第2课时菱形的判定(课件)沪科版八年级数学下册

19.3.2

菱形第2课时

菱形的判定第19章四边形学习目标1.通过菱形的判定过程，掌握菱形的判定定理.(重点)2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.

(难点)一组邻边相等有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.平行四边形菱形的性质菱形两组对边平行四条边相等两组对角分别相等邻角互补两条对角线互相垂直平分每一条对角线平分一组对角边角对角线问题

菱形的定义是什么？性质有哪些？根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定的方法：且AB=AD，∵四边形

ABCD是平行四边形，∴四边形

ABCD是菱形.数学语言有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.ABCD思考

还有其他的判定方法吗？小刚：分别以

A、C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两条弧分别相交于点

B，D，依次连接

A、B、C、D四点.已知线段

AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形

ABCD，并使

AC为该菱形的一条对角线吗？CABD想一想：根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？

猜想：四条边相等的四边形是菱形.四条边相等的四边形是菱形1证明：∵

AB=BC=CD=AD，

∴

AB=CD，BC=AD.

∴四边形

ABCD是平行四边形.

又∵

AB=BC， ∴四边形

ABCD是菱形.已知：如图，四边形

ABCD中，AB=BC=CD=AD.求证：四边形

ABCD是菱形.ABCD验证猜想四条边都相等的四边形是菱形.AB=BC

=CD

=AD几何语言描述：在四边形

ABCD中，∵AB=BC

=CD

=AD，∴四边形

ABCD是菱形.ABCD菱形

ABCD菱形的判定定理：四边形

ABCDABCD知识要点1.下列命题中正确的是（）A.一组邻边相等的四边形是菱形B.三条边相等的四边形是菱形C.四条边相等的四边形是菱形D.四个角相等的四边形是菱形C练一练证明：∵∠1=∠2，AE=AC，

AD=AD，∴△ACD≌△AED(SAS).

同理，△ACF≌△AEF.∴CD=ED，CF=

EF.

又

∵

EF=ED，∴CD=ED=CF=EF.∴四边形

CDEF是菱形.2例1如图，在△ABC中，AD是角平分线，点

E、F别在

AB、

AD上，且

AE=AC，EF=ED.求证：四边形

CDEF是菱形.ACBEDF1典例精析例2如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线

BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是

D，E，F，连接AD.求证：四边形

ACFD是菱形．证明：由平移的性质得

CF＝AD＝10cm，DF＝AC.∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，∴AC＝DF＝AD＝CF.∴四边形

ACFD是菱形．归纳

：四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便.HGFEDCBA证明：连接

AC、BD.∵

四边形

ABCD

是矩形，∴

AC

=

BD.∵

点

E、F、G、H

为各边中点，∴

EF

=

FG

=

GH

=

EH，∴

四边形

EFGH

是菱形.例3如图，依次连接矩形

ABCD

各边中点，得到四边形

EFGH，求证：四边形

EFGH

是菱形.CABDEFGH【变式题】如图，依次连接对角线相等的四边形

ABCD

各边的中点，得到的四边形

EFGH是什么四边形？解：四边形

EFGH是菱形.又∵AC

=

BD，∵点

E、F、G、H

为各边中点，∴EF=FG=GH=HE.∴

四边形

EFGH

是菱形.归纳

：依次连接对角线相等的四边形的各边中点，得到的四边形是菱形.理由如下：连接

AC、BD.思考

我们知道，把两张等宽的纸条交叉重叠在一起得到的四边形是平行四边形，你能进一步判断重叠部分四边形

ABCD的形状吗？ACDB分析：易知四边形

ABCD是平行四边形，只需证一组邻边相等即可进一步判断.由题意可知

BC边上的高和

CD边上的高相等（AE=AF），通过证△ABE≌△ADF（AAS），即得

AB=AD.请补充完整的证明过程EF猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.你能证明这一猜想吗？我们用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，可得到一个平行四边形.那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形?对此你有什么猜想？对角线互相垂直的平行四边形是菱形2已知：如图，在□ABCD中，AC⊥BD于点

O.求证：□

ABCD

为菱形.证明∵四边形

ABCD

为平行四边形，∴AO=CO.∵DO⊥AC，∴DA=DC.∴□

ABCD

为菱形.证一证对角线互相垂直的平行四边形是菱形.AC⊥BD几何语言描述：在

□ABCD中，∵AC⊥BD，∴□ABCD是菱形.ABCD菱形

ABCDABCD□ABCD菱形的判定定理：归纳总结例4如图，在

□ABCD

中，对角线

AC，BD

相交于点

O，AC=8，BD=6，AB=5，求

AD

的长，解∵四边形

ABCD

是平行四边形，∴OA=AC=4，OB=BD=3.又∵AB=5，∴AB2

=OA2+OB2，∴△AOB

为直角三角形，即

OA⊥OB.∴□ABCD

是菱形.∴AD=AB=5.例5

如图，□ABCD的两条对角线

AC、BD

相交于点

O，AB=5，AO=4，BO=3.求证：四边形

ABCD是菱形.ABCDO又∵四边形

ABCD是平行四边形，∵

OA=4，OB=3，AB=5，证明：即

AC⊥BD.∴

AB2=OA2+OB2.∴△AOB是直角三角形，∴四边形

ABCD是菱形.例6如图，矩形

ABCD的对角线

AC的垂直平分线与边

AD、BC分别交于点

E、F，求证：四边形

AFCE是菱形.

ABCDEFO12

证明：∵四边形

ABCD是矩形，

∴

AE∥FC，∴∠1=∠2.

∵

EF垂直平分

AC，

∴

AO=OC.

又∠AOE=∠COF，

∴△AOE≌△COF.∴

EO=FO.

∴

四边形

AFCE是平行四边形.

又∵

EF⊥AC，∴四边形

AFCE是菱形.2.在四边形

ABCD

中，对角线

AC，BD

互相平分，若添加一个条件使得四边形

ABCD

是菱形，则这个条件可以是

（

）A．∠ABC

=

90°B．AC⊥BDC．AB

=

CDD．AB∥CDB练一练例7如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；证明：∵

D、E

分别是

AB、AC

的中点，∴

DE∥BC，且

BC＝2DE.又∵

BE＝2DE，EF＝BE，∴

EF＝BC，EF∥BC.∴

四边形

BCFE

是平行四边形.又∵

EF＝BE，∴

四边形

BCFE

是菱形.菱形的性质与判定的综合运用3解：∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°.∴△EBC

是等边三角形.∴

菱形的边长为

4，高为.∴

菱形的面积为.(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积.归纳

：判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出是菱形；如果只知道一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证明这个四边形是平行四边形．3.如图，在

□ABCD

中，AC

平分∠DAB，AB

=

2，求

□

ABCD

的周长.解：在

□ABCD

中，AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAC=∠ACB，∠BAC=∠ACD.∵

AC

平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC.∴∠DAC=∠ACD.∴

AD

=

CD.∴

四边形

ABCD

为菱形.∴

菱形

ABCD

的周长为4AB=4×2

=

8.练一练2.一边长为13cm的平行四边形，两条对角线的长分别为24cm和10cm，则其面积为

.

120cm21.判断下列说法是否正确：(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；(2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的

四边形是菱形；(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．√

╳

╳

╳

3.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，增加下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A．AB

=

BC

B．AC

=

BC

C．∠B

=

60°

D．∠ACB

=

60°

B解析：∵

将△ABC

沿

BC

方向平移得到△DCE，∴

AC∥DE，AC=DE.∴

四边形

ACED

为平行四边形.当

AC

=

BC

时，平行四边形

ACED

是菱形．故选

B．ABCDOE4.如图，矩形

ABCD的对角线相交于点

O，DE∥AC，CE∥BD.求证：四边形

OCED是菱形.证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形

OCED是平行四边形.∵四边形

ABCD是矩形，∴OC=OD.∴四边形

OCED是菱形.

BCADOEMN证明：∵MN是

AC的垂直平分线，∴AE=CE，AD=CD，OA=OC，∠AOD=∠EOC=90°.∵CE∥AB，∴∠DAO=∠ECO.∴△ADO≌△CEO(ASA).∴AD=CE.∴四边形

ADCE是平行四边形.又∵DE⊥AC，∴四边形

ADCE是菱形.

5.如图，△ABC中，AC的垂直平分线

MN交

AB于点

D，交

AC于点

O，CE∥AB交