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文档简介

第四篇综合与实践第九章数学思想方法运用第37讲转化与化归思想转化与化归思想：将一个问题由难化易，由繁化简，由复杂化简单的过程.一般我们采用的化归方向是：化未知为已知、化难为易、化繁为简、化一般为特殊、化抽象为具体、正难则化反、化新知识到旧知识、化不熟悉到熟悉等等.

类型一

化抽象为具体例1

自主学习，请阅读下列解题过程.

解一元二次不等式x2－5x＞0.解：设x2－5x＝0，解得x1＝0，x2＝5，则抛物线y＝x2－5x与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）.画出二次函数y＝x2－5x的大致图象如图所示，由图象可知，当x＜0或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2－5x＞0，因此一元二次不等式x2－5x＞0的解集为x＜0或x＞5.通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的

①

和

③

（只填序号）.①转化思想；②分类讨论思想；③数形结合思想.（2）一元二次不等式x2－5x＜0的解集为

0＜x＜5

.①

③

0＜x＜5

（3）用类似的方法解一元二次不等式x2－2x－3＞0.【答案】（3）画出二次函数y＝x2－2x－3的大致图象（如图所示）.由图象可知：当x＜－1或x＞3时函数图象位于x轴上方，此时x2－2x－3＞0.【解后感悟】根据转化思想将一元二次不等式解集的问题转化成一元二次方程与二次函数的问题，再根据数形结合的思想求解集是本题的关键.

1.

某数学研究性学习小组制作了如图所示的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转.图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是（

A

）A.

B.

C.

D.

A类型二

化未知为已知

8

【解后感悟】双曲线旋转45°后的图象无从下手，我们可将双曲线、直线AB顺时针方向旋转45°进行还原，化未知为已知，即可求得点M，N的坐标.

①②

类型三

化空间为平面例3

如图1所示，排球场长为18

m，宽为9

m，网高为2.24

m.队员站在底线点O处发球，球从点O的正上方1.9

m的点C发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88

m.即BA＝2.88

m.这时水平距离OB＝7

m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2所示.

（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）.并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由.

【解后感悟】本题考查二次函数的综合运用及学生空间想象能力.注意审题，第（1）（2）两小题是在同一支抛物线.球落地即y＝0，求得OP＝19，进而以OP为斜边构造直角三角形来解题.

（2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图1所示，A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形A1D1D2A2对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出.

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