3.2.3),共5课时，该节首先学习对数和对数的运

算法则，然后再学习对数函数及其图象和性质，对数函数的图象是在画指数函数图象的对应值表的基础

上描绘的，对数函数同指数函数一样，是以对数概念和运算法则作为基础讲授的.接着，通过对指数函数

与对数函数的关系的研窕给出了反函数的含义，并对这两种函数的增长差异进行了比较.

第三大节3.3塞函数只安排了1个课时.该节通过考查已经学过的函数，引出了基函数的概念，然后

研究了基函数的图象和性质.

第四大节3.4函数的应用(II)也安排了1个课时，举例说明了指数函数、对数函数和黑函数在经

济学、物理学等领域中的应用.

为了加强数学的应用意识，体现函数作为刻画现实世界变量之间相互关系的数学模型的作用，在第

四大节的“探索与研究”中安排了“如何建立数学模型”的内容，在章末安排了“实习作业”.另外，在

本章内容的讲解过程中，特别注意通过一些社会生活中的实例来展示指数函数、对数函数和昂函数作为

函数模型的广泛应用.

为了体现数学文化的作用，本章安排了两个阅读材料，通过介绍对数方法产生的历史以及建立对数

与指数的联系的过程，引导学生体会数学与社会生产生活之间的紧密联系，认识对数在人类社会发展、

科技进步中的作用，以及社会生产生活的需要对数学发展的促进作用.另外，通过介绍对数方法先于指数

概念，对数的发明没有应用指数与对数的互逆关系这一历史，可以让学生体会数学发展的不同轨迹，从

而激发学生的学习兴趣.

本章知识结构

互

基本初等函数。斗-为

反

(概念、性质、函

图象、应用)数

1-塞函数

2、本单元教学内容在模块内容体系中的地位和作用

本章内容是在学完函数概念以及函数基本性质后的情况下，较为系统地研究指数函数、对数函数、幕

函数，它是函数内容学习的继续和深入（第二阶段）.

基本初等函数（指数函数、对数函数、基函数）是高中数学的基础，是刻画现实世界变化规律的重要

模型，由于我们生活在充满变化的现实世界中，其中有一类具有重要的运动变化的关系，如GDP的增长

问题、人口增长问题、细胞分裂、考古中所用的“C的衰减、药物在人体内残留量的变化等，结合实际问

题，可以感受观察、抽象概括并建立数学模型的过程和方法，通过计算工具，感知指数函数、对数函数

以及事函数增长的差异，体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同的函数类型增长的含义.体

会函数在数学和其他学科中的重要性，体现数学的应用价值.

学生在以前学习中，已经经历过“数”的扩充过程，由正整数到整数，由整数到有理数，再由有理

数到实数，从而形成一个优美的体系，本章继续体现这样扩充的思路，实现指数概念的扩充进而进一步

研究募函数概念，依据两个原则：①数学发展的需要；②基本运算能无限制地进行，把“指数函数、对

数函数、幕函数”科学地组织起来，再一次体现充满在整个数学中的组织化、系统化的精神.

本章是在上一章学习函数及其性质的基础上，具体研究指数函数、对数函数、募函数这三个高中阶

段重要的函数.这是高中函数学习的第二个阶段，目的是使学生在这一阶段获得较为系统的函数知识，

并初步培养函数应用意识，为今后的学习打下坚实的基础，同时使学生对函数的认识由感性上升到理

性.可以说这一章起到了承上启下的重要作用，本章所涉及到的一些重要思想方法，对学生掌握基础的

数学语言，学好高中数学起着重要的作用.

3、本单元教学内容总体教学目标

学生通过本章学习，可以了解指数函数、对数函数等的实际背景，理解指数函数、对数函数、黑函

数的概念与基本性质，了解五种幕函数，体会建立和研究一个函数的基本过程和方法，同时会用它们解

决一些实际问题.

一知识目标

1.了解指数函数模型的实际背景

2.理解有理数指数累的含义，通过具体实例了解实数指数募的意义，掌握嘉的运算性质.

3.经历由指数得到对数的过程，理解对数的概念，掌握对数的运算性质.

4.经历由正整数指数函数逐步扩充到实数指数函数的过程，由指数函数的概念、图象与性质得到对数函

数的概念、图象与性质的过程，并通过具体实例去了解指数函数模型、对数函数模型的实际背景，掌握

指数函数和对数函数的概念、图象以及性质.

5.收集现实生活中普遍使用的指数函数和对数函数的模型实例，了解它们的广泛应用.

6.利用计算工具、比较指数函数、对数函数以及基函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、

对数增长等不同函数类型增长的含义.

7.了解指数丫=炉（〃>0,且aWl）与对数函数y=logd（a>0,且的图象关系，初步了解指数函数和对

数函数互为反函数的关系.

8.通过特殊的毒函数产产产工一了解幕函数

9.引导学生不断地体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数、塞函

数等与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.

10.鼓励学生运用现代信息技术学习、探索和解决问题.例如，利用科学计算器、计算机画出指数函数、

对数函数和幕函数的图象，探索、比较它们的变化规律，研究函数的性质.

（二）能力目标

1.培养学生观察分析、抽象概括能力和归纳总结能力.

2.培养学生数形结合、辩证思维和动手实践的能力.

3.培养学生应用函数思想方法解决实际问题的能力.

（三）价值目标

1.培养学生积极学习、刻苦钻研的学习毅力等良好的意志品质.

2.培养学生观察分析、抽象概括能力，数形结合、归纳总结能力和实践与探索能力.

3.学会理论联系实际，学以致用，在解决实际问题的过程中，逐步理解、认识函数思想方法，了解数学

的应用价值.

4、本单元教学内容重点和难点分析

重点：指数函数和对数函数的性质.

难点：无理指数基的含义以及指数和对数的关系.

5、本单元内容《新课标》与《大纲》的比较

（1）本单元内容《新课标》与《大纲》的目标对比

课标（14课时）大纲（24课时）

项目

必修1-3第一册（上）第二章二（三）

内容《新课标》的目标表述大纲的目标表述

①通过具体实例（如，细胞的分裂，考古理解分数指数的概念，掌握有

中所用的14c的衰减，药物在人体内残留量理指数基的运算性质，掌握指数

的变化等），了解指数函数模型的实际背景.函数的概念、图象和性质

②理解有理指数塞的含义，通过具体实例

了解实数指数累的意义，掌握累的运算.

指数函数

③理解指数函数的概念和意义，能借助计

算器或计算机画出具体指数函数的图象，探

索并理解指数函数的单调性与特殊点.

④在解决简单实际问题的过程中，体会指

数函数是一类重要的函数模型（参见例2）.

①理解对数的概念及其运算性质，知道理解对数的概念，掌握对数的

用换底公式能将一般对数转化成自然对数运算性质，掌握对数函数的概念、

或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发图象和性质

现历史以及对简化运算的作用.

②通过具体实例，直观了解对数函数模型

所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概

对数函数

念，体会对数函数是一类重要的函数模型；

能借助计算器或计算机画出具体对数函数

的图象，探索并了解对数函数的单调性与特

殊点.

③知道指数函数y=〃'与对数函数y=log〃x

互为反函数（4>0,厚1）

通过实例，了解嘉函数的概念；结合函无

幕函数数尸，尸2,）'=/中2,）=尤T的图象，

了解它们的变化情况.

（2）变化之处

1.加强的内容

（1）加强了函数模型的背景和应用的要求.

了解指数函数模型的实际背景，了解对数函数模型的实际背景；认识直线上升、指数爆炸、对数增长

等不同函数类型的增长含义；让学生通过收集生活中普遍使用的函数模型实例体会函数模型应用的现实

意义.

要求学生了解无理数指数幕的意义，感受用有理数指数事逼近无理指数事的过程，通过“过剩近似

值”与“不足近似值”两个方向逼近，认识无理指数累是一个确定的实数，明确有理数指数基的运算性

质在无理数范围内也是成立的，大纲只要求掌握有理数指数嘉的运算.

在理解函数概念的基础上，再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深学生对函数概念

的理解.新课标在指数函数与对数函数的内容上与原大纲有较大区别，新课标更侧重于指数型函数与对

数型函数的教学.

（2）加强了信息技术整合的要求.

明确指出了要运用信息技术进行教学，如：能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索

并理解指数函数的单调性与特殊点；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并理解对数

函数的单调性与特殊点；能借助计算器用二分法求相应方程的近似解等.这都体现了加强与信息技术整

合的要求，加强了函数模型的背景和应用的要求.在理解函数概念的基础上，再通过对指数函数、对数函

数等具体函数的研究，有利于加深学生对函数概念的理解.

2.削弱的内容

（1）削弱了对定义域、值域的过于繁难的，尤其是人为的过于技巧化的训练.

⑵削弱了反函数的概念，只要求知道指数函数>=/（。>0,且awl）与对数函数y=

（a>O,JLaw1）是互为反函数；不要求形式化的理解其概念，也不要求求已知函数的反函数,

复合函数的概念仍放到“导数及其应用”的相关内容中.对于对数函数内容的要求也有所降低.这都是

为了尽可能地减轻学生的负担.

\_

（1）增加了基函数（y=x,y=f,尸？，y=x^,产/）的内容；

（2）换底公式又恢复为教学内容.

6.教学建议

1.指数函数、对数函数等有其丰富的实际应用价值，在教学中，应让学生充分感受指数函数的应用，

如通过GDP的增长问题、we的衰减，考古、地震、pH的测定等，体现数学的应用价值.

2.应强调在基本初等函数学习中所蕴涵的数学思想方法，如推广的思想（指数幕运算律的推广）、逼

近的思想（有理指数累逼近无理指数幕）、数形结合的思想（用指数函数、对数函数、基函数的图象探究指

数函数的性质）、归纳思想、类比思想（如从指数的运算律类比对数的运算律）等.引导学生用类比的思想

方法，将指数函数、对数函数、基函数的研究方法统一起来，并加以归纳总结.在本章教学中尤其应注

意加强数形结合、几何直观等数学思想方法的学习要求，可先从分析具体的函数图象与性质入手，观察

分析、体验探索、归纳概括，进而得到的基本初等函数的图象与性质.这是教学的重点之一，强调指数

函数和对数函数的底数a对函数值变化的影响，这是教学的难点，应注意贯穿分类讨论的思想方法，化

解难点、突出重点.

3.教学过程中要注意发挥信息技术的优势，尽量利用计算机或计算器等创设教学情境，绘制指数函

数、对数函数、鼎函数的图象，为学生的数学探究与数学思维创设有利的环境和条件.

4.教材中对反函数的概念要求作了较大的调整和降低，只要求知道指数函数y=/（a>0,且a41）

与对数函数y=log“x（。〉0,且“声1）是互为反函数，对反函数的形式化的符号和推理不作一般性的

要求。

二、与本单元教学内容相适应的教学方式和教学方法概述

根据本单元教学内容的特点，可以采用讲授式与自主探究相结合的教学方式，要重视章头故事在教

学中的应用,要充分利用几何画板，科学计算自由软件（P120）等软件以及图形计算器等工具通过教师引导

下的学生的自主探究，发现指数函数、对数函数、幕函数的若干性质，完成教学目标所确定的教学任务.

三、本单元所需教学资源概述

图形计算器，几何画板，科学计算自由软件或其他软件平台，已经进入新课标的省份的高考试题.

四、本章各节课教学设计

人教B版必修（D基本初等函数（I）

3.1指数与指数函数的教学设计

§3.1.1实数指数幕及其运算（第一课时一一第二课时）

一、学习目标

1.理解n次方根、根式、分数指数累概念，了解实数指数塞的意义，会对根式、分数指数基进行互化；

2.掌握分数指数幕的运算性质，熟练运用性质进行化简，求值；

3.通过复习回顾初中所学整数基运算，用类比的思想来完成实数指数幕的学习；

4.借助计算器或计算机进一步体会“用有理数逼近无理数”的数学思想.

二、重点难点

1.重点：分数指数事的概念和分数指数的运算性质；解决方法：利用正整数基的概念及性质进行类比分

析，由简到繁，逐步深入.

2.难点：根式的概念及分数指数基的概念；解决方法：由具体到一般，注意过程分析.

三、教学内容安排

本小节内容包括整数指数募、分数指数累、根式的概念以及利用分数指数的运算性质进行指数的运算.

1.整数指数累的概念及运算性质

〃个X___

在初中我们首先研究了正整数指数幕：一个数。的n次幕等于n个。的连乘积，即优=a•。…a

正整数指数慕的运算法则有五条：

①am-a"^am+n

@am^an=am-n(a工0,/〃>〃)

③("")"=a'""@(ab)n=a"-b"

⑤(令"=，丘0)

为保证这些法则可以从定义直接推出，我们限定〃7,〃都是正整数，且在法则②中限定，〃>〃，为了取消

加〉〃的限制，我们定义了零指数基和负整数指数基：a=1(。?0)

u"=—(〃eN*,a工0)

an

这样一来，原来的5条运算律就可以归纳为3条①③④同时:将指数的概念扩大到了整数.

在这里，应该指出：由于零指数或负整数指数幕要求底数不等于0,因而，对于整数指数幕而言，当然就

要求“底数不等于0”

2.根式

教材中安排根式这部分内容，是为讲分数指数累做准备，所以本节教材只讲根式的概念及其性质，先复

习平方根、立方根的定义，然后给出〃次方根的定义，同时教材根据〃次方根的意义得出了〃次方根的

性质

(1)〃次方根的定义

如果炉=a,则称x为。的〃次方根，〃次方根的定义是平方根、立方根定义的推广，对比平方根、立

方根概念，可知：①在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次

方根是0,设aeH,〃是大于1的奇数，则。的〃次方根为折，如一27的3次方根为47=-3；②

在实数范围内，正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0,负数的偶次方根没

有意义，设aNO,〃是大于1的偶数，则。的九次方根记作±々6,如16的4次方根为±返=±2,布

为16的4次方根中的正根.

(2)开方与乘方

求。的〃次方根的运算称为开方运算，开方运算与乘方运算是互逆的运算，不要与乘方运算相混，如求3

的四次方，结果是34=81,而求3的四次方根，结果为土正，对于根式符号折，要注意以下几点；

①且〃>1②零的任何次方根都是零③〃为奇数或a20时，(江)"=a

④当〃为大于1的偶数时，底■只有当aNO时有意义，当a<0时无意义，UZ(aNO)表示。在实数范

围内的一个非负〃次方根，另一个是一立；(±UZ)"=a.

a(a>0)

⑤式子标对任意aeR都有意义，当〃为奇数时，叱=a；当〃为偶数时，"/=同=.

-a(a<0)

如1（—2）2=2二一2要加以注意

（3）根式的概念是教学的难点.教课时，可举几个具体实例，然后再给出〃次方根的一般定义.

方根的性质，可以结合立方根与平方根的性质来讲述，即〃次方根的性质实际上是平方根和立方根性质

的推广，因此，教课时可以以平方根与立方根为基础来说明.

3.分数指数基

（1）分数指数基规定：①正数的正分数指数基的意义是：

Q=依（a>0,机,〃wN+，且'为既约分数）

②正数的负分数指数幕的意义是:

③0的正分数指数嘉等于0,0的负分数指数基没有意义.

（2）关于分数指数嘉要注意以下几点:

①.的意义，分数指数嘉是根式的一种新的写法，根式与分数指数事表示相同意义的量，只是形式上

不同而已.

②.0的指数幕，0的正分数指数幕是0,0的负分数幕没有意义，负数的负分数指数幕是否有意义，应视

的具体数值而言.

③.指数概念在引入了分数指数幕概念后，指数概念就实现了由整数指数基向有理指数幕的扩充.

4.分数指数暴的运算性质

有理数指数累的运算性质形式上与整数指数基的运算性质完全一样：

优•优=。…；（优）（ab）r=arbr；

式中a>0力>0,r,seQ,对于这三条性质须记准、记熟，会用、用活•.

5.讲述实数指数鼎的意义及其运算性质时，让学生进一步体会“用有理数逼近无理数”的思想，并结合

例1、例2让学生利用计算器或计算机进行实际操作，感受“逼近”过程.

6.参考例题与练习

(1)用根式的形式表示下列各式(a>0)

|3_3_2

a5加a5a3

(2)用分数指数事表示下列各式

①V7

②痴+1)3(Q+"0)

加3

(m>n)⑤(>0)⑥,—

y/m

(3)计算

①(2|)。+2-x(2；/-(O.O1)05

@V3xVL5xV12④2+a+a2)

(4)化简：

2I

c5x3/m+m-1+2

①-1I51_1

(一:丁铲)(_1/>6)m2+优2

46

41

③33一8标6「(]_2秒xV^(式中a>0力>0)(扩展)

4庐+T^Jab+"

（5）已知。2+。2=3,求下列各式的值

3_3

2/2

①a+G@a2+a2③'一"；（扩展）

加一小

〃3”,〃・3〃

（6）已知/"=、历+1,求的值（其中〃eN+）,（扩展）

an+。一”

1-1iY-2+Jr2-4x

(7)若〃2+〃2=彳2(,>0)求XN+-X的值.

x—2—N炉—4x

四、教学资源建议

教材、教参，与教材相关的课件；信息技术手段等.

五、教学方法与学习指导策略建议

根据学生情况及本节知识特点，建议采用启发式教学与讲授式教学相结合的教学方法.

§3.1.2指数函数（第三课时--第四课时）

一、学习目标

1.理解指数函数的概念和意义；

2.能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质；

3.能利用指数函数的性质比较累的大小；

4.根据图象探索，理解指数函数的单调性与特殊点，感受数形结合的数学思想.

5.培养学生的观察能力，分析问题能力，概括总结的能力.

二、重点难点

1.重点，掌握指数函数的图象，性质及应用，解决方法；由具体到抽象，由特殊到一般，进行类比分析.

2.难点：①对于a〉0与0<a<1的情况的讨论，解决方法：对比分析.

②指数函数性质的应用，解决方法：训练，研究，总结.

三、教学内容安排

本小节包括指数函数的概念，图象和性质

1.指数函数的概念

教材从一个关于细胞分裂的具体问题引入指数数的概念，既说明指数函数的概念来自实践，也便于

学生接受，在讲解指数函数的定义时，要说明它的定义域是什么，为什么要规定。是一个大于零且不等

于1的常量.

（1）指数函数的定义

一般地，函数y=a*（a>0且awl）叫做指数函数.

（2）对指数函数定义的理解1_

①定义域，因为指数函数概念已经扩充到有理数和无理数，所

以在底数a>0的前提下，

x可以是任意实数.

②规定底数n大于零且不等于1的理由;

'当x〉（W寸，a，等于0

如果＜7=0,

.当xwon寸，a*无意义

如果。＜0,比如y=（—4）］这时对于光=a，尤=5,…（-4厂都无意义，如果a=l,对于任何实数x,

y=l*=l是一个常量，对它就没有研究的必要.

2.指数函数丁=优的图象和性质

y

（1）函数图象是研究函数性质的直观工具，利用图象便于学生理解并

常握函数的性质和变化规律，用描点法画出指数函数的图象时，首先要

通过计算列出对应值表.

（2）教材中利用两个指数函数y=21y=（g），的图象，分析它们的

特征，并由此得出指数函数的性质.

引导学生分析图象特征和性质

图象特征函数性质

1.这些函数位于X轴上方

1.x取任何实数，都有罐＞0

2.无论a为任何正数，有a°=l

2.这些图象过（0,1）点

.…fx＞0,则优＞1

3.当时v

X＜0,则就＜1

3.图象（D在第一象限内的纵坐标，都大于

1,在第二象限内的纵坐标都小于1,图象（II）

正好相反.|%＞0,则就＜1

当。V。＜1时，＜

光＜0,则优＞1

（4）自在向右看，图象（I）逐渐上升，图

（4）当。＞1时，y=罐是增函数

象（II）逐渐下降

当0＜a＜l时，y="是减函数

因而得出指数函数的性质（分。＞1和0＜。＜1）两种情况

a>>10<a<l

图象

Z

0X10x

y二,1Xy=ax

性质（1）定义域是R

（2）值域（0,+00）

（3）过点（0,1）61x=0时，y=1

x>0,则优>1x>0,则优<1

(4)

x<0,则a"<1x<0,则优>1

(5)在(—oo,+oo)上是增函数在（-00,+00）上是减函数

3.由指数函数y=与直线x=l相交于（1,a）可

知，在y轴右侧，图象从下到上相应的底数从小到大,如a＞。＞1＞c,

图象如图.

4.函数图象的平行移动

由函数y=2*,y=2V+1,丁=2厂2的图象，可以看出将指数函数y=2、的图象向左平移1个单位，就

得到函数y=2(+|的图象，将指数函数y=2’的图象向右平行移动2个单位，就得到函数y=2X-2的图象.

5.说明：①本小节是在有理指数扩充到实数指数的基础上引入指数函数的，因此在指数函数的概念引入

之前，先要复习零指数、负指数、分数指数，分数指数暴的意义及其运算，无理指数幕的意义要用极限

才能解释清楚，教学中可根据教材第3.1.1节向学生解释.

②在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图象和性质，其关键在于弄情底数。对于函数值变化的

影响，对于。＞1与0＜。＜1时正数质变化的不同情况，学生经经容易混淆，这里教学中的一个难点，攻

克这一难点应特别重视直观教学，即应充分利用函数图象理解函数的性质.

③本小节要强化对运算，作用，处理数据，科学计算器的使用等基本技能的训练.

④充分利用本小节内容，加强数形结合，分类讨论等数学思想的惨透.

6.注意，通常我们把定义域M是指数函数定义域R的真子集(MR)的函数＞=优(%€")叫做

指数函数的“限制函数”.

7.参考例题与练习

(1)指出下列函数中哪些指数函数

①y=4*②y=x"③y=-4*④y=(14)*⑤)=乃*

21

⑥y=4"⑦y=x"⑧y=(2a-l)x(a>5且a。1)

(2)函数y=a“T+3恒过定点.

(3)比较下列各项中两个值的大小

①1.7"与②0.8一°」与0.8"2

③已知()〃＞(；)“比较a力的大小④1.703与09」

(4)指数函数＞=优，y=b',y=c*,y=d*的

图象如图，则底数a,b,c,d与1共5个数从小到大的

顺序是.

(5)求下列函数的定义域

①/(%)="-a"(。>0,aw1)

②若f（x）的定义域为（0,1）,求/（2、）的定义域

③/(%)=(；)口

（6）求下列函数的值域

①y=3・2②y=]OlM+X

③y='4"+6•2'+10

（7）求函数y=（力-3*+2的增区间

（8）方程2*=2—x的解的个数为.

（9）教材P94——4,5,6

四：教学资源建议

教材、教参，与教材相关的课件；信息技术手段等.

五：教学方法与学习指导策略建议

1.根据学生情况及本节知识特点，建议采用启发式教学与讲授式教学相结合的教学方法.

2.引导学生认真阅读教科书，注意特殊与一般的思想方法及数形结合的思想方法的运用，通过实例整体

把握指数函数的本质，培养学生运用图形帮助思考的习惯，培养学生观察能力、分析问题能力及概括能

力.

3.2对数与对数函数教材分析.

§3.2.1对数及其运算（共3课时）

第一课时：

学习目标

1.理解对数的定义：log,,N这一符号的含义，字母a,N的取值范围；

2.理解指数式和对数式之间的关系，能熟练地进行对数式和指数式的互化.培养学生对立统一，相互

联系，相互转化的思想；

3.根据对数的定义，归纳总结出对数的3条性质和对数恒等式a"g"'=N（教材P96）,培养学生归纳

猜想的能力;

4.理解常用对数的概念；

5.能够通过对数的概念求出比较简单的对数式的值.

6.信息技术整合：使用科学计算器，求对数

二.重点难点

本节的重点是给出对数的定义，以及指数式与对数式之间的互相转化，求对数式的值；教学难点是

对对数符号的正确理解；

三.教学内容安排

1.复习

ah=N(a>O,a^\),a叫做底数，人叫做指数，N叫做基值；

(1)N的取值范围；

(2)指数的性质；

2.新课引入

由指数函数中的细胞分裂问题，引出细胞分裂第x次后，细胞的个数y=2，

如果知道细胞分裂若干次后的个数为y,如何求出分裂次数x；这就是已知底数和累，要求指数的

问题；

3.对数的定义

由此引出对数的定义：一般地，对于指数式〃'=N,我们把“以。为底N的对数b”记作log“N,

即b=log〃N(a>0,awl)

例：23=8,则log28=3；

让学生从以下几个方面去理解对数的定义：

(1)对数式书写的格式，体会log2X+l与Iog2(x+D的区别；

(2)对“log”的理解：就像我们在初中阶段引入“J,sin”等数学符号一样，是一个新的数学运

算符号；

(3)回想：&的数学含义：①表示一个非负实数；②它的平方等于5；

log23这一数学符号的含义：①表示一个实数；②2的这个实数次累的值恰好为3.

log,N这一新的数学符号的含义：①它表示一个实数，②。的这个实数次幕的值恰好为N；

(4)0=log“N式子中，a,"N的名称；

(5)实质上，对数表达式方=loguN是指数式N=〃的另一种表达形式；

教材中从细胞分裂的实际出发，提出了知道底数和幕值如何怎样表示指数的问题，引出了对数的概念,

同时也揭示了对数式和指数式的关系；

4.指数式和对数式的互相转化

对数式与指数式的关系及相应名称列表如下：

式子名称

abN

指数式底数指数幕值

ab=N

对数式底数对数真数

log„N=b

通过对数式与指数式的互相转化，使得学生更加深刻理解b=log“N为了更好的应用对

数及其验证对数的性质奠定了基础：

指数式转化为对数式参考练习：

2-'=124'=-

6

对数式转化为指数式参考练习：

4

电125=3log816=-

通过指数式和对数式的相互转化，揭示了“辩证统一，相互转化”的哲学思想.为对数运算性质和对

数函数与指数运算性质与指数函数作类比奠定了基础；

5.通过对数的定义求对数

以log216为例，若设10g216=x,则能转化成怎样的指数式，让学生充分理解10g216的数学含义,

进而达到会求对数的目的；例题应为对数的性质奠定基础；

例1：求log?2,log2l,log216,log2—

6.对数的3条性质和对数恒等式。叫)N

(1)通过前面对指数性质的复习，以及前面求对数值的实际练习，让同学探究对数

log“N3>0,。工1)的性质；

思考问题：根据a〃=N(a>O,aHl)中N的取值范围，当指数式转化为对数式后，你认为关于真数N

应满足什么要求？

参考练习：log31=;log41=；log“l=(a>O,awl)

根据以上练习，你能得到怎样的结论？

参考练习：log33-；log44=；log"=3>0,。声1)

根据以上练习，你能得到怎样的结论？

(2)通过例题(例如2唾八2=32)让学生总结出对数恒等式/呜N=N,并且通过指数式和对数式

的转换给予证明.

参考练习：2噫32=.101Og'»100=

根据以上练习，你能得到怎样的结论？

7.常用对数的定义，及其简单的常用对数求值

(1)根据常用对数的定义，让学生探讨数学符号“IgN”的具体数学含义；

(2)通过指数式和对数式的互相转化，去求一些数的对数值；例如IglOCMgO.Ol等；

例2：求1g10,1g100,1g0.01的值

好班的学生可以让其总结出lg10"=〃或其他更加深刻的结论；也可以讨论〃的取值要求.

8.利用科学计算器求对数

问题：1g2,1g2008怎样求，我们可以借助计算器；

例3：利用科学计算器对数(精确到0.0001)

lg2008,lg0.0618,lg0.0045,lg396.5

9.对数的发明

建议让学生在网上和图书馆查阅关于对数发面的一些资料；了解对数的发展历史.

四.教学资源建议

教材、教参，与教材相关的课件，信息技术手段等；

五.教学方法与学习指导策略建议

也可以在介绍常用对数的基础上，介绍一下自然对数；

第二课时

学习目标

1、理解对数的运算性质.

2、通过对数的运算性质的探索及推导过程，培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归

纳”的数学思想方法，以及创新意识.

3.通过“合情推理”、“等价转化”和“演绎归纳”的思想运用，培养学生对立统一、相互联系、相

互转化以及“特殊------般”的辩证唯物主义观点，以及大胆探索，实事求是的科学精神.

二.重点难点

本节的重点是对数的运算性质的推导过程及其应用；难点为积、商、幕的对数的发现过程及其证明.

三.教学内容安排

1.复习对数的定义，对数恒等式和对数的性质.

2.让学生计算lg10,1g100,1g1000或用计算器计算log23,log25,log215等例子，引导学生观察和

归纳对数运算的性质.引导学生经历从特殊到一般的归纳过程，有利于增强学生的直观感受，激发学生学

习兴趣，也符合认知习惯.使用计算器也是现在信息技术的要求，所以可以在此鼓励学生使用计算器探索

数学规律.

参考练习

⑴log24=.log216=10g264=

⑵log3^y=--------log39=---------,log31=--------

(3)log23=,log25=,log215=

(4)Igl0=lg100=,1g1000=

通过以上练习，你能总结出怎样的结论，若学生不能总结出运算性质2,可以提醒学生的从不同角度

看待问题，这样看是加法，从另外一个角度看就是减法，当然也应该有log2超-1。8216=1。824等

3.对数运算性质的推导

先引导学生猜想对数的运算性质，接下来提出证明.由于优。""=优"+",设例=a"',N=a",于

是M-N=a'"".由对数的定义得到M=m,logaN=n,logaMN^m+n.这样，我们就得到

对数的一个运算性质：/og«M-N=m+〃.从指数运算来推导对数运算的性质，体现了化归的数学思

想.

新教材在此将这个性质推广到若干个正因数的积的情况，而旧教材没有推广的内容.

同样地，可以推导对数的另外两条运算性质.教材没有给出证明，教参上是利用刚推出的对数运算性

质来证明.

4.总结板书对数的三条运算性质：

log„M-N=m+〃,log“MM…$=log"N}+logaN2+•••+log“N、,

log〃*=〃2-〃,k)g"M"=alog〃M

其中：a>0,aWl,M>0,N>0.

以上三个性质可归纳为：(1)积的对数等于各因式对数的和；(2)商的对数等于被除数的对数减

除数的对数；(3)基的对数等于指数乘以底数的对数.

5.举例帮助学生掌握对数的运算性质.

例1：用log,：,log/,log；表示下列各式：

⑴电色⑵I。洋.

zNz

例2求下列各式的值：

(1)IgVlOO；(2)(1g2>+lg20x1g5

与旧教材相比，新教材增加了例题量和难度(如p99例5(3)(4)).在习题B中，第2题已知lg2

求lg5的题目，第3题是配方，开方，对数估值的综合题.这样的安排可以满足优秀学生的学习需要.

最后是归纳小结和作业.

四.教学资源

教材、教参，与教材相关的课件，信息技术手段等；

五.教学方法与学习指导策略建议

可以采用讲授与学生探究相接合，帮助学生理解对数与指数的关系，提升学生的学习兴趣。

第三课时

学习目标

1.利用换底公式统一对数底数，即“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法;

2.理解数学符号"InN"的含义；

3.常用对数和自然对数的关系；

二.重点难点

本节课的重点是换底公式的证明和应用；难点是领悟换底公式的基本作用：熟练掌握换底公式正逆两

方面的应用；

三.教学内容安排

1.复习

(1)对数的性质：

(2)对数的运算性质

2.新课引入

问题的提出：已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求log??；(不通过计算器)

先从特殊的例子开始研究，例如log,16,log,4与log416之间的关系；请学生猜想匪*可以化

log,a

简成什么.得到猜想^=log.b.

log,a

3.换底公式的证明

(1)连续设问，学生进行思考？

如何证明这个猜想？

关于对数的运算公式都是利用怎样的思想方法？

利用指数式和对数式之间的互相转化，辨正统一的思想是否可以证明这个公式呢？如何实现这个证

明？

是否存在其他的证明方法？

(2)研究换底公式中仇c的取值范围；

通过一连串引导性的问题，让学生体验不同的数学问题，隐含着同一的数学思想方法.

4.自然对数的定义，及其自然对数与常用对数之间的关系

(1)“e”近似值；

(2)自然对数InN的数学含义；

(3)研究lgN与InN之间的关系

5.换底公式的应用

利用换底公式求对数的值，以及利用换底公式来证明一些恒等式；

探讨换底公式的作用：体现对数运算中一种常用的转化，即将较复杂的或未知的底数转化为已知的

或需要的底数，是数学转化思想的具体应用；

6.对数的功绩

让学生在互联网上或图书馆查阅资料，在对数的发展历史过程中，对自然科学起到了怎样的推动

作用.

四.教学资源建议

教材、教参，与教材相关的课件，信息技术手段等；

五.教学方法与学习指导策略建议

11

建议去证明log,/Xlog〃a=1和log"""=—log“b,这两个是对数运算中经常遇到的两个常见

的公式，为基础数学比较好的同学奠定基础.

§3.2.2对数函数(第一课时)

学习目标

1.理解对数函数的概念、能正确描绘对数函数的图象，掌握对数函数的性质.

2.在对数函数性质的学习中，渗透运用定义、数形结合、分类讨论等数学思想，促进学生的数学思想

的升华.

3.从数和形的角度帮助学生认识对数函数，最终达到数形的和谐统一.

二.重点难点

理解对数函数的定义，掌握对数函数的图形和性质.

三.教学内容安排

1.引导学生复习指数，对数的定义和运算法则.

2.从对数式的形式出发，给出对数函数的概念.

函数y=log“x,(a>0,awl)叫做对数函数，由对数概念可知，对数函数y=log”无的定义域是

(0,+8),值域是R.

新教材在定义了对数运算之后，从对数运算和对数式出发，直接定义对数函数.老教材先引入“细

胞分裂”的实例，列出指数式，再根据对数的定义写成对数式，从而引出对数函数的概念.有了对数运

算就可以定义一个相应的函数，所以新教材不再从指数式出发，而直接从对数式出发的定义方式，显

得简洁而顺理成章.

3.接下来，教师让学生画出y=log2X及y=log1%的图象，从图象观察对数函数的性质.

2

新教材用描点法，列表的数据是根据指数函数表互换变量得到的，渗透了对数函数与指数函数

的关系.老教材用到了对数函数与指数函数互为反函数，根据它们图象关于y=x对称作出.新教材在随

后的一小节”指数函数与对数函数的关系”中，才引入“反函数”的概念.

对数函数y=log〃x在其底数及这两种情况的图象和性质如下表所示

a>l0<a<l

图1C

象

⑴定义域：(0，+8)

性

⑵值域：R

⑶过点(1,0),即当x=l时，y=0.

质

⑷在(0,+8)上是增函数在(0,+8)上是减函数

4.对数函数性质的应用

例1.求下列函数的定义域：

2

(1)y=log(,x；(2)y=log"(4-x),(a>0,awl)

例2,比较下列各组数中两个值的大小：

(1)log23,log23.5；(2)己知logo,7(2/”)<logo,7(m—l)，求m的取值范围.

在例题和习题的选取上，关于用对数函数单调性比较大小上，新教材均是同底对数，老教材有不同

底借助中间量比较的，可见新教材在此内容上降低了难度.

最后是归纳小结和作业.

四.教材、教参，与教材相关的课件，信息技术手段等；

五.教学方法与学习指导策略建议

教学过程中，贯穿数形结合的思想，类比的思想

§3.2.3对数函数与指数函数的关系(第一课时)

--学习目标

1.掌握指数函数和对数函数的关系；

2.理解函数的概念；

3.掌握互为反函数图象的关系；

4.会求指数函数和对数函数的反函数.

5.通过观察函数图象，理解指数增长和对数增长；

二.重点难点

本节课的重点是反函数的概念及互为反函数图象的关系，难点是反函数的概念；

三.教学内容安排

1.复习

(1)----映射

(2)指数式和对数式的互相转化；

(3)利用描点法画出函数y=2"与y=log,x(都是一一映射)的图象；(七点描点)

2.新课引入

由对数函数的定义可知，对数函数y=log?x是把指数函数＞'=T中的自变量和因变量对调位置

而得出的；它们之间是怎样的关系？

提出问题：函数y=/(x)的定义域为A,值域为C,对调的位置，得到x=.f(y),则此时y

可以写成x的函数吗？即是否存在一个函数g,满足y=g(x)；

学生讨论，举出反例；

那么当函数y=/(x)满足什么条件时，对调的位置，得到x=/(y),则此时y可以写成x的

函数了呢？

学生讨论：函数/是数集A到数集C的一一映射；

3.反函数的概念

当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的

自变量作为新的函数的因变量.我们称这两个函数互为反函数.函数y=/(x)的反函数通常用y=f-'(x)

表示.

旧教材反函数的定义：一般地，式子y=/(x)表示y是自变量x的函数，设它的定义域为A,值域为

C.我们从式子厂")中解出x,得到式子x=6(v).如果对于y在C中的任何一个值,通过式子x=O(y),

x在A中都有唯二确定的值和它对应，那么式子x=6(y)就表示x是自变量y的函数.这样的函数x=@(y)

叫做函数厂/(x)的反函数,记作即

x=<i>(y)=fA(y)

在函数式中，y表示自变量，x表示函数.但在习惯上，我们一般用x表示自变量，用y表示

函数，为此，我们常常对调》=广灯)中的字母x,y,把它改写成尸尸(x).

新教材和旧教材关于反函数的定义的本质是一致的：都是一一映射了：AfC的逆映射•；

旧版本教材由于没有一一映射的概念，叙述比较复杂，而且还容易引起户<l>(y)(y是自变量)与户/5)

是同一个函数的错误结论；

4.对数函数和指数函数的关系

提出问题：对数函数y=log2》是把指数函数y=2■'中的自变量和因变量对调位置而得出的；它

们之间是怎样的关系？它们的图象又是怎样的关系？你能总结出怎样的一般性结论？

对数函数y=log„x与指数函数y=优互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称；

5