《空间解析几何》课件 第四章 平面二次曲线的分类

第四章

平面二次曲线的分类§4.1

平面二次曲线的几何特征§4.2

平面直角坐标变换§4.3

应用坐标变换法简化二次曲线方程§4.4

应用不变量法化简二次曲线方程本章所取坐标系均为直角坐标系二次曲线的概念

在平面直角坐标系下，由二元二次方程表示的图形称为二次曲线，其中

不全为零.

为了讨论方便，引入一些记号

因此有

还有三个记号§4.1平面二次曲线的几何特征一、平面二次曲线与平面直线的位置关系二、平面二次曲线的中心与渐近线三、平面二次曲线的切线与直径四、平面二次曲线的主直径与主方向

设平面上定点为,非零向量为,他们确定的直线l的点方向式方程

平面直线：一定点和一定方向确定.定方向称为方向向量化为参数方程得

一、平面二次曲线与平面直线的位置关系对点方向式有经典的点斜式方程

可见：斜率k与方向向量坐标的关系为

设平面上定点为,非零向量为,他们确定的直线l的点方向式方程

化为参数方程得

二次曲线Γ与直线l的位置关系曲线Γ方程如下

将直线l的参数方程

代入上式得

用引入的记号改写上式

方程(1)是关于t的一元二次方程，其解的情况与判别式有关.分情况进行讨论

(1)Φ(m,n)≠0

.

①Δ>0.方程(1)有两个不相等的实根，二次曲线与直线有两个不相同的交点.②Δ=0.方程(1)有两个相等的实根，二次曲线与直线有两个相同的交点.③Δ<0.方程(1)没有实根，二次曲线与直线没有交点.用引入的记号改写上式

方程(1)是关于t的一元一次方程.分情况进行讨论

(2)Φ(m,n)=0

.

②

方程(2)不成立，二次曲线与直线无交点.①方程(2)有唯一实根，二次曲线与直线有唯一交点.③

方程(2)恒成立，直线在二次曲线上.注：“有两个相同的交点”和“有唯一的交点”是不同的.以直线与抛物线y=x2为例有两个相同的交点有唯一的交点例1求二次曲线

与直线x-y-1=0的交点.解

由条件知将直线的参数方程是从而

m=1，n=1.于是以下方程变成解

该方程有两个不相等的实根将他们分别代入直线的参数方程得交点坐标为(2,1)和(-2,-3).例1求二次曲线

与直线x-y-1=0的交点.

设非零向量为

的坐标为{m,n}，

称m:n为向量的方向.二、二次曲线的中心与渐近线

定义4.1.1

满足Φ(m,n)=0的方向m:n称为二次曲线Γ的渐近方向；否则称为非渐近方向.其中二次项系数

不全为零.由Φ的形式有二次曲线的渐近方向

上述方程两边同时除以,则

上述方程两边同时除以,则(1)如果

则n≠0.由求根公式得(2)如果

则m≠0.由求根公式得(3)如果

则

上述方程变为

渐近线方向存在，m:n=1:0或0:1.此时(1)二次曲线有两个不同渐近线方向当且仅当(2)二次曲线只有一个渐近线方向当且仅当

说明:(3)二次曲线没有渐近线方向当且仅当

定义4.1.2没有渐近方向的二次曲线叫作椭圆型曲线，有一个渐近方向的二次曲线叫作抛物型曲线，有两个渐近方向的二次曲线叫作双曲型曲线.

如果

是弦的方向向量，坐标为{m,n}，则有注：弦所在直线的方向必为非渐近方向.二次曲线的弦：直线与二次曲线相交于两个不同的点，这两个交点所连成的线段.二次曲线的中心

定义4.1.3如果点P0是二次曲线上通过它的所有弦的中点，则称P0是该二次曲线的中心.

定理4.1.1点P0是二次曲线的中心当且仅当其坐标(x0,y0)同时满足

即证

任取过P0的弦，设弦所在直线的方向向量为,坐标为{m,n}，则直线的参数方程为代入二次曲线Γ的方程可得证

记

t1和

t2为以上方程的不同的两个实根，弦的端点为P1和P2，则他们的坐标分别为

和.

因为P0(x0,y0)是P1和P2中点的充要条件是

定理4.1.1点P0是二次曲线的中心当且仅当其坐标(x0,y0)同时满足

即

因此(m,n)的任意性，上式成立等价于证

注意到二次曲面的渐近方向之多只有两个，可见非渐近方向有无穷多个.所以有

定理4.1.1点P0是二次曲线的中心当且仅当其坐标(x0,y0)同时满足

即(1)行列式

以上方程组有唯一解，此时二次曲线有唯一的中心.①如果

则以上方程组无解,从而二次曲线没有中心.I2中的数不全为零，不妨设第二行不全为零.(2)系数行列式

②如果

则以上方程组实质是一个方程表示一条直线

，称其为中心直线.

定义4.1.4有唯一中心的二次曲线叫作中心二次曲线，没有中心的二次曲线叫作无心二次曲线，有一条中心直线的二次曲线叫作线心二次曲线，后两者统称为非中心二次曲线.说明：(2)抛物型曲线是非中心二次曲线，可能是无心二次曲线，也可能是线性二次曲线.(1)椭圆型和双曲型曲线均是中心二次曲线.(2)抛物型中的线心二次曲线只有一条渐近线，就是他的中心直线.

定义4.1.5通过二次曲线的中心且以渐近方向为方向的直线叫作该二次曲线的渐近线.说明：(1)椭圆型曲线和抛物型中的无心二次曲线都没有渐近线，双曲型曲线有两条渐近线.二次曲线的渐近线

此时

，则

和

必有一个不为零.不妨设

不为零，此时渐近方向为

而中心直线方程为

其方向也为

(2)抛物型中的线心二次曲线只有一条渐近线，就是他的中心直线.例2

求

的渐近线.解

令

得中心的坐标为渐近线方向m:n满足所以m:n=1:2或(-1):3.因此渐近线方程为或即2x-y+1=0或3x+y=0.

没有交点或整条渐近线都在二次曲线上.渐近线与二次曲线的位置关系:中心的坐标

满足

渐近线方向满足Φ(m,n)=0.说明渐近线与二次曲线相交的方程为一元一次方程.

如果中心不在二次曲线上，即

此时一元一次方程矛盾，渐进线与二次曲线没有交点.

如果中心在二次曲线上，即

此时一元一次方程恒成立，整条渐近线都在二次曲线上.

定义4.1.6如果直线与二次曲线有两个相同交点，称该直线是二次曲线的切线.此时交点称为切点；如果直线在二次曲线上也称其为二次曲线的切线，此时直线上的任何点称为切点.切线的方向叫作切方向.说明:

切点在二次曲线上.要找二次曲线上某点的切线方程，只需找到切方向即可.三、二次曲线的切线与直径二次曲线的切线下面说明m:n是切方向当且仅当因为切点必定在二次曲线上，因此有将其代入二次曲线Γ的方程可得

设二次曲线Γ上的切点坐标是,切方向为m:n，则切线的参数方程如下所示

如果切方向m:n是渐近方向，即Φ(m,n)=0，由切线定义，以上方程要恒成立，则

如果切方向m:n是非渐近方向，即Φ(m,n)≠0，由切线定义此时等价于Δ=0，即

定理4.1.2

设二次曲线Γ上点P的坐标是.如果P不是中心，即

和

不全为零，那么通过P的切线方程为如果P是中心，那么通过P的任何直线都是切线.证

切线方向一定满足

(1)如果P不是中心，则于是切线方程为(2)如果P是中心，则任何方向都是切方向.例3

求二次曲线

在原点的切线方程.解

原点在二次曲线上为切点.此时又因从而切向量方向m:n=2:1.因此切线方程为

任取平行弦中某弦的中点，记为

，那么该弦的端点P1和P2由方程确定的

和

对应.

定理4.1.3二次曲线的一族平行弦的中点必定在同一条直线上.证

设

是二次曲线Γ的平行弦的方向向量，坐标是{m:n}，则有Φ(m,n)≠0.二次曲线的直径圆的直径：圆上两点构成的最长的线段，也会是圆的一族平行弦的中点的轨迹.

如果他们都为零，此时Φ(m,n)=0，存在矛盾.即点中点P满足方程以上方程中

均不为零.因此P满足平面直线方程，其轨迹为一直线.等价于

定义4.1.7

二次曲线的平行弦中点的轨迹称为直径，这些平行弦称为共轭于直径的共轭弦，该直径称为是共轭于平行弦方向的直径.

定理4.1.4

设二次曲线的一族平行弦的方向是m:n，则共轭于该平行弦方向的直径所在的直线方程为即

令例4

已知二次曲线

，求与x轴平行的弦的中点的轨迹方程.解

平行弦方向向量为{1,0}，直径所在直线满足

则因此中点轨迹满足的方程为6x+7y+4=0.于是直径方向为

所以只有非渐近方向才谈共轭方向.说明:二次曲线的直径由平行弦的方向来决定，这个方向必定为非渐近方向.

设平行弦的方向是m:n，共轭于m:n的直径的方程为上述方向叫作m:n的共轭方向.四、二次曲线的主直径与主方向即

当

时，

，即中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向仍然是非渐近方向.直接计算

有

当

时,，即非中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向是渐近方向.

方向m:n是非渐近方向，所以Φ(m,n)≠0.他等价于上式如果将m和m′互换，且n和n′互换没有变化.

因此共轭方向是相互的，即对于中心二次曲线，m:n的共轭方向是m′:n′,m′:n′的共轭方向是m:n.

定义4.1.8

二次曲线的与共轭弦垂直的直径叫作二次曲线的主直径，此时主直径的方向与共轭弦的方向统称为二次曲线的主方向.

设平行弦方向是m:n，则其共轭方向m′:n′

为因方向m′:n′垂直于方向m:n，则从而于是，存在非零实数λ使得即这是一个关于m、n的齐次线性方程.称其二次曲线

的特征方程，他的根称为特征根.

显然该齐次线性方程有非零解，

所以方程组的系数行列式等于零，从而

将特征根代入下式

如果该方向为渐近方向，则他不能作为平行弦方向，此时没有主直径.便得方向m:n.

如果该方向为非渐近方向，则主直径方程如下直接计算判别式假设全为零，有

定理4.1.5二次曲线的特征根一定为实数，且不全为零.证

特征方程即从而有

与Γ为二次曲线矛盾.下证实根不能全为零，反证.

定理4.1.6

设二次曲线的特征根为λ.如果λ≠0，那么由求出的方向m:n是非渐近方向；如果λ=0，那么由求出的方向m:n是渐进方向.证

因为特征根λ通过

求出的方向m:n，于是

定理4.1.6

设二次曲线的特征根为λ.如果λ≠0，那么由求出的方向m:n是非渐近方向；如果λ=0，那么由求出的方向m:n是渐进方向.求主直径和主方向的步骤(2)将非零特征根代入方程组

找到平行弦方向m:n；(1)写出二次曲线的特征方程，并求特征根；(4)写出主方向(主直径与共轭与主直径的方向均为主方向).(3)再由下式确定主直径方程例5

求二次曲线

的主方向与主直径满足的方程.解

由条件知

所以从而特征方程为

则特征根

把

代入

即x-y-1=0.因此对应的主直径方程是于是，主方向为-1:1和1:1.得平行弦方向m:n=-1:1.§4.2平面直角坐标变换一、移轴变换二、转轴变换

设O´在

下的坐标是(a,b)，则

在平面π上取两直角坐标系

和

，其中O和O´是不同的点.一、移轴变换Oo´

设点P在该两直角坐标系的坐标分别是(x,y)、(x´,y´)，则由于

所以有他们都称为移轴变换公式.说明:

移轴变换是将坐标系整体平行移动，即不改变坐标向量，仅将原点进行一个移动.

设O´在

下的坐标是(a,b)，则

在平面π上取两直角坐标系

和

，其中O和O´是不同的点.Oo´

设点P在该两直角坐标系的坐标分别是(x,y)、(x´,y´)，则他们都称为移轴变换公式.

假设在

下二次曲线方程为经过配方得其中O´是在

下坐标为(-1,-2)的点.即在新直角坐标系

中以上方程可化简为说明：移轴变换可以消去平面二次方程中的一次项.如果令

如果Q在

下的直角坐标是(x´,y´)，极坐标是(r,θ)，那么

取两直角坐标系

和

，其中

和

分别是

和

绕着原点O逆时针旋转角度α而得到.二、转轴变换o•Qαθr

于是其直角坐标(x,y)满足

显然Q在

下的极坐标是(r,θ+α),于是

从而

上两式均称为转轴变换公式.例1利用转轴变换化简二次曲线方程解

将转轴变换式

代入以上方程得取角度α使4cos2α

-

3sin2α

=0，即于是得

，2α进一步因此经过转轴变换例1利用转轴变换化简二次曲线方程解

将转轴变换式

代入以上方程得于是得

，2α进一步因此经过转轴变换二次方程简化为总结：无论是移轴还是转轴变换，仅仅都是改变坐标系，而不影响平面二次曲线图形.移轴变换可以消去二次曲线方程中的一次项，而转轴变换可以消去交叉项目.于是任何二次曲线方程均可以通过移轴和转轴变换来进行化简，从而确定其形状.§4.3应用坐标变换法化简二次曲线方程一、移轴变换化简规律二、转轴变换化简规律三、化简二次曲线方程

设二次曲线方程为其中一、移轴变换化简规律将移轴公式

代入式得从而变换后的方程可以写成(1)二次项系数与原二次曲线方程一样；(2)一次项x´和y´的系数分别为

和

定理4.3.1

经过移轴变换后，二次曲线方程的各个系数符合以下规律(3)常数项变为F(a,b).

其中

将转轴公式

代入得二、转轴变换化简规律

一次项系数只与原一次项系数和移轴变换中的转角α有关(1)常数项保持不变，上式令

和

都为零时，

和

也同时为零，说明只经转轴变换不能去掉方程的一次项.

当a12=0时，原方程没有交叉项，化简时不进行转轴变换.(2)关于交叉项系数.

当a12≠0时，原方程有交叉项，令即有(2)关于交叉项系数.则

与

不能同时成立，不然上两式相加得

，从而有上式暗示

矛盾.

当a12≠0时，原方程有交叉项，令

命题4.3.1通过适当的转轴变换，二次曲线方程总可以简化为

定理4.3.2

通过适当的坐标变换，二次曲线方程总可以化简成以下九种标准方程中的一种.(1)椭圆(2)虚椭圆(3)点(4)双曲型(5)一对相交直线

三、化简二次曲线方程(8)一对虚直线(或);(6)抛物线(或);(7)一对平行直线(或);(9)一对重合直线(或);其中二次项系数

不全为零.证

(1)和

均不为零.对上式配方得

经过移轴变换

有

其中

其中二次项系数

不全为零.证

(1)和

均不为零.有

其中

这是椭圆.其中①和

同号，且c与他们同号.这是虚椭圆.其中②和

同号，且c与他们异号.其中二次项系数

不全为零.证

(1)和

均不为零.有

其中

③和

同号，且c=0.这是坐标原点.其中这是双曲线.其中

④

和

异号，且c与a11同(异)号.其中二次项系数

不全为零.证

(1)和

均不为零.有

其中

⑤

和

异号，且c=0.这是一对相交直线.其中其中二次项系数

不全为零.证

(2)和

有一个零.不妨设a11=0，则上式为

配方得

以上方程等价于

其中

这是抛物线.①.经移轴变换得其中二次项系数

不全为零.证

(2)和

有一个零.不妨设a11=0，则上式为

配方得

其中

②.经移轴变换得其中二次项系数

不全为零.证

(2)和

有一个零.不妨设a11=0，则上式为

其中

②.经移轴变换得

⒞当c´=0时，表示一对重合直线.

⒜当c´>0时，表示一对平行直线;

⒝当c´<0时，表示一对虚直线;例1

利用坐标变换化简二次曲线方程解

由条件知于是取

，二次曲线可化为经过转轴变换配方有经过移轴变换得因此二次曲线方程表示一对平行直线.

最后，我们对上述9种标准方程做一些总结.

他们是基于以下方程分类讨论而来.

前5种是一类，他们的方程中均只具有x和y的平方项和常数项.其中A和B均不为零.

可以统一写出

直接计算根据渐近方向数的分类：(1)、(2)、(3)为椭圆型曲线，(4)、(5)为双曲型曲线.

直接计算

最后，我们对上述9种标准方程做一些总结.

他们是基于以下方程分类讨论而来.

后4种是另一类，他们的方程中均只具有x或y的平方项和常数项.其中A不为零.

可以统一写出他们只有一个渐近方向，即(6)、(7)、(8)、(9)都为抛物型曲线.§4.4应用不变量法化简二次曲线方程一、不变量与半不变量二、二次曲线中的不变量与半不变量三、用不变量法分类二次曲线首先将以上方程做一些改进,记一、不变量与半不变量

设二次曲线方程为由矩阵的乘法,则因此(4.4.1)可表示为矩阵形式

进一步,记则移轴变换公式(4.2.4)和转轴变换公式(4.2.6)也可以转化为矩阵形式,如下

进行移轴变换后,二次曲线方程中的一次项系数和常数项一般要变化,但二次项系数不改变.

而进行转轴变化后,二次项系数和一次项系数一般要变化,但常数项不变.

因此对于变换前后保持不变的量,引入以下概念

定义4.4.1

设由二次曲线Γ方程中各个系数决定的非常值函数为

经过坐标变换后,则由新二次曲线方程中各个系数决定的非常值函数为

如果那么称函数f为二次曲线在坐标变换下的不变量.

如果某函数只是在转轴变换下保持不变,那么称为半不变量.

下面将讨论二次曲线Γ的三个不变量和一个半不变量,并通过这些量对二次曲线进行分类,这种方法被称为不变量法.

将移轴变换公式

代入式(4.4.2)得证(1)移轴变换

定理4.4.1

二次曲线Γ的三个不变量分别是

因为

和

均是由二次项系数所构成,所以在移轴变换下保持不变.接下来证明

也不变.二、二次曲线中的不变量与半不变量证(1)移轴变换

定理4.4.1

二次曲线Γ的三个不变量分别是

二、二次曲线中的不变量与半不变量直接计算有其中E是二阶单位矩阵,即

在移轴变换下保持不变.证

定理4.4.1

二次曲线Γ的三个不变量分别是

二、二次曲线中的不变量与半不变量(2)转轴变换

将转轴变换公式

代入式(4.4.2)得对于

证

定理4.4.1

二次曲线Γ的三个不变量分别是

二、二次曲线中的不变量与半不变量(2)转轴变换

对于,由于

所以

证

定理4.4.1

二次曲线Γ的三个不变量分别是

二、二次曲线中的不变量与半不变量(2)转轴变换

对于,因此

在转轴变换下不变.

引入记号

用

表示矩阵B中元素

与

的余子式之和,则

定理4.4.2

二次曲线Γ的一个半不变量是.并且当

时,在移轴变换下也不变.证

先证明定理的前半部分.由

的定义,则

定理4.4.2

二次曲线Γ的一个半不变量是.并且当

时,在移轴变换下也不变.

经过转轴变换

由上节讨论的转轴变换对一次项系数和常数项的影响,可知

证

定理4.4.2

二次曲线Γ的一个半不变量是.并且当

时,在移轴变换下也不变.然后

即

在转轴变换下不变.如果记

那么

证

定理4.4.2

二次曲线Γ的一个半不变量是.并且当

时,在移轴变换下也不变.

现在证明定理的后半部分.

由

知,因为方程为二次曲线方程,故该式暗示

和

中至少有一个不为零.

不妨设

则由上式又有

从而

证

定理4.4.2

二次曲线Γ的一个半不变量是.并且当

时,在移轴变换下也不变.因为

且

所以

经过移轴变换

由定理4.3.1可得

证

定理4.4.2

二次曲线Γ的一个半不变量是.并且当

时,在移轴变换下也不变.接下来针对式(4.4.3)进行讨论,分情况,如下:证

定理4.4.2

二次曲线Γ的一个半不变量是.并且当

时,在移轴变换下也不变.(1)λ=0.因为

所以

进一步可得由式(4.4.3),则

证

定理4.4.2

二次曲线Γ的一个半不变量是.并且当

时,在移轴变换下也不变.(2)λ≠0.由式(4.4.3)有

证

定理4.4.2

二次曲线Γ的一个半不变量是.并且当

时,在移轴变换下也不变.因此总有

同理针对式(4.4.4)进行讨论,可以证明所以,即当

时,二次曲线的

在移轴变换后是不变的.

利用不变量

和半不变量