期末高等数学(下)试题及答案

《高等数学》试卷 1（下）选择题（3分 10）点M

到点M2

2,7,4

的距离

M1M2

（ ）.A.3 B.4 C.5 D.6a

i 2j

k,b 2i

j，则有（ ）.A.a∥b B.a⊥b

a,b3

D. a,b4函数y

2 x2 y2

1x2 y2

的定义域是（ ）.1x,y1

x2 y2 2

x,y1

x2 y2 2x,y1

x2 y2 2

D y1

x2 y2 2两个向量a与b垂直的充要条件是（ ）.a b 0

a b 0

a b 0

a b 0函数z x3 y3 3xy的极小值是（ ）.A.2 B. 2 C.1 D. zz

xsin

y，则

＝（ ）.y1,y42 2A. B.2 2

C. 2 D. 2若p

1n1np

收敛，则（ ）.A.p 1 B.p 1

p 1

p 1

xnn1n

的收敛域为（ ）.A.

B

C.

D.

xn0 2

n在收敛域内的和函数是（ ）.1 2 2 1A. B. C. D.1 x 2 x 1 x 2 x微分方程

ylny

0的通解为（ ）.y

cex

y ex

y

cxex

y

ecx二填空题（4分 5）一平面过点

A0,0,3

且垂直于直线 AB其中

B2,

则此平面方程为 .

z

xy的全微分是 .z

x3y2

3xy3

2zxy 1，则 .xy1 的麦克劳林级数是 .2 x三计算题（5分 6）u z z2z2

e sinvu

v

x y，求 , x y已知隐函数 z

zx,

由方程x

2y2

z2 4x 2z 5

0确定，求

z, z.x y

sin x2D

y2d

，其中D: 2

x2 y2

4 2.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（ R为半径）.四应用题（10分 2）要用铁板做一个体积为 2m3的有盖长方体水箱， 问长、宽、高各取怎样的尺寸时， 才能使用料最省？.选择题 CBCAD ACCBD二填空题

试卷 1参考答案1.2x y 2z 6 0.cosxy

ydx

xdy .26x y2

9y2 1 .n1n2n4. 12nn0

xn.25.y C1 xe 2三计算题z xy

z xy1. ex

ysinx y

cosx y

， e xsinx y

cosx y .z 2 x z 2y2. , .x z 1 y z 12d016 3

2sin d

6 2.R .3y

3x 2xe e .四应用题长、宽、高均为1 2

32m时，用料最省.y x3选择题（3分 10）

《高数》试卷 2（下）点M

，M

的距离

M1M2

（ ）.14D.152z10和xy14D.152z10和xy50，则两平面的夹角为（）.设两平面方程分别为 x 2yA. B. C. D.6 4 3 2函数z

2arcsinx

2y 的定义域为（ ）.x,y0

x2 y2 1

x,y0

x2 y2 1y0

x2 y22

x,y0

x2 y22P

到平面x 2y

2z 5

0的距离为（ ）.A.3 B.4 C.5 D.6函数z

2xy

2 23x 2y 的极大值为（ ）.A.0 B.1 C. 1 D.12z

x2 3xy

2y ，则2

z（ （ ）xA.6 B.7 C.8 D.9若几何级数

arnn0

是收敛的，则（ ）.r 1

r 1

r 1

r 1幂级数 nn0

1x

的收敛域为（ ）.A.

B.

C.

D. 级数

sinna是（ ）.4n1 n4A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确二填空题（4分 5）l

A2,2,

且与直线

3 tt1

平行，则直线 l的方程为 .xy函数z e 的全微分为 .xy曲面z

2 22x 4y 在点

处的切平面方程为 .三计算题（5分 6）设a i

j k,b

2j 3k，求a b.z

u2v

uv2u

xcosy,v

x

y，求

z, z.3x y3已知隐函数 z

zxy x

3xyz

2确定，求

z, z.x y如图，求球面 x2 y2 z2

4a2与圆柱面 x2 y2

（a

0）所围的几何体的体积 .四应用题（10分 2）试用二重积分计算由 y

x,y

2 xx

4所围图形的面积 .选择题 CBABA CCDBA.二填空题

试卷 2参考答案x 2 y 2 z 11. .1 1 2exy ydxe

xdy.3.8x 8y z 4.4. n0

nx2n.35.y x .三计算题1.8i 3j 2k.z 22. 3xx

sinycosy

cosy

zsiny,y

2x

sinycos

siny

cosy

x3sin3y

y .z yz z3. 2,x xy z y

xzxy z2.32 3 2a .2x3 22xy

C1e

C2e .四应用题161. .3x

1gt22

v0t

x0.《高等数学》试卷 3（下）一、选择题（本题共 10小题，每题 3分，共30分）2、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a与b的向量积为（ ）A、i-j+2k B、8i-j+2k C、8i-3j+2k D、8i-3i+k3、点P（-1、-2、到平面 x+2y-2z-5=0的距离为（ ）A、2 B、3 C、4 D、54、函数z=xsiny在点（1， ）处的两个偏导数分别为（ ）42 2A、 , 2 2

2 2 2B、 , C、2 2 2

2 2 2D、 ,2 2 25、设x

2+y

2+z2

=2Rx，则

z, z分别为（ ）x yA、x R, y B、z z

x R, y C、z z

x R,y Dz z

x R,z 6、设圆心在原点，半径为 R，面密度为

2 2 2x y 的薄板的质量为（ 面积A= R）A、

B、

C、

D

1R2A2n7、级数 ( n11

x 的收敛半径为（ ）nnnA、2 B、2

C、1 D、38、cosx的麦克劳林级数为（ x2n

x2n

x2n

x2n1A、 (n0

1)n

(2n)!

B、 n1

(2n)!

C、 n0

(2n)!

D、 (n0

(

1)!二、填空题（本题共 5小题，每题 4分，共20分）1、直线L

x 11x=y=z与直线L2

y 3 的夹角为 。1x 直线L3：2

y 2 z1 2

2y 6z

0之间的夹角为 。2（0.98）2.03的近似值为 ,sin100的近似值为 。3、二重积分

d ,D:x2D

y2 1的值为 。4、幂级数

n x的收敛半径为 n0

xn的收敛半径为 。n0n!三、计算题（本题共 6小题，每小题 5分，共30分）2、求曲线 x=t,y=t2,z=t3在点（1，1，处的切线及法平面方程 .3、计算

xydD

，其中D由直线y

x

2及y

x围成.4、问级数

( nn1

1n

？若收敛

，则是条件收敛还是绝对

收敛？5、将函数 f(x)=e3x展成麦克劳林级数四、应用题（本题共 2小题，每题 10分，共20分）1、求表面积为 而体积最大的长方体体积。参考答案一、选择题1、D 2、C 3、C 、A 、B 6、D 、C 、A 、B10,A二、填空题1

cos

2 8,arcsin18 21

2、0.960.173653、л 4 、+5、y

x2ce2

,cx 1 1y三、计算题232、解：因为 x=t,y=t ,z=t ,23所以xt=1,yt=2t,z t=3t2，所以xt|t=1=1,yt|t=1=2,zt|t=1=3故切线方程为： x 1 y 1 z 11 2 3（x-1）+2(y-1)+3(z-1)=0即x+2y+3z=63、解：因为 D由直线y=1,x=2,y=x 围成所以1≤y≤2y ≤x≤23故： xyd3D

2 2[ dy1 y

2(2y1

y)dy 112 84、解：这是交错级数，因为Vn sin1n

Vn

1Vn

sin1n

所以该级数为莱布尼兹

型级数

，故收敛。又 n1

1当xn

时sinx

x，n

sin1n1n

1，nn1

sinn1

1。n 5所以，原级数条件收敛 。、解：因为

w 1 2 1 3 1 ne 1 x x x xx ( , )用2x代x，得：e2x1x

1 (2x)222x( , )

1(2x)22!23x2 x3!

1(2x)33!2nxnn!

1(2nn!四、应用题1、解：设长方体的三棱长分别为 x，y，z则2（xy+yz+zx）=a2构造辅助函数F（x,y,z）=xyz+

(2xy

2yz

2zx

a2)求其对x,y,z的偏导，并使之为 0，得：yz+2yz+2 (y+z)=0xz+2 (x+z)=0xy+2 (x+y)=0与2(xy+yz+zx)-a2=0联立，由于可得x=y=zx,y,z均不等于零代入2(xy+yz+zx)-ax=y=z=6a6所以，表面积为 而体积最大的长方体的体积为Vxyz6a3362、解：据题意dMdt其中M0为常数初始条件M对于dMdtt0M0M式dMMdt两端积分得所以，MlnMt lnCcetMt0，M0所以，MM0CM0et由此可知

，铀的衰变规律为

：铀的含量随时间的增加

而按指数规律衰减 。《高数》试卷 4（下）一．选择题： 3 10 １．下列平面中过点（１ ,１,1）的平面是 ．（Ａ）ｘ＋ｙ＋ｚ＝０ （Ｂ）ｘ＋ｙ＋ｚ＝１ （Ｃ）ｘ＝１ （Ｄ）ｘ＝３２．在空间直角坐标系中，方程

x2 y2

2表示 ．（Ａ）圆 （Ｂ）圆域 （Ｃ）球面 （Ｄ）圆柱面３．二元函数 z

x)2

(1 y)2

的驻点是 ．,０） ,１） ４．二重积分的积分区域 Ｄ是1

x2 y2

4，则

dxdy ．D（Ａ） （Ｂ）4 （Ｃ）3 （Ｄ）15５．交换积分次序后

10

x0f(dy ．1 1 1 1 1 y x 1（Ａ）

dy f(x,y)dx0 y

（Ｂ）

dy f(x,y)dx0 0

（Ｃ）

dy f(x,y)dx0 0

（Ｄ）

dy f(x,y)dx0 0６．ｎ阶行列式中所有元素都是１，其值是 ．（Ａ）ｎ （Ｂ）０ （Ｃ）ｎ！ （Ｄ）１８．下列级数收敛的是 ．n1 n

3n

n1 1（Ａ） ( n1

（Ｂ）n 1

n12n

（Ｃ）n1

（Ｄ）n n1 n９．正项级数

un和n1

vn满足关系式1

，则 ．（Ａ）若

un收敛，则n1

收敛 （Ｂ）n1

vn收敛，则n1

un收敛n1（Ｃ）若

vn发散，则n1

发散 （Ｄ）n1

un收敛，则n1

vn发散n1１０．已知： 11 x

1 x

，则 11 x

的幂级数展开式为 ．（Ａ）1 x2

（Ｂ）

1

（Ｃ）

1 x2 x4

（Ｄ）1 二．填空题： 4 5１． 数z x2

20y2 1

ln(2 x2

y2)的定义域为 ．２．若

f(x,y)

xy

yf( ．x３．已知

(

f(x,y)的驻点，若

fxx(,,y0)

3,fyy(x0,y0)

fxyx0,y0) a则当 时

(x0,y0)一定是极小点．５．级数

un收敛的必要条件是 ．n1三．计算题(一)：6 5 30１． 已知：z

xy，求：

z， z．x y２． 计算二重积分D

4 x2d

，其中D

{(x,y)|0 y

4 x2,0 x

2}．３．已知：ＸＢ＝Ａ，其中Ａ＝ 12

1 22 1 ，Ｂ＝ 0 10 10 0

32 ，求未知矩阵 Ｘ．1４．求幂级数

( nn1

1xn

的收敛区间．５．求

f(x)

ex的麦克劳林展开式（需指出收敛区间） ．四．计算题(二)： 10 2 １．求平面ｘｙｚ＝２和２ｘｙｚ＝４的交线的标准方程．参考答案一．１．Ｃ；２．Ｄ；３．Ｄ；４．Ｄ；５．Ａ；６．Ｂ；７．Ｂ；８．Ｃ；９．Ｂ；１０．Ｄ．二．１．

(x,y)|1

x2 y2 2

２．y ３． 6 a x

４．２７

lim0n四． 1．解： x

yxy12

zy4x2

xylny222

x3 162．解： 4D

x2d dx0 0

4 x2dy

(4 x2)dx 4x0 3 0 3B1

1 2 70 1 0 0 1

,AB1

1 0 2.2 4 15４．解：R

当|x|〈1时，级数收敛，当 x=1时，得 n1

n

1收敛，当x

时，得 n1

2n1n

1n1n

发散，所以收敛区间为

(.５．解：.因为ex

xnn0

x ( ,

)ex

( x)nn0

( nxn0 n!

x ( , ).ijk四．1．解：.求直线的方向向量:s121i3j5k,求点:令z=0,得y=0,x=2,即交点为(2,0.0),所2 1 1以交线的标准方程为 :.x 2 y z1 3 5《高数》试卷 下）一、选择题（ 3分/题）1、已知a i

j，b

k，则a b （ ）A 0 B i j

i j

i j2 22、空间直角坐标系中 x y

1表示（ ）A 圆 B 圆面 C 圆柱面 D 球面sinxy3、二元函数

z 在（0，0）点处的极限是（ ）xA 1 B 0 C D 不存在4、交换积分次序后

1 1dx fx0

x,y=（ ）1 dy00

f(x,y)dx

1x

1f(x,y)dx010

1f(x,yy

1ydy00

f(x,y5、二重积分的积分区域 D是x

y 1

dxdy （ ）DA 2