基本函数图像与性质课件-高三数学一轮复习

知识梳理1.幂函数(1)幂函数的概念一般地,函数__________叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.

注意幂函数与指数函数的区别

微点拨幂函数解析式的特征:(1)自变量x处在幂的底数位置,幂指数α是常数;(2)xα的系数为1;(3)只有一项.y=xα(2)常用5个简单幂函数的图象与性质

函数y=xy=x2y=x3y=y=x-1定义域RRR{x|x≥0}_______值域R{y|y≥0}R_______{y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数_______单调性在R上单调递增在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增在R上单调递增在[0,+∞)内单调递增

在(-∞,0)和(0,+∞)内单调递减{x|x≠0}{y|y≥0}奇函数

函数y=xy=x2y=x3y=y=x-1图象

过定点(1,1)微思考幂函数的图象可以经过第四象限吗?提示

不可以.因为当x>0时,y=xα>0,所以幂函数的图象一定经过第一象限,不经过第四象限.微点拨1.幂函数在(0,+∞)内都有定义.2.当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)内单调递增.3.当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)内单调递减.2.对勾函数(1)对勾函数的定义:对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数,是形如f(x)=ax+(a>0,b>0)的函数,因其图象的形状得名,又被称为“双勾函数”“对号函数”“双飞燕函数”等.微思考在函数f(x)=x+中,若a<0,则其奇偶性与单调性怎样?提示

若a<0,则f(x)=x+是奇函数,且在(-∞,0),(0,+∞)内均单调递增.题组二

回源教材5.(人教A版必修第一册3.3节练习第1题改编)已知幂函数f(x)的图象过点(2,),则f(x)的解析式为__________.

6.(人教B版必修第二册习题4-4

B第4题改编)函数f(x)=(x+2)-2的定义域为__________,单调递增区间是__________,单调递减区间是__________.

{x|x≠-2}(-∞,-2)(-2,+∞)解析

由于f(x)=(x+2)-2=

,所以其定义域为{x|x≠-2},单调递增区间是(-∞,-2),单调递减区间是(-2,+∞).考点一幂函数的概念、图象及性质例1(1)(2024·甘肃兰州模拟)已知幂函数f(x)=(m2-2m-2)xm在(0,+∞)内单调递减,则m=(

)A.-3 B.-1 C.3 D.-1或3B解析

因为f(x)=(m2-2m-2)xm为幂函数,所以m2-2m-2=1,即m2-2m-3=0,解得m=3或m=-1,又因为f(x)在(0,+∞)内单调递减,所以m=-1,故选B.(3)(2024·湖南岳阳模拟)已知幂函数的图象经过点P(16,),则该幂函数的大致图象是(

)A规律方法幂函数图象与性质注意点(1)幂函数y=xα

的性质与幂指数α

的取值有关,解题中要善于根据幂指数的符号与取值范围确定函数性质,同时要能结合性质确定函数解析式、参数取值范围等.(2)研究幂函数y=xα的图象关键要抓住其图象在第一象限内的特征与形状,其余象限部分由奇偶性、单调性决定.(3)当比较幂值大小时,务必结合幂值特点,选择恰当的函数,借助单调性进行比较.知识梳理1.指数及指数运算

2.对数及对数运算

概念如果__________(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=__________,其中a叫做对数的__________,N叫做__________性质底数的限制a>0,且a≠1对数式与指数式的互化:ax=N⇔__________负数和零没有对数1的对数是__________即loga1=__________底数的对数是__________即logaa=__________常用对数:lgN=log10N自然对数:ln

N=logeN(e=2.71828…)对数恒等式:=__________ax=NlogaN底数

真数

x=logaN0011N2.对数及对数运算

概念如果__________(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=__________,其中a叫做对数的__________,N叫做__________性质底数的限制a>0,且a≠1对数式与指数式的互化:ax=N⇔__________负数和零没有对数1的对数是__________即loga1=__________底数的对数是__________即logaa=__________常用对数:lgN=log10N自然对数:ln

N=logeN(e=2.71828…)对数恒等式:=__________ax=NlogaN底数

真数

x=logaN0011N常用结论1.lg2+lg5=1.3.对数值的符号规律:logab>0⇔(a-1)(b-1)>0,logab<0⇔(a-1)(b-1)<0.自主诊断题组一

思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)2.log2a2=2log2|a|.(

)3.若MN>0,则loga(MN)=logaM+logaN(a>0,a≠1).(

)×√××题组二

回源教材

5.(人教A版必修第一册习题4.1第8题改编)已知

,则a+a-1=______,a2+a-2=______.

6.(人教B版必修第二册4.2.2练习B第3题改编)计算(lg5)2+lg2×lg50=__________.

747所以a+a-1+2=9,因此a+a-1=7,所以(a+a-1)2=49,即a2+a-2+2=49,于是a2+a-2=47.1解析

(lg

5)2+lg

2×lg

50=(lg

5)2+(1-lg

5)×(1+lg

5)=(lg

5)2+1-(lg

5)2=1.题组三

连线高考7.(2021·天津,7)若2a=5b=10,则

=(

)A.-1 B.lg7 C.1 D.log710C解析

∵2a=5b=10,∴a=log210,b=log510,14规律方法指数幂运算的一般原则(1)指数幂运算,先将根式、负分数指数幂统一为正分数指数幂,以便利用法则计算.(2)先乘除后加减,负指数幂化为正指数幂的倒数.(3)当底数是负数时,先确定幂的符号;当底数是小数时,先化成分数;当底数是带分数时,先化为假分数.(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示并用幂的运算法则解答.规律方法对数式化简与计算的一般思路(1)合:逆用对数的运算性质,将同底数的对数的和、差、倍数运算,转化为同底数的对数真数的积、商、幂的运算.(2)拆:运用对数的运算性质,将积、商、幂的对数转化为同底数的对数的和、差、倍数运算.(3)当对数的底数不相同时,可通过换底公式转化为底数相同的对数再进行化简计算.规律方法指数与对数综合运算的方法技巧(1)根据需要,利用指数式与对数式的关系ab=N⇔logaN=b

对二者进行互化;(2)当不同底数的幂值相等时,常设出幂的值,然后转化为对数式再进行化简求值;(3)当幂的指数中含有对数时,一是运用对数恒等式化简计算,二是通过等式两边取对数的方法转化为对数式进行化简求值.知识梳理1.指数函数的概念函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域为R,a是底数.微点拨形如y=kax,y=akx+b+h(a>0,且a≠1,k≠0)等的函数称为指数型函数,不是指数函数.2.指数函数的图象与性质

y=ax0<a<1a>1图象

定义域R值域__________性质过定点(0,1),即x=0时,y=1当x>0时,0<y<1;当x<0时,y>1当x>0时,y>1;当x<0时,0<y<1在定义域R上是__________在定义域R上是__________图象“撇增捺减”

比较幂值大小的重要依据

(0,+∞)减函数

增函数

微点拨1.画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),(-1,).2.底数a的大小决定了指数函数图象相对位置的高低,不论是a>1,还是0<a<1,在第一象限内底数越大,函数图象越高,即“底大图高”.

3.f(x)=ax与g(x)=a-x=()x(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称.4.指数函数的图象以x轴为渐近线.微拓展f(x)=ag(x)(a>0,且a≠1)的单调区间与最值(1)当a>1时,f(x)的单调递增区间、单调递减区间分别是g(x)的单调递增区间、单调递减区间;若g(x)有最大值M、最小值m,则f(x)的最大值为aM、最小值为am.(2)当0<a<1时,f(x)的单调递增区间、单调递减区间分别是g(x)的单调递减区间、单调递增区间;若g(x)有最大值M、最小值m,则f(x)的最大值为am、最小值为aM.微思考如何确定指数型函数y=kamx+n+b(a>0,a≠1,k≠0,m≠0)图象所过的定点?提示

指数函数y=ax(a>0,且a≠1)图象经过定点(0,1)的原因是a0=1.因此要确定指数型函数y=kamx+n+b(a>0,a≠1,k≠0,m≠0)图象所经过的定点,应该令mx+n=0,解得x=

,此时y=ka0+b=k+b,故其经过定点(

,k+b).常用结论1.函数

,y=ax-a-x(a>0,且a≠1)等均为奇函数;y=ax+a-x(a>0,且a≠1)为偶函数.2.若函数f(x)=ag(x)(a>0,且a≠1)的值域为(0,+∞),则g(x)的值域为R.3.函数f(x)=a|x|(a>0,且a≠1)的图象与性质如下:

a的取值a>10<a<1定义域R奇偶性偶函数值域[1,+∞)(0,1]单调性在[0,+∞)内单调递增在(-∞,0]上单调递减在(-∞,0]上单调递增在[0,+∞)内单调递减图象

自主诊断题组一

思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.函数f(x)=

的值域为(0,+∞).(

)2.若函数f(x)是指数函数,且f(1)>1,则f(x)是增函数.(

)3.若am>an(a>0,且a≠1),则m>n.(

)4.函数f(x)=ax+3-2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(-3,-1).(

)×√×√题组二

回源教材5.(人教B版必修第二册4.1.2节例2改编)已知实数a,b满足

,则6a与6b的大小关系为__________.

6.(人教A版必修第一册习题4.2第9题改编)已知函数f(x)=a·()|x|+b的图象过原点,且无限接近直线y=2,但又不与该直线相交,则f(x)的解析式为_______________.

6a<6b题组三

连线高考7.(2021·新高考Ⅰ,13)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=__________.

1解析

∵函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,

(2)(2024·湖南郴州模拟)函数y=|2x-2|的大致图象是(

)B当x>1时,函数y=2x-2单调递增,且y>0;当x<1时,函数y=2-2x单调递减,且0<y<2,故选B.规律方法指数函数图象的应用技巧(1)已知函数解析式及其图象,可通过函数单调性、所过定点、渐近线等情况确定解析式中参数的取值范围.(2)已知函数解析式识别其图象时,可借助图象特征分析函数单调性、对称性、所过定点、函数值正负等情况,从而确定其图象.(3)当求函数y=af(x)+b(a>0,且a≠1)图象所过的定点时,一般可令f(x)=0得x=x0,此时y=a0+b=1+b,从而所过的定点为(x0,1+b).考向3解简单的指数方程或不等式例4(1)(2024·广东惠州模拟)已知函数

,则函数y=f(x)-2的零点是(

)A.-2和4

B.-1和2C.2

D.4C解析

令f(x)-2=0得2x-=2,整理得(2x)2-2·2x-8=0,设2x=t,则t>0且t2-2t-8=0,解得t=4或t=-2(舍去).由t=2x=4得x=2,即函数的零点为2,故选C.知识梳理1.对数函数的概念函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是________.微点拨对数函数解析式y=logax的三个特征:①底数a>0,且a≠1;②真数是自变量x且x>0;③系数为1.(0,+∞)2.对数函数的图象与性质

函数y=logax(a>0,且a≠1)图象a>10<a<1

图象特征在y轴右侧,过定点(1,0)当x逐渐增大时,图象是上升的当x逐渐增大时,图象是下降的性质定义域(0,+∞)值域R单调性在(0,+∞)内单调递增在(0,+∞)内单调递减函数值变化规律当x=1时,y=0当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0这是因为loga1=0微点拨1.对数函数函数值的符号规律:logax>0⇔(a-1)(x-1)>0,logax<0⇔(a-1)(x-1)<0.2.在直线x=1的右侧,当a>1时,底数越大,图象越靠近x轴;当0<a<1时,底数越小,图象越靠近x轴.微拓展函数y=loga|x|与y=|logax|(a>0,a≠1)的性质函数y=loga|x|y=|logax|a>10<a<1a>10<a<1定义域(-∞,0)∪(0,+∞)(0,+∞)值域R[0,+∞)奇偶性偶函数非奇非偶函数单调性在(0,+∞)内单调递增;在(-∞,0)内单调递减在(-∞,0)内单调递增;在(0,+∞)内单调递减在(0,1)内单调递减;在(1,+∞)内单调递增图象

微思考如何确定对数型函数y=kloga(mx+n)+b(a>0,且a≠1,m≠0)图象所过的定点?3.反函数一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为__________,它们的定义域与值域正好互换.

反函数

微点拨1.只有在定义域上单调的函数才存在反函数.2.互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.自主诊断题组一

思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.函数f(x)=log3(x-1)是对数函数.(

)2.若logax>1,则x>a.(

)3.函数f(x)=loga(ax-1)(a>0,a≠1)在其定义域上是单调递增函数.(

)4.函数

的单调递减区间是(1,+∞).(

)××√×题组二

回源教材5.(人教A版必修第一册习题