弧度制及其与角度制的换算课件-高一下学期数学人教B版

第七章三角函数7.1.2弧度制及其与角度制的换算《人教B版2019高中数学必修第三册》知识点1.弧度制的定义2.弧度与角度的换算公式3.特殊角的弧度与角度互化4.常见特殊角对应关系5.弧长与扇形面积公式（弧度制下）1.弧度制在日常生活以及各学科中，一个量可用不同的标准来度量，从而也就有了不同的单位以及单位之间的换算.例如，长度既可以用米、厘米来度量，也可以用尺、寸来度量；面积可以用平方米来度量，也可以用亩来度量.类似地，角除了使用角度来度量外，还可以使用本小节我们要学习的弧度来度量.

60′′如图7-1-7是一种折叠扇．折叠扇打开、合拢的过程可以抽象成扇形圆心角的变大、变小.那么在这个过程中，扇形的什么量在发生变化？什么量没发生变化？由此你能想到度量角的其他办法吗？图7-1-7将折叠扇抽象为如图7-1-8(1）所示的图形，可以看出，弧AB与弧A′B′都与角α对应，但α≠0∘时，它们的弧长AB与弧A′B′始终不相等，其原因在于OA≠OA′.探究新知

⌒

⌒图7-1-8(2）

图7-1-9这个等式右端不包含半径，这表示弧长比半径的值不依赖于半径，而只与a的大小有关.我们称弧长与半径比值的这个常数为圆心角的弧度数.因此，长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1rad．如图7-1-9所示，因为AB的长等于半径r，所以AB所对的圆心角∠AOB就是1弧度的角．

⌒

⌒探究新知如前所述，这样规定出来的1弧度的角大小是完全确定的，这种以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制.由弧度制的定义可知，在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为αrad，则

αr2.弧度制与角度制的换算（1）按照定义，一个周角对应的弧度数应是多少？（2）一般地，弧度制与角度制之间怎样进行换算？尝试与发现

180∘=πrad.

探究新知例1

把30°,45°,60°化成弧度（用π表示），并在平面直角坐标系中作出它们的终边.

探究新知

探究新知例3

利用弧度制推导扇形的面积公式

其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径.

练习A①填表（弧度数用含π的代数式表示），并在平面直角坐标系中作出角的终边.度0∘90∘135∘180∘225∘270∘315∘360∘弧度45∘150∘02

②把下列各角度化为弧度（用含π的代数式表示）.（1）-240∘

；

（2）-225∘；（3）12∘

；

（4）1080∘；（5）22∘30′

；

（6）157.5∘.

微提醒

带分的要先化为度

练习A④时间经过4h，时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？

练习A⑤

已知圆的半径为0.5m，分别求2rad,3rad的圆心角所对的弧长．解

弧长公式：l=αr（其中α是圆心角的弧度数，r是半径）。

已知半径r=0.5

m：

当α=2

rad时：l=2×0.5=1

m。

当α=3

rad时：l=3×0.5=1.5

m。小结角度制定义用“度”作为单位来度量角的单位制1度的角1度的角等于周角的​，记作1∘弧度制定义以“弧度”作为单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1

rad（可省略不写）

巩固练习

巩固练习2.已知角α=2005∘.①将α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角②在[-5π,0)内找出与α终边相同的角

微提醒：

判断α在第几象限，核心只要一件事：找到它的终边相同的最小正角。巩固练习2.已知角α=2005∘.①将α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角②在[-5π,0)内找出与α终边相同的角

巩固练习

ABCD

C巩固练习4.用弧度表示终边落在阴影部分内（不包括边界）的角θ的集合为：

巩固练习5.已知集合A={α|2kπ≤α≤2kπ+π,k∈Z}集合B={α|-4≤α≤4,k∈Z}，则A∩B=

.解析：当k=0时，A={α|0≤α≤π}当k=-1时，A={α|-2π≤α≤-π}∴利用venn图可知A∩B=[-4,-π]∪[0,π][-4,-π]∪[0,π]提升练习1.已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.

（1）若α=60∘，R=10cm，求扇形的弧长l；（2）已知扇形的周长为10cm，面积是4c㎡，求扇形的圆心角；（3）若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角a为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

R=1α=8

提升练习

C提升练习2.［多选题］下列条件中，能使角α，β的终边关于y轴对称的是(

)A.α+β=540∘B.α+β=360∘C.α+β=180∘D.α+β=90∘解析：